ГЛАВА IV. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ В УСЛОВИЯХ МУЛЬТИКОЛЛИНЕАРНОСТИ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

ГЛАВА IV. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ В УСЛОВИЯХ МУЛЬТИКОЛЛИНЕАРНОСТИ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

В данной главе будут рассмотрены некоторые приемы и методы оценки коэффициентов эконометрической модели в условиях сильной корреляционной зависимости (мультиколлинеарности) между объясняющими переменными.

Как было отмечено в разделе 2.1, существование сильной линейной зависимости между переменными, входящими в правую часть эконометрической модели и характеризующейся близостью значений коэффициентов парной корреляции ряда столбцов матрицы Х к единице, вызывает целый ряд проблем при оценке коэффициентов этой модели.

Во-первых, это явление делает матрицу X ¢ X плохо обусловленной (ее детерминант становится близким, а в пределе равным нулю), и в этом случае МНК и ММП как методы оценки коэффициентов модели не могут быть использованы*. Во-вторых, плохая обусловленность матрицы X ¢ X своим следствием, как правило, имеет ухудшение точности оценок коэффициентов модели, рост их дисперсий. В-третьих, оценки коэффициентов модели становятся чрезвычайно чувствительными к незначительным изменениям исходных данных (значений элементов вектора у и матрицы X ), а также к ошибкам округлений числовых данных расчетов, неизбежным при обращении матрицы X ¢ X. Иными словами, незначительные изменения в исходных данных или округления результатов промежуточных расчетов вызывают резкие скачки в значениях оценок. Это говорит о неустойчивости оценок параметров моделей по отношению к исходным данным, о низкой обоснованности построенного варианта эконометрической модели, о ее неадекватности описываемому ею процессу.

Вместе с тем, на практике решать проблему мультиколлинеарности путем исключения части взаимосвязанных между собой независимых переменных часто бывает нецелесообразно, поскольку, например, их взаимосвязь может отражать явление ложной корреляции, а не вытекать из содержания отображаемых ими явлений. При этом каждая из этих переменных может быть чрезвычайно важна для выражения закономерностей развития независимой переменной.

Невозможность использования «классических» подходов при построении эконометрических моделей в условиях плохой обратимости матрицы ( X ¢ X ) обусловливает необходимость применения при оценке их параметров специальных процедур и методов, которые позволяют снизить отрицательное влияние высокой корреляции между объясняющими переменными на точность и достоверность получаемых оценок.

Метод главных компонент

Метод главных компонент является одним из самых эффективных вычислительных средств, позволяющих оценить коэффициенты эконометрической модели при плохой обусловленности матрицы ( X ¢ X ), вызванной сильной корреляционной зависимостью между некоторыми объясняющими переменными. Однако, как это будет показано далее в этом разделе, использование данного метода обычно ведет к потере части информации, содержащейся в матрице X, что, в свою очередь, является причиной того, что построенная на его основе модель может не вполне адекватно отражать закономерности рассматриваемых явлений.

Вместе с тем, вычислительные преимущества метода главных компонент достаточно очевидны, что обусловливает его популярность в эконометрических исследованиях самого широкого круга процессов, особенно в ситуациях, когда число независимых переменных достаточно велико и даже не слишком значительные корреляции между ними делают матрицу X ¢ X плохо обусловленной.

Основная идея метода главных компонент состоит в замене объясняющих переменных x_i, i=1, 2,..., n на новые переменные z_j, j=1, 2,..., k; k£ n, которые, с одной стороны, свободны от недостатков, вызванных корреляционной зависимостью, а, с другой, – содержат в себе максимально возможную долю информации “старых” переменных x_i. Обычно метод главных компонент работает с центрированными переменными (см. раздел 1.1, выражение (1.13)). С учетом этого эконометрическая модель с центрированными переменными определяется выражением (1.10), в котором свободный коэффициент a₀ отсутствует, т. е.

 

 

где, напоминаем, центрированные переменные определяются как и их математические ожидания равны нулю, т. е. i=1, 2,..., n.

Таким образом, матрица определяется следующимвыражением:

=

Выражение является мерой изменчивости переменной x_i относительно ее среднего значения на интервале (1, Т). Аналогично, выражение определяет взаимную изменчивость переменных x_i и x_r на рассматриваемом интервале. Несложно заметить, что, если разделить эти изменчивости на Т–1, то получим дисперсию переменной x_i и ковариацию переменных x_i и x_r соответственно. Таким образом, сумма диагональных элементов матрицы в данном случае содержит в себе всю информацию относительно изменчивости включен ных в исходную модель переменных x_i. Эта сумма называется следом матрицы и обычно обозначается как tr( ).

Главные компоненты (новые переменные z_jt) формируются как линейные комбинации “старых центрированных переменных” с учетом введения для них двух следующих принципиальных ограничений.

1. Полная совокупность главных компонент должна содержать в себе всю изменчивость переменных x_i, i=1, 2,..., n.

2. Главные компоненты должны быть ортогональны между собой, т. е. для любой пары компонент j и r, j¹ r должно выполняться соотношение

 

 

Запишем линейное представление главных компонент через центрированные переменные в следующем виде:

Заметим, что поскольку то для всех j=1, 2,..., k. С учетом этого выражение (4.20) можно интерпретировать в том смысле, что взаимная изменчивость переменных z_j и z_r равна нулю.

В матричной форме выражение (4.21) запишем следующим образом:

z ₁= b ₁, (4.22)

 

где z ₁=(z₁₁,..., z_1T)¢ – вектор-столбец значений z_1t первой компоненты в моменты t; b ₁=(b₁₁,..., b_1n)¢ – вектор-столбец коэффициентов линейной зависимости, выражающей связь первой компоненты со значениями центрированных переменных в моменты t=1, 2,..., Т; – матрица центрированных переменных , i=1, 2,..., n, в которой столбец, состоящий из единиц, отсутствует.

С учетом выражения (4.22) сумма квадратов элементов z_1t, т. е. , характеризующая изменчивость первой главной компоненты, выражается следующим образом:

 

( z ₁¢, z ₁)= b ₁¢ b ₁. (4.23)

 

Определим неизвестный вектор коэффициентов b ₁ таким образом, чтобы первая главная компонента вобрала в себя максимальную долю изменчивости, содержащейся в матрице , но при условии, что сами значения коэффициентов не будут влиять на эту характеристику. Это можно сделать введя нормирующее ограничение на элементы вектора b ₁, которое выражается следующим соотношением

 

( b ₁¢, b ₁)=b₁₁²+b₁₂²+...+b_1n²=1. (4.24)

 

Очевидно, что при выполнении условия (4.24) уровень изменчивости ( z ₁¢, z ₁) не сможет превзойти изменчивость всей матрицы .

Задача максимизации квадратичной формы (4.23) при условии (4.24) может быть решена на основе метода множителей Лагранжа, согласно которому искомое решение, т. е. вектор b ₁, является значением аргумента, максимизирующим следующий функционал:

 

f ₁= b ₁¢ b ₁ –m₁( b ₁¢ b ₁ –1), (4.25)

 

где m ₁ – множитель Лагранжа.

Исходя из условия оптимума ¶j_i /¶ b _i=0, дифференцируя правую часть (4.25) по вектору b ₁ с учетом очевидного условия ¶m_i /¶ b _i =0, получим

 

( )× b ₁=m₁ b ₁. (4.26)

 

Из равенства (4.26) следует, что m₁ – максимальное собственное число (перронов корень), положительно определенной матрицы ( ), а b ₁ – соответствующий ему собственный вектор, координаты которого должны удовлетворять соотношению (4.24).

Аналогичным образом значения второй главной компоненты в моменты t=1, 2,..., Т определим как линейную комбинацию независимых переменных , i=1, 2,..., n, что может быть выражено равенством:

 

z ₂= b ₂, (4.27)

 

где z ₂=(z₂₁, z₂₂,..., z_2T)¢; b ₂=(b₂₁, b₂₂,..., b_2n)¢.

Неизвестные коэффициенты-компоненты вектора b ₂ определим из (4.27) с учетом трех отмеченных выше условий. Компонента z ₂ должна вобрать в себя максимальную долю изменчивости матрицы , оставшейся после компоненты z ₁, вектора z ₁ и z ₂ должны быть ортогональны друг другу, а координаты вектора b ₂ должны быть нормированы согласно соотношению типа (4.24).

Сочетание этих условий соответствует постановке задачи максимизации квадратичной формы

 

b ₂¢ b ₂®max (4.28)

 

при ограничениях

 

( b ₂¢, b ₁)=0. (4.30)

 

При этом отметим, что вид функционала (4.28) вытекает из определения изменчивости компоненты z ₂ как скалярного произведения ( z ₂¢, z ₂)= b ₂¢ b ₂, выражение (4.29) является аналогом условия (4.24), а равенство (4.30) является следствием условия ортогональности компонент z ₁ и z ₂ .

В самом деле, условие ортогональности z ₁ и z ₂ можно представить с учетом свойства (4.26) в следующем виде:

 

0=( z ₂¢, z ₁)= b ₂¢ b ₁ =m₁( b ₂¢, b ₁). (4.31)

 

Из (4.31) непосредственно следует ограничение (4.30).

Оптимизационная задача (4.28)–(4.30) также решается с помощью метода множителей Лагранжа как задача безусловной максимизации следующей квадратичной формы:

 

f₂= b ₂¢ b ₂ –m₂( b ₂¢ b ₂–1)–h ₁( b ₂¢ b ₁ –0), (4.32)

 

где m₂ и h₁ – множители Лагранжа.

Условие максимума (4.32) приводит к следующему выражению:

¶j ₂ /¶ b ₂=2 b ₂–2m₂ b ₂–h₁ b ₁=0. (4.33)

 

Несложно показать, что множитель h₁=0. Для этого умножим равенство (4.33) слева на b ₁¢. В результате

 

2 b ₁¢ b ₂ –2m ₂( b ₁¢ b ₂)–h₁( b ₁¢ b ₁)=0. (4.34)

 

Поскольку

 

b ₁¢ = b ₁=m₁ b ₁, ( b ₁¢, b ₂)=0 и ( b ₁¢, b ₁)=1,

 

то из условия (4.34) непосредственно следует, что h ₁= 0.

В этом случае выражение (4.33) можно представить в виде аналогичном (4.26):

b ₂=m₂ b ₂. (4.35)

 

Из (4.35) следует, что множитель Лагранжа m ₂ является вторым по величине собственным корнем матрицы ( ) и положительным числом (поскольку у положительно определенной матрицы все собственные числа положительные). Этому собственному числу соответствует собственный вектор b ₂, координаты которого удовлетворяют условию (4.29).

Продолжение процесса формирования главных компонент как линейных комбинаций независимых переменных приводит к следующему результату. Коэффициенты этих линейных комбинаций являются нормированными собственными векторами b ₁, b ₂,..., b _n матрицы , которым соответствуют собственные числа m ₁, m ₂,..., m _n, удовлетворяющие соотношению

m₁> m ₂ ³ m₃ ³...³ m _n. (4.36)

 

Объединим вектора-столбцы b _i, i=1, 2,..., n в матрицу следующего вида:

В =( b ₁, b ₂,..., b _n). (4.37)

 

Тогда матрица значений главных компонент Z в общем случае, имеющая размер n´ Т определяется согласно следующему выражению:

Z = В, (4.38)

 

матрица Z ¢ Z (аналог матрицы ) с учетом свойств ортогональности компонент и нормированности векторов b _i, i=1, 2,..., n имеет следующий вид:

Z ¢ Z = В ¢ В = . (4.39)

 

Заметим, что tr Z ¢ Z, т. е. является следом матрицы Z ¢ Z и определяет общую изменчивость главных компонент. Можно формально показать, что

tr( Z ¢ Z )=tr( ), (4.40)

 

т. е. изменчивость переменных , i=1, 2,..., n равна изменчивости главных компонент z_j, j=1, 2,..., k.

При доказательстве равенства (4.40) будем использовать два результата теории матриц. Первый из них относится к свойствам матрицы В. Из условий типа (4.26), (4.29) и (4.30), определяющих свойства нормированности векторов b _i, i=1, 2,..., n; и их ортогональности, следует, что

В ¢ В = Е. (4.41)

 

Таким образом, В ¢ = В ^–1 и для таких матриц справедливым является следующее равенство:

ВВ ¢ = Е. (4.42)

 

Из последнего результата вытекают определенные свойства следов матриц, которые могут быть сформулированы следующим образом: для произвольной матрицы А имеет место равенство следов матриц А ¢ А и АА ¢, т. е.

tr( А ¢ А )=tr( АА ¢ ). (4.43)

 

Как частный случай равенства (4.43) можно рассматривать следующий результат: скалярное произведение вектора-строки х ¢ на вектор-столбец х равно следу матрицы, полученной путем умножения вектора-столбца х на вектор-строку х ¢. Иными словами,

 

( х ¢ х )= =tr( хх ¢ ), (4.44)

 

где х_i – координаты вектора х.

С учетом свойств (4.42) и (4.44) имеем

tr( Z ¢ Z )= = tr( В ¢ В )=tr( В ¢ В )=tr( )=

= . (4.45)

 

Таким образом, отношение можно интерпретировать как вклад (долю) компоненты z_j в общую изменчивость независимых факторов , i=1, 2,..., n. Иными словами, справедливым является следующее равенство:

 

(4.46)

 

Условие (4.46) является ключевым при решении вопроса о том, сколько главных компонент целесообразно включить в эконометрическую модель. Как уже было отмечено выше, в том случае, когда матрица ( ) является плохо обусловленной, но ее определитель отличен от нуля, ½ ½ ¹ 0, теоретически общее число главных компонент совпадает с числом объясняющих переменных п. Однако информативная ценность главных компонент различна. Компоненты с большими номерами, как правило, определяют лишь незначительную долю общей изменчивости переменных и их обычно не включают в эконометрическую модель. Решение о том, на какой компоненте целесообразно остановиться может быть принято на основе анализа кумулятивной переменной I(m_r), определяемой как

I(m_r) = . (4.47)

Если I(m_r) определяет достаточную долю изменчивости переменных и эта доля для компоненты с номером r+1 рассматривается как относительно небольшая (на практике – менее процента от общей изменчивости), то компоненты с номерами r+1, r+2,..., k в модель обычно не включают (см. рис. 4.1), ограничиваясь первыми r номерами из них.

На рис. 4.1 изображен вариант изменения кумулятивной изменчивости главных компонент. Из графика непосредственно видно, что первые четыре компоненты определяют около 95% общей изменчивости переменных , так что доля 5-й и последующих компонент явно незначительна. В этом случае в модель целесообразно включить лишь первые четыре компоненты.

В том случае, если ½ ½ = 0, матрица имеет ранг r< n, у нас имеется лишь r отличных от нуля собственных чисел, которым соответствуют r главных компонент, определяющих суммарную изменчивость переменных , i=1, 2,..., n. Тогда число включаемых в модель компонент не превосходит числа r. В исследованиях реальных процессов число главных компонент обычно существенно меньше количества независимых переменных.

 

I(m_r)

 

1

0, 9

0, 8

0, 7

0, 6

0, 5

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k

Рис.4.1. График изменения кумулятивной

Вопросы к главе IV

1. Опишите процедуру оценки параметров экономерической модели с помощью рекуррентных методов?

2. В чем метода главных компонент?

3. Каковы проблемы использования моделей с главными компонентами?

4. В чем суть метода Ширли Алмон?

Упражнения к главе IV

Задание 4.1

Для линейного двухфакторного уравнения регрессии

 

y_t =a₀+ a₁ х_1t + a₂ х_2t +e_t (t=1,..., Т)

 

имеется следующая таблица данных:

х1t
х2t
yt

 

Требуется:

1. Определить коэффициент корреляции r₁₂и матрицу ( X ^*¢ X ^*)^–1.

2. Провести следующее преобразование факторов: u_1t = х_1t и u_2t= х_1t – х_2t и определить коэффициент корреляции r_12(u), также матрицу ( U ^*¢ U ^*)^-1.

3. Показать, что с точки зрения прогнозирования исходное и преобразованное уравнение эквивалентны, т. е. для каждой пары значений экзогенных переменных (х₁₀, х₂₀) дают одинаковые точечные и интервальные прогнозы математического ожидания.

 

Задание 4.2

Имеется линейное двухфакторное уравнение регрессии

 

y_t =a₀+ a₁ х_1t + a₂ х_2t +e_t (t=1,..., Т).

Требуется:

1. Рассмотреть в общем виде трендовое выравнивание как метод устранения коллинеарности.

2. Показать, что при трендовом выравнивании оценки параметров регрессии остаются неизменными.

 

Задание 4.3

Для линейного трехфакторного уравнения регрессии

 

y_t =a₀+ a₁ х_1t + a₂ х_2t + a₃ х_3t +e_t (t=1,..., Т),

 

имеются следующие данные:

х1t	10, 3	14, 6	11, 4	17, 1	10, 6
х2t	20, 8	28, 0	23, 0	30, 5	21, 7
х3t	4, 1	20, 3	9, 8	8, 1	17, 7
yt	40, 0	80, 0	55, 0	58, 0	70, 0

 

Требуется:

1. Определить корреляционную матрицу R и содержащийся в этих данных размер коллинеарности как det(R).

2. Рассчитать размер коллинеарности, в случае если из уравнения выводится переменная х₂.

3. Учесть дополнительную внешнюю информацию, что a₁=1, 5a₂ и определить размер коллинеарности в этом случае.

4. Построить точечный прогноз математического ожидания целевой переменной у₀ для значений экзогенных переменных (х₁₀, х₂₀, х₃₀)¢ =(8, 0; 16, 0; 6, 0)¢

а) при использовании исходного уравнения;

б) при отбрасывании из уравнения экзогенной переменной х₂;

в) при использовании внешней информации из п.3.

 

Задание 4.4

Для линейного трехфакторного уравнения регрессии

 

y_t =a₀+ a₁ х_1t + a₂ х_2t + a₃ х_3t +e_t (t=1,..., Т),

 

имеются данные из задания 4.3.

Требуется:

1. Определить гребневые оценки параметров для гребневой константы, равной 0, 5 и 0, 8.

2. Построить точечный прогноз математического ожидания целевой переменной у₀ для значений экзогенных переменных (х₁₀, х₂₀, х₃₀)¢ =(8, 0; 16, 0; 6, 0)¢ по обоим оцененным уравнениям.

Задание 4.5

Для линейного трехфакторного уравнения регрессии

 

y_t =a₀+ a₁ х_1t + a₂ х_2t + a₃ х_3t +e_t (t=1,..., Т),

 

имеются данные из задания 4.3.

Требуется:

1. Оценить уравнение с помощью метода главных компонент, если известно, что первые две главные компоненты учитывают 98, 97% изменчивости матрицы факторов и формируются следующим образом:

 

 

2. Построить точечный прогноз математического ожидания целевой переменной у₀ для значений экзогенных переменных (х₁₀, х₂₀, х₃₀)¢ =(8, 0; 16, 0; 6, 0)¢

Задание 4.6

Для линейного уравнения с лаговыми независимыми переменными

y_t =a₀ х_t + a₁ х_t–1 + a₂ х_t–2 +... +e_t (t=1,..., Т)

 

имеются следующие данные (см. табл. 4.1).

Таблица 4.1

хt
yt	–	–	–	–	–
хt										–
yt										–

 

Требуется:

1. Оценить параметры уравнения с помощью метода Ш. Алмон, если максимальный лаг равен 5, а порядок аппроксимирующего многочлена – 3.

2. Построить ретроспективный точечный прогноз целевой переменной y_t.

Вопросы к главе V

1. Какие проблемы возникают при построении моделей с лаговыми переменными?

2. Что представляет собой модель Койка?

3. Перечислите основные подходы к оценке коэффициентов эконометрической модели, содержащей лаговые зависимые переменные?

4. Каковы особенности использования инструментальных переменных в оценках параметров моделей?

Упражнения к главе V

Задание 5.1

Имеется модель с лаговыми эндогенными переменными.

Требуется:

1. Представить модель в общем виде в матричной форме записи

у = Х × a + e

 

и пояснить специфику матрицы Х.

2. Выяснить, какими свойствами должен обладать вектор оценок параметров a

 

 

Исходить из гомоскедастичности и отсутствия автокорреляции ошибок.

3. Дать 3 модели с лаговыми переменными, объясняющие потребление домашних хозяйств. В качестве экзогенной переменной использовать доход.

 

Задание 5.2

Имеется модель Койка

 

 

как частный случай модели с распределенными лагами.

Требуется:

1. Показать, что это уравнение является моделью с лаговыми эндогенными переменными.

2. Показать распределение лагов для g=0, 5 и g=0, 8.

3. Определить средний лаг.

 

Задание 5.3

Имеется следующая модель с распределенными лагами:

 

 

где e_t ~(0, s²).

Требуется:

1. Определить коэффициенты реакции y_t на x_t–j–1 для первых трех периодов.

2. Определить веса отдельных х_t–j-1для j=0,..., 2 в распределении лагов.

3. Преобразовать модель в уравнение с конечным числом переменных.

 

Задание 5.4

Связь между ВНП и денежной массой исследуется с помощью следующей модели:

 

 

Установлено, что e_t не коррелированны и гомоскедастичны. Получены оценки a=0, 3 и b=0, 7.

Требуется:

1. Представить исходную модель в виде геометрической модели с распределенными лагами.

2. Определить реакцию дохода в году t₀+3, если денежная масса в году t₀ увеличилась на 1 единицу.

Стационарные временные ряды

Широкий круг социально-экономических, технических и естественнонаучных процессов часто представляется набором последовательных значений показателя у₁, у₂,..., у_t,..., у_Т, зафиксированных в равноотстоящие друг от друга моменты времени t=1, 2,... Т, так что интервал (t, t+1) является постоянным. Этот набор значений у_t, t=1, 2,... обычно называется временным рядом (временной серией). Такой ряд представляет собой дискретный временной процесс.

Изменения значений у_t во времени в реальной жизни обычно происходят под воздействием каких-либо причин, факторов. Однако в силу их многочисленности, сложности измерения, неразработанности теоретических предположений относительно взаимосвязей с переменной у и т. п. обосновать и построить “подходящую” для описания процесса у_t, t=1, 2,... многофакторную эконометрическую модель классического типа не всегда представляется возможным. В результате в отношении ряда у_t часто выдвигается предположение, что совокупное влияние этих факторов формирует как бы внутренние закономерности в развитии процесса у_t, что дает возможность применить для его описания эконометрическую модель из специфического класса моделей временных рядов.

Модели временных рядов активно применяются в исследованиях динамики значительного числа реальных процессов различной природы. Они часто используются в исследованиях динамики пассажиропотоков, складских запасов, спроса на различные виды продукции, миграционных процессов в человеческом и биологических сообществах, в радиотехнике, анализе химических процессов, моделировании природных событий: динамики числа солнечных пятен, природных катастроф и многих других процессов.

Самое широкое применение модели временных рядов нашли в исследованиях финансовых рынков, в анализе динамики финансовых показателей, прогнозировании цен на различные товары, курсов акций, соотношений курсов валют и т. п.

Пожалуй, общим для всех моделей временных рядов является предположение о том, что текущее значение процесса y_t в значительной степени предопределено его предысторией, т. е. величина показателя y_t генерируется значениями y_t–1, y_t–2,... согласно характерным для этого временного ряда закономерностям. Математически это допущение может быть выражено следующим общим уравнением:

 

 

где, как и ранее, e_t представляет собой ошибку модели в момент t.

Функция f как раз и выражает характер взаимосвязей, сложившихся в рассматриваемом временном ряду у_t, t=1, 2,... При удачном подборе этой функции правая “детерминированная” часть выражения (6.1) будет в некотором смысле “близка” к реальным значениям этого ряда. Как и ранее “степень близости” обычно устанавливается по характеристикам и свойствам ряда ошибки e_t, t=1, 2,... Здесь имеется в виду прежде всего минимальная дисперсия, соответствие белому шуму и т. п.

Для широкого круга процессов функция f имеет линейный вид. Например, Вопросы построения линейных моделей временных рядов и анализа их основных свойств и будут рассмотрены в данной главе.

Линейные модели временных рядов применяются, как правило, для описания стационарных процессов. При этом обычно имеются в виду стационарные процессы второго порядка. Напомним, что стационарный процесс п-го порядка характеризуется постоянными значениями всех своих моментов порядк<

12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Анализ влияния налогового бремени на деятельность туристского предприятия. Пути повышения эффективности работы туристского предприятия в условиях действующей налоговой системы
2. Анализ максимизации прибыли в условиях рынка несовершенной конкуренции
3. Анализ моделей - аналогов в разрезе проектируемой модели
4. Бизнес-процесс «построение учебного процесса»
5. В городских условиях ( ОК -5, ОК-7, ОК-9, ОК-10)
6. В условиях дуополии с неравным распределением рыночной власти между фирмами одна из них ведет себя как лидер, в то время как другая осуществляет стратегию приспособления
7. В условиях неограниченных ресурсов
8. В условиях новой экономической политики
9. В УСЛОВИЯХ РЫНОЧНЫХ ОТНОШЕНИЙ
10. ВЕДЕНИЕ СНАЙПЕРСКОГО ОГНЯ В ОСОБЫХ УСЛОВИЯХ
11. Взаимосвязь инфляции и безработицы. Построение кривой Филлипса.
12. Виды моделей и моделирования