![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Теории первого порядка с равенством
Во многих теориях, которые могут быть формализованы как теории первого порядка, участвует понятие равенства. Формализация этого понятия осуществляется следующим образом. В число предикатных символов теории вводится символ " =" двухместного предиката равенства. В определение формулы добавляется пункт: " если
Теорема. В любой формальной теории с равенством:
1)
Доказательство. 7) непосредственно следует из аксиом
2) запишем аксиому
3) заменим в
Формальные теории множеств Ранее в примере 26.7 были рассмотрены различные аксиоматики содержательной (" наивной", канторовской) теории множеств. Одной из важнейших ролей теории множеств является та, которую она играет в вопросах доказательства в тех или иных математических теориях, т. е. фактически в самых основах математики. Мы говорили, что одним из основных методов доказательства непротиворечивости математической теории является метод моделей (или интерпретаций). В качестве основных понятий и отношений выбираются элементы какого-либо конкретного множества и отношения между ними, а затем проверяется, будут ли выполняться для выбранных понятий и отношений аксиомы данной теории. Строя модель исследуемой теории, мы сводим вопрос о ее непротиворечивости к вопросу о непротиворечивости другой математической теории. Интерпретации для многих математических теорий строятся с использованием теории множеств, поэтому непротиворечивость всей математики в значительной мере упирается в непротиворечивость теории множеств.
Парадоксы " наивной" теории множеств
С момента создания теории множеств Кантором в начале 1870-х гг. и до конца XIX в. математики считали ее незыблемой основой всего математического здания. Но в конце XIX в. в самой теории множеств были обнаружены противоречия, получившие название антиномий (парадоксов) теории множеств. Причем в рассуждениях, приводящих к этим противоречиям, не содержалось никаких логических ошибок. Это обстоятельство поколебало веру в безусловную надежность математических доказательств.
Первый такой парадокс обнаружил сам Кантор в 1895 г. и сообщил об этом Гильберту. В 1897 г. его переоткрыл и впервые опубликовал Бурали-Форти. Хотя ни Кантор, ни Бурали-Форти не были способны в то время предложить разрешение антиномии, ситуация не казалась слишком серьезной: эта первая антиномия возникла в довольно специальной области теории вполне упорядоченных множеств, и, вероятно, казалось, что легкий пересмотр доказательств теорем, входящих в эту область, мог бы спасти положение и все здание теории множеств затронуто не будет. Но в 1902 г. английский философ, логик и математик Бертран Рассел обнаруживает антиномию, относящуюся к самым началам теории множеств и показывающую, что в основаниях этой дисциплины что-то неблагополучно. Антиномия Рассела потрясла основы не только теории множеств, но и логики: требовалось лишь легкое изменение в формулировке, чтобы перевести антиномию Рассела в противоречие, которое можно сформулировать в терминах самых основных понятий логики. Антиномия Рассела сильнейшим образом затронула самые фундаментальные понятия двух самых " точных" наук — логики и математики.
Суть парадокса (антиномии) Рассела состоит в следующем. Распределим все множества по двум классам: в первый класс включим все те множества, которые содержат себя в качестве своего элемента, во второй класс — все те множества, которые не содержат себя в качестве своего элемента. (Например, множество всех планет не является планетой и поэтому не есть собственный элемент. Напротив, множество всех множеств является своим собственным элементом.) Рассмотрим множество Таким образом, множество Противоречию относительно Парадоксу Рассела были приданы различные словесные формулировки. Одна из них выглядит так. Житель некой деревни, называемый брадобреем, должен брить тех и только тех жителей деревни, которые не умеют бриться сами. Задавшись вопросом, как брадобрей должен поступить в отношении себя, мы аналогичными рассуждениями придем к парадоксальному выводу: брадобрей должен брить себя в том и только в том случае, когда он не должен брить себя. Парадоксы теории множеств показали, что наивная концепция множества, фигурирующая в канторовском " определении" множества и в получающихся из него общеизвестных следствиях, не может служить удовлетворительной основой теории множеств, не говоря уже о математике в целом. Роль антиномий как фактора, контролирующего и ставящего ограничения на дедуктивные системы логики и математики, можно сравнить с ролью эксперимента, проверяющего правильность полудедуктивных систем таких наук, как физика и астрономия, и вносящего в них видоизменения. И хотя в 1899 г. в своей книге " Основания геометрии" Гильберт сказал, что " никто не может изгнать нас из рая, который создал нам Кантор", открытие парадоксов предрешило уход математиков из этого канторовского " рая".
Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-09; Просмотров: 1338; Нарушение авторского права страницы