Раздел 1 Линейные цепи постоянного тока

Введение

Расчёт электрических цепей является одной из основных задач при изучении электротехники, а впослед-ствии – и электроники.

Наиболее простыми и распространёнными являются линейные цепи, то есть цепи с вольт-амперной характери-стикой в виде прямой.

Сначала изучается расчёт цепей постоянного тока, затем, более сложные цепи – переменного (синусо-идального) тока.

Под переменным током обычно понимают ток синусоидальной формы. В электроснабжении, в промышленных сетях это – основной вид тока, поэтому знание законов переменного тока и расчёта цепей переменного тока является необходимым для инженера.

Расчёт электрических цепей переменного тока более сложен, чем цепей постоянного тока. В этом случае, кроме активного сопротивления, появляются реактивные элементы: катушка индуктивности и конденсатор. В параметрах тока и напряжения, кроме амплитуды в расчётах необходимо учитывать также частоту и начальную фазу. Это значительно усложняет расчёты. В расчётах используются представление синусоидальных величин в виде векторов либо в виде комплексных чисел. Рекомендация студентам: иметь для расчётов инженер-ный калькулятор.

Раздел 1 Линейные цепи постоянного тока

Глава 1 Основные понятия и законы линейных электрических цепей постоянного тока

Для анализа и расчёта реальное электромагнитное устройство с происходящими в нём процессами заме-няется некоторым расчётным эквивалентом – электриче-ской цепью.

Фактически изучаются не реальные устройства, а их эквиваленты, которые, с определённой степенью точно-сти, являются отражением их реальных свойств.

Электрическая цепь – это совокупность соединён-ных друг с другом источников энергии и нагрузок, по которым может протекать электрический ток.

Изображение электрической цепи называется схемой замещения электрической цепи или просто электрической схемой.

Рассмотрим характерные участки цепи:

- Ветвь – участок электрической цепи, в котором ток имеет одно и то же значение. Элементы ветви соединены между собой последовательно;

- Узел – место соединения трёх или более ветвей;

Место соединения ветвей обозначается точкой (обязательно – если ветви пересекаются).

- Контур – любой замкнутый путь в цепи.

Например, в схеме на рисунке 1.1, пять ветвей, три узла, шесть контуров. Убедитесь в этом самостоятельно, проверьте себя.

Соединение сопротивлений

Во многих случаях расчёт электрической цепи можно упростить, путём преобразования её из сложного вида в более простой. При этом уменьшается число узлов, ветвей либо и то и другое.

Необходимое условие преобразования: токи и напряжения в остальных частях схемы, не подвергающих-ся преобразованию, не изменяются. Такое преобразование называется эквивалентным.

а) Последовательное соединение сопротивлений

Последовательное соединение – это такое, при ко-тором во всех элементах цепи течёт одинаковый ток. Элементы ветви соединены последовательно (рис. 1.6).

Такую ветвь можно заменить одним резистором с сопротивлением R_экв, равным сумме сопротивлений всех резисторов.

R_экв = = R₁+R₂+R₃+…+R_n

Эквивалентное сопротивление при таком соедине-нии всегда больше сопротивления любого из элементов. Если все сопротивления равны

R₁= R₂= R₃=…= R, то R_экв = nR

Для проводимостей G формула будет выглядеть так:

Напряжение на зажимах ab равно сумме напряжений на каждом элементе ветви.

б) Параллельное соединение сопротивлений

Параллельное соединение сопротивлений – это такое соединение, при котором ко всем элементам цепи приложено одинаковое напряжение.

Параллельно соединены элементы между двумя узлами (рисунок 1.7).

Ток I в неразветвлённой части равен сумме токов в каждом элементе.

I = I₁= I₂+ I₃+…+ I_n

Эквивалентная проводимость в этом случае равна сумме проводимостей всех элементов:

G_экв = = G₁+ G₂+ G₃+…+ G_n

Для сопротивлений R формула будет выглядеть так:

Как видите, формулы симметричны: при последова-тельном соединении складываются сопротивления, а при параллельном – проводимости.

Эквивалентное сопротивление при таком соедине-нии всегда меньше сопротивления любого из элементов.

Если все сопротивления равны R₁= R₂= R₃=…= R, то

R_экв = R/n

Ток в любой ветви пропорционален проводимости этой ветви.

в) Смешанное соединение сопротивлений

Смешанное соединение сопротивлений – это такое соединение, которое можно представить в виде параллельного и последовательного.

На первый взгляд кажется, что любую схему соединения элементов можно представить в виде смешанного соединения и найти эквивалентное сопротивление путём преобразования параллельных и последовательных участков. Однако бывают случаи, когда соединение элементов не является смешанным. Примером такого случая может служить распространённая в электронике мостовая схема, показанная на рисунке 1.8.

Как найти сопротивление между точками a и d? После нескольких попыток упростить схему, легко убе-диться, что здесь нет участков ни с последовательным, ни с параллельным соединением. Для этого нужно приме-нить преобразование, описанное в следующем параграфе.

г) Преобразование «Звезда-треугольник»

Существует возможность эквивалентного преобра-зования треугольника сопротивлений, показанного на ри-сунке 1.9, в трёхлучевую звезду (рисунок 1.10).

При преобразовании одной схемы в другую, напря-жения и токи, как при любом эквивалентном преобразова-нии, не изменяются.

Формулы для преобразования из треугольника в звезду:

Формулы для преобразования из звезды в треугольник:

R_ab = R_a+ R_b+ R_aR_b/R_с

R_ac = R_a+ R_c+ R_aR_c/R_b

R_bc = R_c+ R_b+ R_cR_b/R_a

Если все сопротивления равны, то легко убедиться, что сопротивления в треугольнике в три раза больше, чем в звезде.

Теперь вернёмся к мостовой схеме на рисунке 8. Можно преобразовать в ней треугольник abc в звезду. Получим схему на рисунке 1.11.

В этой схеме сопротивления треугольника R₁, R₂, R₃ преобразованы в звезду R_a, R_b, R_c.

Теперь не вызывает затруднения найти сопротивле-ние R_ad. Для этого нужно найти последовательные соеди-нения Rb-R4 и Rc-R5, затем параллельное соединение двух получившихся и затем - последовательное соедине-ние с R_a.

Также и в других подобных случаях преобразование «звезда-треугольник» может быть незаменимым.

Идеальный источник тока

Свойства идеального источника тока:

1) Внутреннее сопротивление идеального источника тока бесконечно: r = ∞;

2) Ток через идеальный источник тока всегда равен J и не зависит от сопротивления нагрузки R;

3) Напряжение на нагрузке определяется только сопротивлением нагрузки R: U = JR;

4) Для идеального источника тока невозможен режим холостого хода (т. к. при r = ∞, U= Jr = ∞ );

5) Идеальный источник тока невозможно преобразо-вать в идеальный источник ЭДС.

Идеальных источников тока и напряжения не существует, однако, во многих случаях, источник энергии можно считать идеальным. При r « R можно считать источник идеальным источником ЭДС, а при r » R – идеальным источником тока.

Соединение источников ЭДС

Несколько последовательно соединённых источников ЭДС можно заменить одним эквивалентным источником, как показано на рисунке 1.14.

Внутреннее сопротивление эквивалентного источ-ника R_экв, как обычно при последовательном соединении, равно сумме внутренних сопротивлений всех источников.

R_экв = R₁ + R₂+ R₃

Напряжение эквивалентного источника ЭДС равно алгебраической сумме источников. При совпадении направлений – знак «+», в противном случае – знак «-». В данном случае:

Е_экв = Е₁ - Е₂ + Е₃

В случае идеальных источников ЭДС, очевидно, все сопротивления равны нулю и R_экв= 0.

Параллельное соединение идеальных источников ЭДС невозможно по определению. В случае реальных ис-точников аналогично: несколько параллельно соединён-ных источников ЭДС можно заменить одним эквива-лентным источником, как показано на рисунке 1.15.

Рисунок 1.15 - Параллельное соединение нескольких источников ЭДС

Внутреннее сопротивление эквивалентного источ-ника R_экв, определяется как обычно при параллельном соединении. Эквивалентная проводимость равна сумме проводимостей всех источников.

G_экв = = G₁+ G₂+ G₃, R_экв = 1/ G_экв

Эквивалентная ЭДС определяется по следующей формуле (в математике обычно используется термин «средневзвешенное значение»):

Глава 3 Законы Кирхгофа

Законы Кирхгофа являются фундаментальными в электротехнике и позволяют применять их в любой схеме – для постоянного или переменного тока. Законы эти непосредственно следуют из закона сохранения энергии.

Первый закон Кирхгофа (закон для узлов)

В узле электрической цепи арифметическая сумма токов равна нулю.

При этом втекающие токи считаются с одним знаком, а вытекающие – с другим.

Часто закон формулируется так: в узле сумма втекающих токов равна сумме вытекающих.

Например, - на рисунке 1.19:

I₁+ I₂+ I₃+ I₄= 0

(cчитаем положительным направление от узла)

Или:

I₁+ I₃+ I₄= I₂

Напоминание – каждый ток может быть положи-тельным или отрицательным. Если все токи втекают, значит, какие-то из них отрицательны.

Интересно, что этот закон может быть применён не только для узла, как обычно принято, но и для плоскости и даже в пространстве.

Например, если схему пересечь линией, то сумма токов с одной стороны равна сумме токов с другой стороны. Таким же образом можно пересечь плоскостью 3-мерную схему – закон действует и тут.

Второй закон Кирхгофа (закон для контуров)

В контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений.

∑ Е = ∑ IR

Рассмотрим пример, поясняющий этот закон, для контура на рисунке 1.20.

Выберем произвольно направления токов.

Выбираем направление обхода контура, например, - по часовой стрелке.

Если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, - то ЭДС записывается со знаком «+», если же противоположно – со знаком «-».

Аналогично: если направление тока совпадает с направлением обхода контура, то падение напряжения IR берётся со знаком «плюс», если противоположно – со знаком «минус».

Таким образом, для данного примера:

Е₁ - Е₂ = I₁R₁ + I₃R₃ - I₄R₄ - I₂R₂

Законов Кирхгофа

Как было сказано, при помощи законов Кирхгофа можно рассчитать любую цепь, никаких ограничений на законы Кирхгофа нет, они действуют во всех случаях без исключения.

Рассмотрим пример (рисунок 1.21) – определить все токи в схеме при известных сопротивлениях и параметрах источников энергии. Схема достаточно сложна, чтобы рассчитывать её, к примеру, методом наложения.

Задача решается путём составления системы линей-ных уравнений по законам Кирхгофа и её решения.

Так как в схеме неизвестных семь токов, т. е. семь неизвестных (ток источника J задан), то необходимо составить семь уравнений. Причём, уравнения должны быть независимы, что известно из курса математики.

Составляем уравнения по первому закону Кирхгофа. В схеме пять узлов, следовательно, можно составить пять уравнений.

I₁ - I₂ - I₆ = 0

-I₁ + I₃ + I₄ = 0

I₂ - I₃ + I₅ = 0

-I₄ + I₇ + J = 0

I₅ - I₆ + I₇ + J = 0

Однако, одно из уравнений не является независи-мым и может быть получено линейной комбинацией других. Таким образом, по первому закону Кирхгофа можно составить четыре уравнения.

В общем случае: если число узлов равно q, то по первому закону Кирхгофа можно составить (q-1) уравнения.

В данном случае можно исключить любое уравне-ние по своему усмотрению. Например, последнее уравне-ние содержит 4 переменные и является более сложным.

Остальные три уравнения нужно составить по второму закону Кирхгофа.

Данная схема имеет 12 контуров (убедитесь в этом). Из составленных 12 уравнений только три будут незави-симыми. Какие уравнения выбрать? Следует использо-вать такие правила:

- Для ветвей, содержащих источники тока, уравнения не составляются (таким образом, для составления уравнений осталось 7 контуров);

- В независимые контура должны войти все ветви схемы;

- В каждый новый контур (в каждое новое уравнение) должна войти хотя бы одна новая ветвь;

Первое время это кажется не совсем понятным, но на практике контура обычно выбираются в виде «ячеек», т. е. контуров, не содержащих внутри себя ветвей. На рисунке 21 они показаны числами 1, 2, 3.

Выбираем произвольно направления обхода каждого контура (в данном примере – все против часовой стрелки) и записываем уравнения.

Е₁ + Е₃ = I₁R₁ + I₂R₂ + I₃R₃

Е₄ = -I₃R₃ + I₄R₄- I₅R₅+ I₇R₇

Е₂ - Е₃ = - I₂R₂ + I₅R₅ + I₆R₆

Таким образом, получаем систему из 7 уравнений:

При правильном составлении уравнений, в любом случае число независимых уравнений будет равно числу неизвестных токов, точнее: числу неизвестных величин, т. к., в принципе, в задании могут быть неизвестными другие величины – сопротивления или напряжения.

Метод двух узлов

Метод двух узлов является частным случаем метода узловых напряжений. Как очевидно из названия, он используется в схемах, имеющих только два узла – тогда этот метод будет оптимальным. В этом случае составляется только одно уравнение. Для примера рассмотрим схему на рисунке 1.24.

Считаем нулевым потенциал узла 0. В данном случае никаких общих проводимостей нет, есть только собственная проводимость и узловой ток узла 1.

G₁₁ = G₁ + G₂ + G₃ + G₄

J₁₁ = - E₁G₁ + J + E₂G₄

Уравнение: U₁G₁₁ = J₁₁

Затем определяем токи в ветвях. Подсчитайте для сравнения: сколько уравнений будет в системе при расчёте схемы методом контурных токов.

Двухполюсники

Двухполюсник – обобщённое название любой схемы, рассматриваемой относительно двух выводов (полюсов) (рисунок 1.25).

Если двухполюсник содержит внутри источники энергии, то он называется активным, если не содержит – пассивным.

Типичными активными двухполюсниками являются реальные источники ЭДС и тока.

Теорема об активном двухполюснике.

Активный двухполюсник можно заменить эквивалентным источником ЭДС (эквивалентным генератором), ЭДС которого равна напряжению холостого хода на выходе двухполюсника, а внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению двухполюсника (рисунок 26).

Е = U_хх

R = R_вх

I_кз = E/r = U_хх/R_вх

Входное сопротивление R_вх – внутреннее сопротивление 2-полюсника между полюсами. При этом нужно учитывать внутренние сопротивления источников энергии.

Обычно в литературе используется термин « эквивалентный генератор », что не вполне точно, т. к. под генератором понимается только источник ЭДС, но не источник тока. Поэтому в данном пособии используется название « эквивалентный источник ».

Глава 1 Основные понятия переменного тока

Переменный ток – это ток, изменяющийся во вре-мени. Практически в технике используются периодиче-ские напряжения и токи.

Рассмотрим основные параметры периодических токов и напряжений, которые присущи всем периодиче-ским процессам.

- Мгновенное значение – значение напряжения u(t) и тока i(t) в данный момент времени;

- Период – наименьший промежуток времени T, по истечении которого функция тока или напряжения повторяет своё мгновенное значение;

- Частота – величина обратная периоду. В физике обычно обозначается буквой ν, в технике – буквой f;

f = 1/T

Частота измеряется в Герцах – 1 Гц = 1/с = с^-1

- Угловая частота (или циклическая частота ) ω – показывает какой угол (в радианах) проходится в секунду;

По аналогии с движением по окружности период составляет 360⁰ или 2π радиан. Таким образом, ω показывает, какая часть периода проходится в секунду.

ω = 2π f = 2π /Т

ω измеряется в рад/с или с^-1(но не в Герцах! )

Перечисленные основополагающие величины хорошо известны из физики средней школы. Рассмотрим некоторые новые параметры, часто используемые в электротехнике.

- Среднее значение за период ( постоянная составляющая ) – определяется следующим образом:

Пример показан на рисунке 2.1

Для периодической функции, симметричной относи-тельно оси времени, U₀ = 0.

- Действующее значение тока (напряжения) – численно равно значению постоянного тока (напряжения), которое в сопротивлении за период Т выделяет столько же тепла, сколько при тех же условиях выделяет переменный ток (напряжение). Называется также среднеквадратичным значением и обозначается, как и постоянный ток – без индекса: U или I.

В ряде случаев не важны форма напряжения, период, частота и др. параметры, а важна лишь энергия или мощность, которая выделяется в нагрузке.

Действующее значение является одним из основных параметров переменного тока.

Наиболее распространённым видом переменного тока по многим причинам является синусоидальный ток.

Рассмотрим его параметры.

- Мгновенное значение:

u(t) = U_msin (ω t+ψ _u)

i(t) = I_msin (ω t+ψ _i)

- Амплитуда U_m (I_m)– максимальное значение;

ω – угловая частота;

- Фаза (или полная фаза ): ψ (t) = ω t + ψ – угол в радианах, соответствующий моменту времени t;

- Начальная фаза - ψ _u (ψ _i) – угол в радианах в начальный момент времени при t = 0;

Синус и косинус – напоминаем – отличаются только начальной фазой, Синусоидальный ток с тем же успехом можно называть косинусоидальным.

- Действующее значение U (I);

Выведем формулу.

Найдём интеграл:

Второй интеграл равен нулю, так как косинус – чётная функция на периоде Т.

Таким образом:

Аналогично:

Часто студенты ошибаются, говоря, что действующее значение всегда в √ 2 раз меньше амплитудного. Запомните – это справедливо только для синусоидального тока!

- Средневыпрямленное значение U_ср.

Среднее значение функции, симметричной относительно оси t, равно нулю. Поэтому для синусоидального тока используют параметр средневыпрямленное значение (среднее за полпериода).

Для синусоидального тока U_ср = 2U_m/π ≈ 0, 637 U_m

Векторов

Действия с синусоидальными величинами, очевид-но, намного сложнее, чем с постоянными. Для переменно-го тока используют свои специальные методы расчёта. Рассмотренные ниже методы расчёта предполагают, что все токи и напряжения имеют одну и ту же частоту ω. При различных частотах разных источников энергии эти методы работать не будут.

Одним из методов является представление токов и напряжений в виде векторов.

Пусть имеется ток - i(t) = I_msin (ω t+ψ _i)

Представим его в виде радиус-вектора (рисунок 2.2)

Длина вектора равна амплитудному или действую-щеему значению I. Угол, образуемый вектором с осью t, равен начальной фазе ψ _i. Угол отсчитывается как обычно в тригонометрии: от оси абсцисс против часовой стрелки. В данном примере ψ _i > 0.

Вектор вращается против часовой стрелки с угловой частотой ω.

Как известно, синус – проекция вращения вектора единичной длины на ось ординат при вращении его против часовой стрелки с частотой ω.

Аналогично: мгновенное значение i(t) - проекция вращения вектора длиной I на ось ординат при вращении его против часовой стрелки с частотой ω.

Таким же образом можно представить несколько токов или напряжений. Суммой их будет вектор, равный сумме векторов (рисунок 2.3).

Пусть имеются два тока:

i₁(t) = I_m1sin (ω t+ψ ₁)

i₂(t) = I_m2sin (ω t+ψ ₂)

Суммой их является вектор I (рисунок 2.3)

i(t) = I_msin (ω t+ψ )

Действуют все математические правила действий с векторами. Все вектора вращаются против часовой стрелки с частотой ω, взаимное их расположение при этом не меняется.

Если нет необходимости определять мгновенные значения, то один из векторов можно направить произвольно, главным является взаимное расположение векторов, сдвиг фаз между ними.

То же самое действует и в отношении напряжений. Также можно использовать амплитудные или действую-щие значения.

Комплексные числа.

Символический метод расчёта

Другим методом расчёта является символический метод – представление векторов в виде комплексных чисел.

Комплексное число (назовём здесь его Z) имеет действительную и мнимую части. Назовём их R и X. Запись числа в алгебраической форме:

Z = R+jX,

Где j = √ -1– «мнимая единица». j² = -1. В математике также обозначается не j, а буквой i.

Комплексное число может быть представлено векто-ром (или точкой) на комплексной плоскости, где по оси ординат откладывается действительная часть, а по оси абсцисс – мнимая часть (рисунок 2.4).

Именно так в дальнейшем будут обозначаться сопротивления:

R – активное сопротивление;

X – реактивное сопротивление;

Z – полное сопротивление.

Далее эти понятия (R, X, Z) будут изучаться детально.

Существует также показательная форма записи комплексных чисел:

Z = ‌ ‌ Ze^jφ ‌

Перевод из одной формы в другую производится, используя формулы Эйлера:

e^jφ = cos φ + j sin φ

e^-jφ = cos φ - j sin φ

Ещё одна форма записи – тригонометрическая:

Z = Z cos φ + j Z sin φ

Формулы перевода из одной формы в другую имеют вид:

φ = arctg X/R R = Z cos φ X = Z sin φ

‌ ‌

Z = R + jX

Аналогично в символической (комплексной) форме записывается ток и напряжение:

İ = I e^jψⁱ, Ú = U e^jψ^u

Выражение для комплексов тока и напряжения обычно записываются через действующие значения, но могут быть также записаны и через амплитудные:

İ _m = I_me^jψⁱ, Ú _m = U_me^jψ^u

Пояснения к обозначениям. Может возникать путаница при одинаковых обозначениях, например: I – «комплекс тока» и I – «действующее значение тока». То же касается Z и U. Поэтому для символического обозначения комплексного числа нужно использовать другое обозначение. Для функции времени – напряжения и тока – используется обозначение с точкой вверху. Сопротивление Z не является функцией времени, поэтому обозначать его Ż ошибочно. Для сопротивления принято для комплекса обозначение с подчёркиванием снизу: Z.

Для операций сложения (вычитания) удобна запись комплекса в алгебраической форме, для умножения (деления) – в показательной. При выполнении расчётов вручную, часто приходится преобразовывать одну форму в другую, что является довольно громоздким и трудоёмким.

Активное сопротивление в цепи переменного тока

Рисунок 2.5 - Резистор в цепи переменного тока

На рисунке 2.5 показана простейшая цепь с резисто-ром, подключённым к синусоидальному напряжению.

U_R(t) = U_msin (ω t+ψ _u) = i(t) R

i_R(t) = U_m/R sin (ω t+ψ _u) = I_msin (ω t+ψ _i)

ψ _u = ψ _i

I_m=U_m/R или, для действующих значений, I = U/R – закон Ома.

В комплексной форме закон Ома: Ú = İ Z

В данном случае - Z = R, Ú = İ R

Комплексное сопротивление в этой цепи является чисто действительным числом, мнимая часть сопротивле-ния равна нулю – Х = 0 и R называется активным сопротивлением.

Угол φ = ψ _u-ψ _i – называется сдвигом фаз между током и напряжением.

В цепи с активным сопротивлением R сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю:

φ = 0, ψ _u = ψ _i

Вектора тока и напряжения совпадают по направлению. Совпадают также формы тока и напряжения.

Глава 5 Резонанс

Резонанс напряжений

Рассмотрим цепь с последовательным соединением резистора, катушки и конденсатора (рисунок 2.28).

Полное сопротивление цепи:

Z = R+jX = R+j(X_L-X_C)

Соотношения для определения токов и напряжений уже рассмотрены неоднократно, поэтому детально приводить их не имеет смысла. Векторные диаграммы показаны на рисунках 2.29 и 2.30.

На рисунках показаны варианты при X_L< X_C и X_L> X_C. Возможен вариант, когда X_L=X_C и φ = 0. Такое явление в электрической цепи, содержащей L и C, при котором сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю, называется резонансом. При резонансе цепь, несмотря на наличие реактивных элементов, ведёт себя как активное сопротивление (рисунок 2.31).

Электрическая цепь, в которой возможен резонанс, называется колебательным контуром. В данном случае, при последовательном соединении, схема называется последовательным колебательным контуром. Резонанс в такой цепи называется резонансом напряжений.

Условие резонанса: X_L=X_C => ω L=1/ω C

При заданных L и C резонанс возможен на одной частоте, называемой резонансной частотой ω ₀:

Свойства схемы на частоте резонанса:

- φ = 0, напряжение и ток совпадают по фазе;

- Полное сопротивление Z = R;

- Ток в цепи максимальный I = I_max=U/I;

- реактивные сопротивления равны. Подставив из формулы частоту резонанса, получим:

ρ называется волновым или характеристическим сопротивлением;

- Напряжения на L и C равны: U_L=U_C= X_LI = ρ I

- Общее напряжение цепи: U = U_R= RI

Важный момент: напряжения на реактивных элементах могут быть больше общего напряжения цепи, если ρ > R.

- Величина Q = ρ /R = U_L/U = U_C/U называется добротностью колебательного контура. Q (не путать с реактивной мощностью) показывает во сколько раз напряжение на реактивных элементах больше напряжения на резисторе;

- Полная мощность равна активной мощности:

S = P, Q = 0

Частотная характеристика колебательного контура показана на рисунке 2.32. С ростом частоты X_L линейно возрастает, X_С обратно пропорционально убывает, а Z имеет минимум на частоте резонанса ω ₀.

Зависимость тока от частоты I = f (ω ) - показана на рисунке 2.33. При постоянном напряжении ток максимален на частоте ω ₀.

На рисунке 2.34 показана фазо-частотная характе-ристика – зависимость сдвига фаз между током и напря-жением от частоты φ (ω ). На частоте резонанса ω ₀ сдвиг фаз равен нулю. При ω < ω ₀ цепь носит индуктивный характер и φ < 0, при φ > ω ₀– ёмкостной и φ > 0.

Резонанс токов

Аналогично рассмотрим цепь с параллельным соединением резистора, катушки и конденсатора (рисунок 2.35).

Как обычно, при параллельном соединении, удобно использовать проводимости, а не сопротивления.

Полная проводимость цепи:

Y = G - jB = G - j(B_L-B_C)

Векторные диаграммы при B_C < B_L и B_C > B_L показаны на рисунках 2.36 и 2.37.

Такая схема называется параллельным колебатель-ным контуром. Резонанс в такой цепи называется резонансом токов (рисунок 2.38).

Условие резонанса: B_L= B_C => 1/ω L=ω C

Формула для частоты резонанса аналогична:

Свойства схемы параллельного колебательного контура на частоте резонанса:

- φ = 0, напряжение и ток совпадают по фазе;

- Полное сопротивление Z = R,

проводимость: Y = G;

- Ток в цепи минимальный I = I_min= UG;

- реактивные сопротивления и проводимости равны:

- Токи через L и C равны: I_L=I_C;

- Добротность контура: Q = ρ /R = Y/G;

- Полная мощность равна активной мощности:

S = P, Q = 0

Как видите, наблюдается полная аналогия с последовательным резонансом.

Частотные характеристики параллельного колеба-тельного контура показаны на рисунках 2.39 и 2.40. Они полностью аналогичны характеристикам последователь-ного колебательного контура, если заменить сопротивле-ния на проводимости, а ток на напряжение.

Фазо-частотная характеристика параллельного коле-бательного контура показана на рисунке 2.41.

Список использованной литературы

1 Л. А. Бессонов. Теоретические основы электротех-ники: Электрические цепи. - М.: Высшая школа, 1996

2 Ф. Е. Евдокимов. Теоретические основы электро-техники. - М.: Высшая школа, 1965

3 Касаткин А. С. Курс электротехники: Учеб. Для вузов. – М.: Высшая школа, 2007

Введение

Раздел 1 Линейные цепи постоянного тока

Глава 1 Основные понятия и законы линейных электрических цепей постоянного тока

Для анализа и расчёта реальное электромагнитное устройство с происходя<

12 3 4 5 6 7 8 Следующая ⇒