Глава 6 Метод узловых напряжений

(узловых потенциалов)

 

Ещё один метод расчёта цепей – метод узловых напряжений (метод узловых потенциалов). В качестве неизвестных промежуточных величин принимаются напряжения (или потенциалы) в узлах схемы.

Рассмотрим схему на рисунке 1.23.

 

 

В схеме три узла (не показалось ли вам, что их четыре? ) – обозначенных числами 1, 2, 3. Потенциал каждого узла: φ ₁, φ ₂, φ ₃. Напряжения между ними:

U₁₂=φ ₁ - φ ₂ (напряжение U₁₂ направлено от узла 1 к узлу 2)

U₁₃ = φ ₁ - φ ₃

U₂₃ = φ ₂ - φ ₃

В схеме играют роль не сами потенциалы, а их разность – напряжение. Примем потенциал одного узла, например 3, равным нулю - φ ₃=0. Так часто делается в электронике – называется «общий провод». Таким образом, между величиной напряжения и потенциала нет никакой разницы:

U₁₃= φ ₁ = U₁

U₂₃= φ ₂ = U₂

U₃ = φ ₃ = 0

При расчёте схемы за неизвестные примем напряже-ния (или потенциалы, что безразлично) узлов. Число уравнений такое же, как по первому закону Кирхгофа, в данном случае – два, так как узлов – три. Понятно, что если известны два потенциала, то легко найти и третий. Искомыми напряжениями будут U₁ и U₂.

 

Для составления уравнений введём новые понятия.

Собственная проводимость узла G_ii – сумма про-водимостей всех ветвей, подключённых к этому узлу. При этом нужно учитывать проводимости источников энергии.

Источник ЭДС – R = 0, G = ∞;

Источник тока - R = ∞, G = 0; (G = 1/R)

 

В данной схеме:

 

G₁₁ = G₁ + G₂ + G₃

G₂₂ = G₃ + G₄

 

(проводимость ветви с источником тока равна нулю)

 

Общая проводимость двух узлов G_ik – сумма проводимостей всех ветвей между двумя узлами.

 

G₁₂ = G₂₁ = G₃

 

Узел с потенциалом, равным нулю, не учитывается, поэтому получилась только одна величина общей проводимости.

 

Узловой ток J_ii – алгебраическая сумма токов источников, действующих в ветвях, подключённых к данному узлу i.

При этом необходимо учитывать знак. Если ток, вызываемый источником, подтекает к узлу, то он считается со знаком «плюс», а если вытекает из узла – то «минус».

Ток в ветви с источником тока считается равным J_i. Ток, вызываемый источником ЭДС равен: J_экв = E/R = EG.

В данной схеме:

J₁₁ = E₂G₂ - E₁G₁ = E₂/R₂ - E₁/R₁

J₂₂ = J (источники ЭДС в ветвях узла 2 отсутствуют)

 

Составляем систему уравнений.

Коэффициенты при собственных проводимостях G_ii положительны, при общих проводимостях G_ik – отрицательны.

 

Решаем систему уравнений относительно напряжений.

 

Теперь определяем токи в ветвях, учитывая направление узловых напряжений и источников ЭДС: если направление источника ЭДС и узлового напряжения совпадают с направлением тока в ветви, то оно берётся со знаком «плюс», если противоположны – со знаком «минус».

 

I₁ = (E₁+U₁)/R₁= (E₁+U₁)G₁

I₂ = (E₂ -U₁)/R₂ = (E₂-U₁)G₂

I₃ = (U₁-U₂)/R₃= (U₁ -U₂)G₃

I₄ = U₂/R₄ = U₂G₄

I₅ = J – это очевидно

 

Порядок расчёта методом узловых напряжений

 

1) Выбираем направления токов в ветвях;

 

2) Выбираем узел, потенциал которого будем

считать нулевым;

 

3) Для остальных узлов определяем собственные и

общие проводимости;

 

4) Определяем узловые токи;

 

5) Составляем и решаем уравнения;

 

6) Находим токи в ветвях.

 

Методы контурных токов и узловых потенциалов являются основными методами расчёта сложных цепей. Оба этих метода получены из законов Кирхгофа и достоинством их является меньшее число уравнений: в методе контурных токов их число такое же, как по второму закону Кирхгофа, а в методе узловых напряже-ний – такое же, как по 1-му закону. Исходя из числа уравнений, и выбирают обычно метод расчёта.

 

Если количество уравнений одинаково, то всё же проще использовать метод контурных токов. Во-первых, так значительно легче определить токи после решения уравнений, во-вторых, - обычно в условии заданы сопротивления резисторов, а не их проводимости, что влечёт дополнительные вычисления при решении методом узловых напряжений.

 

 

Метод двух узлов

 

Метод двух узлов является частным случаем метода узловых напряжений. Как очевидно из названия, он используется в схемах, имеющих только два узла – тогда этот метод будет оптимальным. В этом случае составляется только одно уравнение. Для примера рассмотрим схему на рисунке 1.24.

 

 

Считаем нулевым потенциал узла 0. В данном случае никаких общих проводимостей нет, есть только собственная проводимость и узловой ток узла 1.

 

G₁₁ = G₁ + G₂ + G₃ + G₄

J₁₁ = - E₁G₁ + J + E₂G₄

 

Уравнение: U₁G₁₁ = J₁₁

 

Затем определяем токи в ветвях. Подсчитайте для сравнения: сколько уравнений будет в системе при расчёте схемы методом контурных токов.

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Измерение электрических токов, напряжений, сопротивлений, мощности и энергии.
2. Измерительные трансформаторы тока и напряжений
3. Определение напряжений действующих на рубашку трубчатого вала
4. Определение напряжений от действия равномерно распределенной нагрузки по прямоугольной площади
5. Последовательность металлов, расположенных в порядке убывания (возрастания) значений их стандартных электродных потенциалов, называют рядом напряжений.
6. Резонанс напряжений (последовательное соединение потребителей)
7. Трансформация трехфазных токов и напряжений. Устройство трехфазного трансформатора.