Мощность в цепи с реактивным сопротивлением

 

Соотношения для цепей с катушкой индуктивности или конденсатором во многом схожи. Рассмотрим мгновенную мощность в ветви с катушкой L.

 

p (t) = u (t) i (t) = U_m sin (ω t+ψ _u) I_m sin (ω t+ψ _i) =

= U_m sin (ω t+ψ _i+π /2) I_m sin (ω t+ψ _i) =

= U_m cos (ω t+ψ _i) I_m sin (ω t+ψ _i)

 

 

Среднее значение мгновенной мощности равно нулю (рисунок 2.25). Коэффициент при синусе называется индуктивной мощностью Q_L.

 

 

U_L = I X_L => Q_L= I²ω L = U²/ω L

Половину периода при p(t)> 0 катушка является приёмником энергии – потребляет мощность (знаки напряжения и тока совпадают), а вторую половину при p(t)< 0, за счёт запасённой энергии магнитного поля, является источником энергии (знаки напряжения и тока противоположны).

Применив аналогичные выводы формул для цепи с конденсатором С, получим аналогичные результаты.

 

(здесь разница: ψ _u вместо ψ _i в цепи с катушкой)

 

Далее – всё аналогично. Среднее значение мгновен-ной мощности равно нулю (рисунок 2.26). Коэффициент при синусе называется ёмкостной мощностью Q_С.

 

 

I_C = U X_C => Q_C= U²ω C = I²/ω C

Половину периода при p(t)> 0 конденсатор является приёмником энергии – потребляет мощность (знаки напряжения и тока совпадают), а вторую половину при p(t)< 0, за счёт запасённой энергии электрического поля, является источником энергии (знаки напряжения и тока противоположны).

Временные диаграммы у катушки и конденсатора несколько отличаются, но основные положения идентичны.

 

Полная мощность. Треугольник мощностей

 

Сделаем некоторые выводы.

Существует два типа элементов: активные элементы, всегда только потребляющие мощность и реактивные, средняя мощность потребления у которых равна нулю.

При синусоидальных напряжениях и токах все мгновенные мощности также являются синусоидальными функциями, частота их при этом в два раза больше, чем у тока и напряжения.

Активная мощность Р измеряется в Ваттах – Вт.

Реактивная мощность Q измеряется в варах (Вольт-Ампер реактивный, ВАр).

Q = Q_L- Q_C.

Полная мощность S измеряется в Вольт-Амперах (ВА).

‌ ‌ S = P + jQ =

Для записи комплекса мощности через ток и напряжение, необходимо использовать понятие комплексно сопряжённого числа.

Для тока – İ = I₁ + jI₂ = I e^{jψ i}

Комплексно сопряжённый ток: = I₁ - jI₂ = I e^{-jψ i}

Комплекс мощности:

S = Ù

S = U e^{jψ u} I e^{-jψ i} = U I e^{j(ψ u - ψ i)} = S e^jφ

 

Основные соотношения такие же, как для сопротивлений.

φ = arctg Q/P P = S cos φ Q = S sin φ

Для наглядности можно это представить в виде треугольника мощностей, который подобен треугольнику сопротивлений, с таким же углом φ (рисунок 2.27).

 

 

Важную роль в промышленном потреблении энергии играет угол сдвига фаз φ. Большинство потребителей энергии имеют индуктивный характер нагрузки (электродвигатели и пр.), в связи с чем увеличивается cos φ. Увеличение реактивной мощности за счёт активной означает бесполезное расходование мощности электрогенераторов и, зачастую, огромные материальные затраты – например при работе крупных промышленных предприятий.

Для предотвращения этого, на предприятиях, параллельно основной, подключается дополнительная ёмкостная нагрузка – для компенсации. Косинус φ должен соответствовать определённым нормам и не превосходить 0, 9 - 0, 95.

 

Глава 5 Резонанс

 

Резонанс напряжений

 

Рассмотрим цепь с последовательным соединением резистора, катушки и конденсатора (рисунок 2.28).

 

Полное сопротивление цепи:

Z = R+jX = R+j(X_L-X_C)

 

Соотношения для определения токов и напряжений уже рассмотрены неоднократно, поэтому детально приводить их не имеет смысла. Векторные диаграммы показаны на рисунках 2.29 и 2.30.

 

 

 

 

На рисунках показаны варианты при X_L< X_C и X_L> X_C. Возможен вариант, когда X_L=X_C и φ = 0. Такое явление в электрической цепи, содержащей L и C, при котором сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю, называется резонансом. При резонансе цепь, несмотря на наличие реактивных элементов, ведёт себя как активное сопротивление (рисунок 2.31).

Электрическая цепь, в которой возможен резонанс, называется колебательным контуром. В данном случае, при последовательном соединении, схема называется последовательным колебательным контуром. Резонанс в такой цепи называется резонансом напряжений.

 

Условие резонанса: X_L=X_C => ω L=1/ω C

 

При заданных L и C резонанс возможен на одной частоте, называемой резонансной частотой ω ₀:

 

Свойства схемы на частоте резонанса:

 

- φ = 0, напряжение и ток совпадают по фазе;

 

- Полное сопротивление Z = R;

 

- Ток в цепи максимальный I = I_max=U/I;

 

- реактивные сопротивления равны. Подставив из формулы частоту резонанса, получим:

 

 

ρ называется волновым или характеристическим сопротивлением;

 

- Напряжения на L и C равны: U_L=U_C= X_LI = ρ I

 

- Общее напряжение цепи: U = U_R= RI

 

Важный момент: напряжения на реактивных элементах могут быть больше общего напряжения цепи, если ρ > R.

 

- Величина Q = ρ /R = U_L/U = U_C/U называется добротностью колебательного контура. Q (не путать с реактивной мощностью) показывает во сколько раз напряжение на реактивных элементах больше напряжения на резисторе;

 

- Полная мощность равна активной мощности:

S = P, Q = 0

Частотная характеристика колебательного контура показана на рисунке 2.32. С ростом частоты X_L линейно возрастает, X_С обратно пропорционально убывает, а Z имеет минимум на частоте резонанса ω ₀.

.

 

 

Зависимость тока от частоты I = f (ω ) - показана на рисунке 2.33. При постоянном напряжении ток максимален на частоте ω ₀.

 

 

На рисунке 2.34 показана фазо-частотная характе-ристика – зависимость сдвига фаз между током и напря-жением от частоты φ (ω ). На частоте резонанса ω ₀ сдвиг фаз равен нулю. При ω < ω ₀ цепь носит индуктивный характер и φ < 0, при φ > ω ₀ – ёмкостной и φ > 0.

 

 

Резонанс токов

 

Аналогично рассмотрим цепь с параллельным соединением резистора, катушки и конденсатора (рисунок 2.35).

 

 

Как обычно, при параллельном соединении, удобно использовать проводимости, а не сопротивления.

 

Полная проводимость цепи:

Y = G - jB = G - j(B_L-B_C)

 

Векторные диаграммы при B_C < B_L и B_C > B_L показаны на рисунках 2.36 и 2.37.

 

 

Такая схема называется параллельным колебатель-ным контуром. Резонанс в такой цепи называется резонансом токов (рисунок 2.38).

 

 

Условие резонанса: B_L= B_C => 1/ω L=ω C

Формула для частоты резонанса аналогична:

 

 

Свойства схемы параллельного колебательного контура на частоте резонанса:

 

- φ = 0, напряжение и ток совпадают по фазе;

 

- Полное сопротивление Z = R,

проводимость: Y = G;

 

- Ток в цепи минимальный I = I_min= UG;

 

- реактивные сопротивления и проводимости равны:

 

 

- Токи через L и C равны: I_L=I_C;

 

- Добротность контура: Q = ρ /R = Y/G;

 

- Полная мощность равна активной мощности:

S = P, Q = 0

 

Как видите, наблюдается полная аналогия с последовательным резонансом.

 

Частотные характеристики параллельного колеба-тельного контура показаны на рисунках 2.39 и 2.40. Они полностью аналогичны характеристикам последователь-ного колебательного контура, если заменить сопротивле-ния на проводимости, а ток на напряжение.

Фазо-частотная характеристика параллельного коле-бательного контура показана на рисунке 2.41.

 

 

⇐ Предыдущая12345678

Поделиться:

Популярное:

1. В четырехпроводной трехфазной цепи произошел обрыв нулевого провода. Изменятся или нет фазные и линейные напряжения.
2. Взаимозаменяемость зубчатых передач. Размерные цепи
3. Вопрос 14. Цепи однофазного синусоидального тока с индуктивной катушкой
4. Задача на расчет электрической цепи постоянного тока.
5. Закон Джоуля Ленца — Количество теплоты, выделяемое в единицу времени в рассматриваемом участке цепи, пропорционально произведению квадрата силы тока на этом участке и сопротивлению участка
6. Как понимаете трёхфазные цепи?
7. Как рассчитывается мощность в трехфазных цепях ?
8. Каково условие резонанса в цепи переменного тока, состоящей из последовательно соединенных конденсатора, индуктивности и резистора?
9. Каскады и цепи с емкостной связью.
10. Количество и мощность предприятий
11. Короткое замыкание в R-L цепи
12. Коэффициент мощности имеет большое практическое значение: он показывает, какая часть полной мощности является активной мощностью.