Работы, выполненные без соблюдения этих правил, к зачету не принимаются и возвращаются без рецензирования для переработки.

Гельруд Я.Д.

Эконометрика

Учебное пособие

Челябинск

Гельруд Я.Д. Эконометрика.

Учебное пособие. – Челябинск: 2005. – 62 с.

Включает в себя программу курса, краткий курс лекций с большим числом разобранных практических примеров, контрольные вопросы для подготовки к экзамену и задания для выполнения контрольных работ.

Учебное пособие предназначено для студентов факультета экономики и предпринимательства всех форм обучения.

Рецензенты:

председатель Челябинского научного центра Российской академии естественных наук, доктор технических наук, профессор, академик Чапцов Р.П.; кандидат экономических наук, профессор кафедры мировой экономики Челябинского государственного университета Горбунов Б.М

Одобрено и рекомендовано к изданию Учебно-методическим советом ФЭиП (протокол № от 2005г.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Общие указания
Образец оформления титульного листа
Программа курса
КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ 1. Введение в корреляционно-регрессионный анализ 1.1. Соотношения между экономическими переменными. 1.2. Линейная связь, корреляция. 1.3. Регрессионные модели как инструмент анализа и прогнозирования экономических явлений. 2. Линейная модель множественной регрессии 2.1. Определения. Парная регрессия. Метод наименьших квадратов. 2.2. Свойства оценок МНК. 2.3. Показатели качества регрессии. 2.4. Множественная регрессия. 2.5. Формирование регрессионных моделей на компьютере с помощью ППП Excel 2.6. Линейные регрессионные модели с гетероскедастичными и автокоррелированными остатками. 2.7. Обобщенный метод наименьших квадратов. 2.8. Прогнозирование. 3. Нелинейные модели регрессии и их линеаризация 3.1. Мультипликативные модели регрессии и их линеаризация. 3.2. Гиперболическая регрессия. Полиномиальная и кусочно- полиномиальная регрессия. 3.3. Экспоненциальная и степенная регрессии 4. Временные ряды. 4.1. Характеристики временных рядов. Выявление тренда в динамических рядах экономических показателей. 4.2. Моделирование сезонных и циклических колебаний. 4.3. Статистика Дарбина-Уотсона. 5. Системы эконометрических уравнений. Контрольные вопросы по дисциплине Задания к контрольной (семестровой) работе Приложения 1-3 Список литературы

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ

В курсе " Эконометрика" рассматриваются задачи эконометрики как науки о связях экономических явлений, условия и методы построения экономических регрессионных моделей по статистическим данным и временным рядам.

Изучение этих прикладных разделов математики занимает важное место в формировании экономистов высокой квалификации и служит основой для описания, анализа и прогнозирования реальных экономических процессов.

При выполнении контрольной работы необходимо строго придерживаться следующих правил:

1. Студент обязан делать контрольную работу только своего варианта, отсылая ее на рецензирование в сроки, предусмотренные графиком.

2. Контрольную работу следует выполнять чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля (3-4 см) для замечаний рецензента. Рекомендуется оставлять в конце работы несколько чистых страниц для исправлений и дополнений в соответствии с указаниями рецензента. Разрешается выполнять некоторые расчеты на ЭВМ и вклеивать распечатки.

3. На титульном листе студент должен указать свою фамилию, имя, отчество. Также название работы, номер зачетной книжки, номер варианта, форму обучения, специальность, курс, номер группы (образец оформления титульного листа приводится ниже! ).

В конце работы необходимо привести список использованной литературы.

4. Перед решением задачи нужно полностью выписать ее условие и исходные данные своего варианта. Решение каждой задачи студент должен сопровождать подробными объяснениями и ссылками на соответствующие формулы, теоремы и правила. Вычисления должны быть доведены до конечного числового результата. Ответы и выводы, полученные при решении задач, следует подчеркнуть.

5. После получения отрецензированной работы студенту необходимо исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Если работа возвращена на доработку, то следует переделать те задачи, на которые указывает рецензент, а при отсутствии такого указания вся контрольная работа должна быть выполнена заново. Переделанная работа высылается на повторное рецензирование обязательно с незачтенной ранее работой и рецензией к ней. При этом на обложке следует указать фамилию рецензента.

Работы, выполненные без соблюдения этих правил, к зачету не принимаются и возвращаются без рецензирования для переработки.

На экзамен студент должен явиться с контрольными работами, допущенными к собеседованию.

Номер варианта контрольной работы В определяется с помощью двух последних цифр NN зачетной книжки студента следующим образом. Если NN£ 30, то В= NN; если 31£ NN£ 60, то В= NN – 30; если 61£ NN£ 90, то В=NN – 60; если 91£ NN, то В= NN – 90. Например, студент, имеющий зачетную книжку с номером 87453, должен выполнять вариант 23.

Образец оформления титульного листа

Федеральное агентство по образованию

Южно-Уральский государственный университет

Факультет экономики и предпринимательства

Кафедра «Предпринимательства и менеджмента»

Контрольная работа

по Эконометрике

№ зачетной книжки:
№ варианта:
Форма обучения:	заочная
Специальность:	Финансы и кредит
Курс:
Группа:	ЭиП-302
Выполнил:	Погрев С.П.

Номера задач по варианту: Зачтено:

Челябинск 2005

ПРОГРАММА КУРСА ЭКОНОМЕТРИКА

№	Содержание лекций	Содержание практических занятий
	Введение в корреляционно-регрессионный анализ Соотношения между экономиче-скими переменными. Регрессионные модели как инструмент анализа и про-гнозирования экономических явлений.
	Линейная модель множественной регрессии Определения. Метод наименьших квадратов (МНК). Свойства оценок МНК. Показатели качества регрессии. Линейные регрессионные модели с гетероскедастичными и автокоррели-рованными остатками. Статистика Дарбина-Уотсона. Прогнозирование.	[5]: №22-29, стр. 90-105
	Нелинейные модели регрессии и их линеаризация Мультипликативные модели регресс-сии и их линеаризация. Гиперболическая регрессия. Полиномиальная и кусочно-полиномиальная регрессия. Степенная и показательная регрессии.	[5]: №17-25, стр. 36-47
	Временные ряды. Характеристики временных рядов. Выявление тренда в динамических рядах экономических показателей. Линейные и нелинейные тренды..	[5]: № 1-23, стр. 163-177
	Системы эконометрических уравнений Система линейных одновременных уравнений. Косвенный, двухшаговый и трехшаговый метод наименьших квадратов

КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ

Введение в корреляционно-регрессионный анализ.

Линейная связь, корреляция.

В самом простом случае предполагается, что f задает уравнение прямой f(x)=a₀+a₁х. Модель в этом случае имеет вид

у_i=a₀+a₁х_i+e_i (i=1, 2, …, n). (1)

Здесь e_i являются вертикальными уклонениями точек (x_i, y_i) от аппроксимирующей прямой. Вопрос о нахождении формулы зависимости можно ставить после положительного ответа на вопрос о существования такой зависимости, но эти два вопроса можно решать и одновременно.

Для ответа на поставленные вопросы существуют специальные методы и, соответственно, показатели, значения которых определенным образом свидетельствуют о наличии или отсутствии линейной связи между переменными. Такими показателями являются коэффициент корреляции величин Х и Y, а также коэффициенты линейной регрессии a₀и a₁, их стандартные ошибки и t-статистики, по значениям которых проверяется гипотеза об отсутствии связи величин Х и Y.

Угловой коэффициент a₁прямой линии регрессии Y на X называют коэффициентом регрессии Y на X и обозначают r_yx.

Выражение s_х² = –( )² есть выборочная дисперсия Х (или квадрат выборочного среднего квадратического отклонения).

Выборочный коэффициент корреляции определяется равенством

r_yx =(ху – х× у )/(s_хs_y), (2)

где s_y есть выборочное среднее квадратическое отклонение Y.

(Верхняя черта, как это принято в теории вероятностей и математической статистике, означает среднее значение выборочной совокупности, в данном случае ).

Коэффициент корреляции измеряет силу (тесноту) линейной связи между Y и X. Он является безразмерной величиной, не зависит от выбора единиц измерения обеих переменных. Для него всегда выполняется 0 £ |r_yx| £ 1, и чем ближе его значение к ±1, тем сильнее линейная связь. Коэффициент корреляции будет положительным, если зависимость переменных Х и Y прямо пропорциональная, и отрицательным, – если обратно пропорциональная.

При близости к нулю коэффициента корреляции, например, величин уровней инфляции и безработицы (что имело место фактически в экономике США в 1970-х – 1980-х годах) нужно не говорить сразу о независимости этих показателей, а попытаться построить более сложную (не линейную) модель их связи.

Определения. Парная регрессия. Метод наименьших квадратов (МНК).

Если формула (3) линейна, то речь идет о линейной регрессии. Формула статистической связи двух переменных называется парной регрессией, зависимость от нескольких переменных – множественной регрессией. Например, Кейнсом была предложена линейная модель зависимости частного потребления С от располагаемого дохода Х: С=С₀+ С₁Х, где С₀ > 0 – величина автономного потребления (при уровне дохода Х=0), 1> C₁> 0 – предельная склонность к потреблению (C₁показывает, на сколько увеличится потребление при увеличении дохода на единицу).

В случае парной линейной регрессии имеется только один объясняющий фактор х и линейная регрессионная модель записывается в следующем виде:

у=a₀+a₁х+e, (4)

где e – случайная составляющая с независимыми значениями Мe=0, De= s².

Оценка параметров регрессии a₀и a₁производится по наблюденным значениям зависимой и объясняющей переменным (x_i, y_i), i=1, 2, …, n, где n – число пар наблюдений (объем выборки). Рассматриваются n уравнений у_i=a₀+a₁х_i+e_i, где уклонения e_iявляется следствием реализации случайной составляющей, и выбирают такие значения a₀и a₁, которые минимизируют сумму квадратов этих уклонений, т.е. ищется минимум

Q=å _ie_i²= å _i(у_i – a₀ – a₁х_i)² (5)

по отношению к параметрам a₀и a₁. Заметим, что указанный метод наименьших квадратов (МНК)может быть применен к любой кривой регрессии f(x). “Наилучшая” по МНК прямая линия всегда существует, но даже наилучшая не всегда является достаточно хорошей. Если в действительности зависимость у= f(x) является, например, квадратичной, то ее не сможет адекватно описать никакая линейная функция, хотя среди всех линейных функций обязательно найдется “наилучшая”.

Для отыскания минимума берутся частные производные Q по искомым параметрам (в данном случае по a₀и a₁) и приравниваются к нулю. После выполнения элементарных преобразований получают так называемую систему нормальных уравнений, из которой и находятся искомые параметры. Для парной линейной регрессии получаем

a₁=( – × )/( – ( )²), (6)

a₀= –a₁ × =(( ) × – × )/( – ( )²),

где =å x_iy_i/n, =å x_i/n, =å y_i/n, =å х_i²/n.

Коэффициент a₁называется коэффициентом регрессии и обозначается r_yx. Из (2) и (6) следует, что

r_yx = r_yx s_y /s_х. (7)

Если выборка имеет достаточно большой объем и хорошо представляет генеральную совокупность (репрезентативна), то заключение о тесноте линейной зависимости между признаками, полученными по данным выборки, в известной степени может быть распространено и на генеральную совокупность, т.е. можно выдвинуть гипотезу об имеющейся линейной связи во всей генеральной совокупности вида у=a₀+a₁х.

Свойства оценок МНК.

Оценки, сделанные с помощью МНК, обладают следующими свойствами:

– оценки являются несмещенными, т.е. математическое ожидание оценки каждого параметра равно его истинному значению. Это вытекает из того, что Мe=0, и говорит об отсутствии систематической ошибки в определении положения линии регрессии;

– оценки состоятельны, так как дисперсия оценок параметров при возрастании числа наблюдений стремится к нулю. Иначе говоря, надежность оценки при увеличении выборки растет;

– оценки эффективны, они имеют наименьшую дисперсию по сравнению с любыми другими оценками данного параметра (при линейной аппроксимации). В англоязычной литературе они называются BLUE (Best Linear Unbiased Estimators – наилучшие линейные несмещенные оценки).

Таблица 2

у	х
			n_y

		–
n_х				n =50
у_х

Вычислим сначала все средние и дисперсии:

у=(38× 15+12× 25)/50=17.4,

х=(10× 10+28× 20+12× 30)/50=20.4,

=(10× 100+28× 400+12× 900)/50=460,

ху=(4× 10× 15+28× 20× 15+6× 30× 15+6× 10× 25+6× 30× 25)/50=354,

s_х = Ö – ( )²=Ö 460 – 20.4²=Ö 43.84=6.62,

s_y =Ö (38× (15 – 17.4)²+12× (25 – 17.4)²)/50=4.27,

s_Yx =Ö (10× (21 – 17.4)²+28× (15 – 17.4)²+12× (20 – 17.4)²)/50=Ö 7.44=2.73.

Тогда коэффициент корреляции из (2)

r_yx =(354 – 20.4× 17.4)/(6.62× 4.27)= – 0.034,

коэффициент регрессии из (7)

r_yx = –0.034× 4.27/6.62= –0.022,

уравнение прямой регрессии имеет вид

у_х – 17.4= –0.022(х – 20.4) или у_х = –0.022х + 17.85

и корреляционное отношение из (11)

h_yx=2.73/4.27=0.64.

Из вычисленных показателей можно сделать следующий вывод:

Линейной связи между признаками нет, но какая-то связь есть, причем весьма существенная. Диаграмма рассеяния и прямая линия регрессии построены на рис.1. (В кружках проставлены n_yx).

у_х = -0.022х+17.85

10 20 30

Рис.1. Диаграмма рассеяния (пример 2).

Множественная регрессия.

Значения экономических переменных определяются обычно влиянием не одного, а нескольких объясняющих факторов. Задача оценки статистической взаимосвязи переменных у и х =(х₁, х₂, …, х_m) формулируется аналогично случаю парной регрессии. Ищется функция у=f(a, х )+e, где a– вектор параметров, e– случайная ошибка.

В простейшем случае анализируется линейная зависимость у от х. Уравнение множественной линейной регрессии имеет вид

у=a₀+a₁х₁ +a₂х₂ +…+a_mх_m+e. (12)

Если имеется n наблюдений факторов х и переменной у, то отклонение зависимой переменной у в j-м наблюдении от линии регрессии

e_j= у_j – a₀ – a₁х_j1 – a₂х_j2 – … – a_mх_jm (j=1, 2, …, n).

Построение функции (12) проводится в два этапа.

На первом этапе необходимо произвести отбор факторов. Сначала вычисляются коэффициенты корреляции r_ik по формуле (2) между выборочными значениями факторов Х_i={x_ji} и Х_k={x_j_k}. Если |r_ik|> 0.8 (наблюдается сильная линейная связь между факторами Х_i и Х_k), то один из них отбрасывается (в принципе, любой, но рекомендуется отбрасывать тот, информацию по которому труднее собрать или она менее достоверна). Затем вычисляются коэффициенты корреляции r_i_у по формуле (2) между выборочными значениями фактора Х_i={x_ji} и Y={y_j}. Если |r_iy|< 0.2 (практически отсутствует линейная связь между фактором Х_i и анализируемым показателем Y), то и этот фактор отбрасывается.

На втором этапе для оставшихся факторов применяется метод наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов предполагает поиск коэффициентов a_i таких, что Q=å e_j²®min. Для отыскания минимума берутся частные производные Q по искомым параметрам (мы использовали этот метод в случае однофакторной регрессии для нахождения a₀и a₁) и приравниваются к нулю. После выполнения элементарных преобразований получают так называемую систему нормальных уравнений, из которой и находятся искомые параметры.

Система нормальных уравнений для многофакторной регрессии имеет вид:

a₀ + a₁ ₁ + a₂ ₂ + … + a_m _m = ,

a₀ ₁ + a₁ + a₂ + … + a_m = , (13)

……………………………………………..

a₀ + a₁ + a₂ + … + a_m = .

Для решения системы (13) можно использовать любой метод решения системы линейных уравнений (Гаусса, Крамера и пр.). Оцененное уравнение описывает как общий тренд (тенденцию) изменения зависимой переменной у, так и отклонения от этого тренда. Проблема здесь состоит не только в том, чтобы объяснить возможно большую долю колебаний переменной у, но и отделить влияние каждого из факторов.

Для анализа статистической значимости полученных коэффициентов множественной линейной регрессии оценивают дисперсию D(a_i) и стандартные отклонения S(a_i)=Ö D(a_i) коэффициентов a_i. Аналогично (10) величина t=a_i/S(a_i), называемая t–статистикой, имеет распределение Стьюдента с (n-m-1) степенями свободы. Если число степеней свободы достаточно велико (не менее 10), то при 5%-ном уровне значимости можно приближенно считать оценку незначимой, если t–статистика по модулю меньше 1, и весьма надежной, если модуль t–статистики больше 3.

Коэффициенты множественной линейной регрессии a_i имеют большой экономический смысл. Они показывают, на сколько изменится анализируемый показатель Y при изменении фактора Х_i на единицу.

Пример 3. Рассмотрим аналитические модели спроса, используя ниже приведенные в табл.3 конкретные статистические данные обследования семей, сведенные в девять групп (с примерно одинаковым объемом потребления).

Таблица 3.

№ группы	Расход на питание (у)	Душевой доход (х₁)	Размер семей (х₂)	ŷ	e_j	e_j²

			1, 5	333, 6	99, 4	9880, 36
			2, 1	626, 5	–10, 5	110, 25
			2, 7	928, 5	–28, 5	812, 25
			3, 2	1189, 8	–76, 8	5898, 24
			3, 4	1340, 5	–34, 5	1190, 25
			3, 6	1493, 6	–5, 6	31, 36
			3, 7
			4, 0	1879, 1	34, 9
			3, 7	2409, 5	1, 5	2, 25
Средние	=1313, 9	₁=6080, 5	₂=3, 1			2198, 2

Рассмотрим сначала однофакторную линейную модель зависимости расходов на питание (у) от величины душевого дохода (х₁)

ŷ =а₀ + а₁х₁,

параметры которой а₀ и а₁находятся по формулам (6), используя данные табл.3 и =(∑ х₁²)/9=63989644, 1, =(∑ х₁у)/9)=10894351. Решение: а₀=660, 06; а₁= 0, 1075. Получаем уравнение регрессии ŷ =660, 06 + 0, 1075х₁.

Затем вычисляются средняя квадратическая ошибка выборки (корень квадратный из дисперсии у)

S_у=√ (∑ (у – у)²)/n,

средняя квадратическая ошибка уравнения (4) S_ŷ =√ (∑ (у – ŷ )²)/n и коэффициент детерминации R_{ŷ х1} =√ 1 – S_ŷ²/ S_у².

В нашем примере S_у²=454070, S_ŷ²=63846, следовательно

R_{ŷ х1} =√ 1 – 63846/454070 =0, 927.

Полученное значение свидетельствует, что связь между расходами на питание и душевым доходом очень тесная.

Величина R²_{ŷ х}₁показывает долю изменения результативного признака под воздействием факторного признака. В нашем примере R²_{ŷ х}₁ =0, 859; это означает, что фактором душевого дохода можно объяснить почти 86% изменения расходов на питание.

Рассмотрим теперь двухфакторную линейную модель зависимости расходов на питание (у) от величины душевого дохода (х₁) и размера семьи (х₂)

ŷ =а₀ + а₁х₁+ а₂х₂.

Параметры модели а₀, а₁и а₂находятся посредством решения следующей системы нормальных уравнений:

а₀ + х₁а₁ + х₂а₂= у

х₁а₀ + а₁ + х₁х₂а₂= ух₁

х₂а₀ + х₁х₂а₁+ а₂= ух₂,

которая также формируется с применением метода наименьших квадратов (средние величины х₁х₂, и ух₂вычисляются аналогично однофакторной модели). Получаем систему