Анализ электрических цепей постоянного тока с одним источником энергии

3.1. Расчет электрических цепей постоянного тока
с одним источником методом свертывания

В соответствии с методом свертывания, отдельные участки схемы упрощают и постепенным преобразованием приводят схему к одному эквивалентному (входному) сопротивлению, включенному к зажимам источника. Схема упрощается с помощью замены группы последовательно или параллельно соединенных сопротивлений одним, эквивалентным по сопротивлению. Определяют ток в упрощенной схеме, затем возвращаются к исходной схеме и определяют в ней токи.

Рассмотрим схему на рис. 3.1. Пусть известны величины сопротивлений R₁, R₂, R₃, R₄, R₅, R₆, ЭДС Е. Необходимо определить токи в ветвях схемы.

Рис. 3.1 Рис. 3.2

Сопротивления R₄и R₅ соединены последовательно, а сопротивление R₆ - параллельно с ними, поэтому их эквивалентное сопротивление

После проведенных преобразований схема принимает вид, показанный на рис. 3.2, а эквивалентное сопротивление всей цепи

Ток I₁ в неразветвленной части схемы определяется по формуле:

Найдем токи I₂ и I₃ в схеме на рис. 3.1 по формулам:

Равенство I₃ = I₁ - I₂ получается из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа:

I₁ - I₂ - I₃ = 0.

Переходим к исходной схеме на рис. 3.1 и определим в ней токи по формулам:

I₆ = I₃ - I₄ (в соответствии с первым законом Кирхгофа I₃ - I₄ - I₆ =0).

3.2. Расчет электрических цепей постоянного тока
с одним источником методом подобия
или методом пропорциональных величин

Возьмем электрическую схему на рис. 3.1, зададимся произвольным значением тока в сопротивлении R₆, наиболее удаленном от источника питания. По заданному току I’₆ и сопротивлению R₆ определим напряжение . Далее определим:

, ,

; .

Находим значение ЭДС

Найденное значение ЭДС E’ отличается от заданной величины ЭДС Е.
Вычислим коэффициент подобия . Умножим на него полученные при расчете значения токов и напряжений, находим действительные значения токов цепи.

Анализ сложных электрических цепей с несколькими источниками энергии

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

На рис. 4.1 изображена схема разветвленной электрической цепи. Известны величины сопротивлений и ЭДС, необходимо определить токи.
В схеме имеются четыре узла, можно составить четыре уравнения по первому закону Кирхгофа.

Рис. 4.1

Укажем произвольно направления токов. Запишем уравнения:

для узла 1 -I₁-I₅-I₄=0,

для узла 2 I₁-I₂+I₃=0,

для узла 3 I₂+I₅+I₆=0,

для узла 4 -I₃-I₆+I₄=0.

Сложим эти уравнения. Получим тождество 0 = 0. Система уравнений является зависимой. Если в схеме имеется n узлов, количество независимых уравнений, которые можно составить по первому закону Кирхгофа, равно n - 1.
Для схемы на рис. 4.1 число независимых уравнений равно трем:

Недостающее количество уравнений составляют по второму закону Кирхгофа. Уравнения по второму закону составляют для независимых контуров. Независимым является контур, в который входит хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в другие контуры.

Выберем три независимых контура и укажем направления обхода контуров. Запишем три уравнения по второму закону Кирхгофа:

(4.1)

Решив совместно системы уравнений, определим токи в схеме. Ток в ветви может иметь отрицательное значение. Это означает, что действительное направление тока противоположно выбранному нами.

Метод контурных токов

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа громоздок. Имеется возможность уменьшить количество совместно решаемых уравнений системы. Число уравнений, составленных по методу контурных токов, равно количеству уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа. Метод контурных токов заключается в том, что вместо токов в ветвях определяются, на основании второго закона Кирхгофа, так называемые контурные токи, замыкающиеся в контурах.

На рис. 4.2 в качестве примера изображена двухконтурная схема, в которой I₁₁ и I₂₂- контурные токи.

Токи в сопротивлениях R₁ и R₂ равны соответствующим контурным токам. Ток в сопротивлении R₃, являющимся общим для обоих контуров, равен разности контурных токов I₁₁ и I₂₂, так как эти токи направлены в ветви с R₃ встречно.

Рис. 4.2

Порядок расчета

Выбираются независимые контуры, и задаются произвольные направления контурных токов.

В нашем случае эти токи направлены по часовой стрелке. Направление обхода контура совпадает с направлением контурных токов. Уравнения для этих контуров имеют следующий вид:

(4.2)

Перегруппируем слагаемые в уравнениях

. (4.3)

Суммарное сопротивление данного контура называется собственным сопротивлением контура. Собственные сопротивления контуров схемы:

, .

Сопротивление R₃, принадлежащее одновременно двум контурам, называется общим сопротивлением этих контуров:

где R₁₂ - общее сопротивление между первым и вторым контурами;
R₂₁ - общее сопротивление между вторым и первым контурами.
E₁₁ = E₁ и E₂₂ = E₂ - контурные ЭДС.

В общем виде уравнения записываются следующим образом:

. (4.4)

Собственные сопротивления всегда имеют знак " плюс".Общее сопротивление имеет знак " минус", если в данном сопротивлении контурные токи направлены встречно друг другу, и знак " плюс", если контурные токи в общем сопротивлении совпадают по направлению.

Решая совместно уравнения, определим контурные токи I₁₁ и I₂₂, затем от контурных токов переходим к токам в ветвях. Ветви схемы, по которым протекает один контурный ток, называются внешними, а ветви, по которым протекают несколько контурных токов, называются общими. Ток во внешней ветви совпадает по величине и по направлению с контурным. Ток в общей ветви равен алгебраической сумме контурных токов, протекающих в этой ветви. Для схемы рис.4.2

. (4.5)

Рекомендации

Контуры выбирают произвольно, но целесообразно выбрать контуры таким образом, чтобы их внутренняя область не пересекалась ни с одной ветвью, принадлежащей другим контурам. Контурные токи желательно направлять одинаково (по часовой стрелке или против).

Если нужно определить ток в одной ветви сложной схемы, необходимо сделать его контурным.

Если в схеме имеется ветвь с известным контурным током, этот ток следует сделать контурным, благодаря чему количество уравнений становится на единицу меньше.

Метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов позволяет составить систему уравнений, по которой можно определить потенциалы всех узлов схемы. По известным разностям узловых потенциалов можно определить токи во всех ветвях. В схеме на рис. 4.3 четыре узла. Потенциал любой точки схемы можно принять равным нулю. Тогда у нас останутся неизвестными три потенциала. Узел, величину потенциала которого выбирают произвольно, называют базисным. Укажем в схеме произвольно направления токов. Примем для схемы φ ₄ = 0.

Рис. 4.3

Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла 1.

(4.6)

В соответствии с законами Ома для активной и пассивной ветви

где - проводимость первой ветви;

где - проводимость второй ветви.

Подставим выражения токов в уравнение (4.6):

(4.7)

где g₁₁ = g₁ + g₂ - собственная проводимость узла 1.

Собственной проводимостью узла называется сумма проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле; g₁₂ = g₂ - общая проводимость между узлами 1 и 2.

Общей проводимостью называют проводимость ветви, соединяющей узлы 1 и 2.

- сумма токов источников, находящихся в ветвях, сходящихся в узле 1.

Если ток источника направлен к узлу, величина его записывается в правую часть уравнения со знаком " плюс", если от узла - со знаком " минус".
По аналогии запишем для узла 2:

, (4.8)

для узла 3:

. (4.9)

Решив совместно уравнения (4.7), (4.8), (4.9), определим неизвестные потенциалы φ ₁, φ ₂, φ ₃, а затем по закону Ома для активной или пассивной ветви найдем токи. Если число узлов схемы - n, количество уравнений по методу узловых потенциалов - (n - 1).

Замечание

Если в какой-либо ветви содержится идеальный источник ЭДС, необходимо один из двух узлов, между которыми включена эта ветвь, выбрать в качестве базисного, тогда потенциал другого узла окажется известным и равным величине ЭДС. Количество составляемых узловых уравнений становится на одно меньше.

Метод двух узлов

Схема на рис. 4.4 имеет два узла. Потенциал точки 2 примем
равным нулю φ ₂ = 0. Составим узловое уравнение для узла 1:

где , , - проводимости ветвей.

В общем виде:

В знаменателе формулы - сумма проводимостей параллельно включенных ветвей. В числителе - алгебраическая сумма произведений ЭДС источников на проводимости ветвей, в которые эти ЭДС включены. ЭДС в формуле записывается со знаком " плюс", если она направлена к узлу 1, и со знаком " минус", если направлена от узла 1. После вычисления величины потенциала φ ₁ находим токи в ветвях, используя закон Ома для активной и пассивной ветви.

Рис. 4.4

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 Следующая ⇒