Обобщенный метод наименьших квадратов.

При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреляции ошибок рекомендуется традиционный метод наименьших квадратов (метод OLD – Ordinary Least Squares) заменять обобщенным методом GLS(Generalized Least Squares). Он применяется к преобразованным данным и позволяет получать оценки, которые обладают не только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные дисперсии.

Суть метода заключается в том, что подбираются коэффициенты К_i, такие, что σ ²_ei =σ ² · К_i,

где σ ²_ei – дисперсия ошибки при конкретном i–ом значении фактора;

σ ² – постоянная дисперсия ошибки при соблюдении предпосылки о

гомоскедастичности остатков;

К_i – коэффициент пропорциональности, меняющийся с изменением

величины фактора.

Уравнение парной регрессии при этом принимает вид

у_i/ = a₀/ + a₁х_i/ +e_i.

По отношению к обычной регрессии уравнение с новыми, преобразованными переменными представляют собой взвешенную регрессию, в которой переменные у и х взяты с весами 1/ . Аналогичный подход применяют и для множественной регрессии, уравнение с преобразованными переменными принимает вид

у/ =a₀/ +a₁х₁/ +a₂х₂/ +…+a_mх_m/ +e. (15)

Параметры такой модели зависят от концепции, принятой для коэффициента пропорциональности К. В эконометрических исследованиях довольно часто выдвигается гипотеза, что остатки e_i пропорциональны значениям фактора. Пусть, например, у – издержки производства, х₁ – объем продукции, х₂ – основные производственные фонды, х₃ – численность работников, тогда уравнение у =a₀ +a₁х₁ +a₂х₂ + a₃х₃ +e является моделью издержек производства с объемными факторами. Предполагая, что σ ²_ei пропорциональна квадрату численности работников (т.е. = х₃), получим в качестве результативного признака затраты на одного работника (у/х₃), а в качестве факторов производительность труда (х₁/х₃) и фондовооруженность труда (х₂/х₃). Соответственно трансформированная модель примет вид

у/ х₃ =a₃ +a₁х₁/ х₃ +a₂х₂/ х₃ +e,

где вычисленные параметры a₃, a₁, a₂ численно не совпадают с аналогичными параметрами предыдущей модели. Кроме того, коэффициенты регрессии меняют экономическое содержание: из показателей силы связи, характеризующих среднее изменение издержек производства с изменением абсолютного значения соответствующего фактора на единицу, они фиксируют теперь среднее изменение затрат на работника в зависимости от изменения производительности труда на единицу; и в зависимости от изменения фондовооруженности труда на единицу.

Если же предположить, что в первоначальной модели дисперсия остатков пропорциональна квадрату объема продукции, получаем уравнение регрессии

у/ х₁ =a₁ +a₂х₂/ х₁ +a₃х₃/ х₁ +e,

где у/ х₁ – затраты на единицу продукции, х₂/ х₁ – фондоемкость продукции, х₃/х₁ – трудоемкость продукции.

Переход к относительным величинам существенно снижает вариацию фактора и соответственно уменьшает дисперсию ошибки.

Прогнозирование.

Расчеты и проверка достоверности полученных оценок коэффициентов регрессии не являются самоцелью, это лишь необходимый промежуточный этап. Основное – это использование модели для анализа и прогноза поведения изучаемого экономического явления. Прогноз осуществляется подстановкой значения фактора х в полученную формулу регрессии. Доверительный интервал для прогностического значения у(х)= a₀+a₁х определяется по формуле , (16)

где t_p – критическая граница распределения Стьюдента с n – 2 степенями свободы, соответствующая уровню значимости р.

Используем полученное в примере 1 уравнение регрессии для прогноза объема товарооборота. Пусть намечается открытие магазина с численностью работников х=140 чел., тогда достаточно обоснованный объем товарооборота следует установить по уравнению ŷ (х)= –0, 974 + 0, 01924× 140=1, 72 млрд. руб.

Для получения доверительного интервала воспользуемся выражением (16).

Выберем уровень значимости 5%. Число степеней свободы у нас 8 – 2 = 6, тогда по таблице распределения Стьюдента (приложение 1) находим

t_0.05(6)=2, 447.

s=Ö 0, 008=0, 089,

следовательно, с вероятностью 95% истинные значения объемов товарооборота будут лежать в пределах

1, 72 – 2, 447× 0, 048< y(x)< 1, 72+2, 447× 0, 048, или 1, 60< y(x)< 1, 84.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. V3: Метод наименьших квадратов (МНК)
2. Метод наименьших квадратов и предпосылки его применения для множественной линейной регрессии
3. Нелинейные регрессионные модели: метод наименьших квадратов, методика выбора вида зависимости объясняемого фактора от объясняющих факторов.
4. Обычный метод наименьших квадратов (линейная регрессия)
5. Обычный метод наименьших квадратов(линейная регрессия)
6. Парная линейная регрессионная модель: оценка коэффициентов регрессии методом наименьших квадратов (МНК).
7. Предпосылки метода наименьших квадратов