Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Система аксиом Цермело–Френкеля и некоторые следствия из неё



 

Прежде — о первоначальных (неопределяемых) понятиях. Первым нелогическим конкретным неопределяемым предикатным символом является двухместный предикатный символ отношения принадлежности " ", так что атомарные формулы имеют вид " " (читается: " принадлежит " ), " есть член (элемент) ", " содержится в ", " содержит в качестве члена (элемента)". Вместо " " условимся писать " ". Вторым предикатным символом является двухместный предикатный символ отношения равенства " =", так что второй вид атомарных формул такой: " ". Первая аксиома характеризует отношение равенства.


Аксиома объемности или аксиома экстенсиональности

 

утверждает, что множества совпадают в том и только в том случае, если они состоят из одних и тех же элементов. Множества и называются различными, если существует такой , что и , или же существует , что и . Запись: .

 

С помощью следующих определений вводится отношение включения:

 

 

(запись " " читается: " включается в " или " включает " ) и отношение строгого включения:

 

 

Между отношениями и имеется весьма глубокое различие, которое необходимо понимать. Первое в нашем изложении является первоначальным, а второе вводится по определению. Но самое главное, что каждое множество включает себя само и свои подмножества, но, вообще говоря, не содержит (в качестве элементов) ни себя, ни своих подмножеств.

 

Аксиома пустого множества:

 

 

В этой аксиоме утверждается существование множества, не имеющего ни одного элемента. Такое множество называется пустым (или нулевым) и обозначается .

 

Аксиома неупорядоченных пар:

 

 

Множество , существование которого для утверждается этой аксиомой, будем обозначать . Кроме того, через будем обозначать . Множество называется единичным, или одноэлементным.

 

С помощью понятия неупорядоченной пары можно ввести понятие упорядоченной пары (это сделал К. Куратовский в 1921 г.). Двухэлементное множество называется упорядоченной парой, составленной из , и обозначается . Докажем следующее важнейшее свойство упорядоченной пары: если , то и . В самом деле, рассмотрим следующие два случая: и . При каждый элемент множества , то есть и совпадает с , откуда следует, что . При множество является элементом множества , т.е. одним из множеств . Случай исключается, так как это равенство влечет , откуда и , что противоречит допущению . Следовательно, , а значит, . Кроме того, в этом случае второй элемент множества должен совпадать с или с . Совпадение влечет , что противоречит допущению . Поэтому , откуда или . Поскольку и , то случай невозможен. Остается .

 

После того как определено понятие упорядоченной пары, представляется возможным определить понятие функции. Функция (или отображение) — это такое множество упорядоченных пар , что если и , то . При этом множество всех таких , что (для некоторого ), называется областью определения . Множество всех таких , что (хотя бы для одного ), называется областью значений .

 

Аксиома суммы, или некоторого объединения (введена Г. Кантором в 1899 г. и Цермело в 1908 г.):

 

утверждает, что существует множество , являющееся объединением всех множеств из . Оно обозначается . В частности, если мы имеем два множества и , то на основании аксиомы образуем двухэлементное множество , а по аксиоме получаем существование такого множества , что . Такое множество называется объединением множеств и и обозначается .

 

Аксиома множества подмножеств, или аксиома степени (сформулирована Цермело в 1908 г.):

 

 

утверждает, что для каждого существует множество всех подмножеств этого . Оно обозначается и называется множеством всех подмножеств , или множеством-степенью .

 

Аксиома подстановки (сформулирована А. Френкелем в 1922 г. и Т. Скулемом в 1923 г.):

Пусть — такая формула, что при любом из множества существует, и притом единственный, объект такой, что выражение истинно. Тогда объекты , для каждого из которых существует из такой, что истинно, образуют множество. Схема подстановки содержит счётное количество аксиом, так как каждая подходящая формула порождает аксиому.


Таким образом, эта аксиома есть схема аксиом. Она утверждает, что образ при произвольном взаимно-однозначном отображении произвольного множества есть множество. В самом деле, условие данной аксиомы фактически означает, что формула определяет однозначно как функцию от , то есть . Тогда заключение утверждает, что совокупность всех таких элементов , которые являются образами при отображении элементов из множества (то есть ), образует множество .

Эта аксиома является исключительно сильной. Из нее может быть выведено следующее более слабое утверждение.

 

 

Аксиома выделения:

 

 

где — формула, содержащая свободную переменную и не содержащая свободной переменной .

Аксиома утверждает, что для каждого существует некоторое множество , состоящее из всех тех из , которые обладают свойством . В связи с аксиомой выделения имеет смысл еще раз вернуться к парадоксу Рассела и проанализировать причину появления этого парадокса и ему подобных в " наивной" теории множеств. Это в значительной мере обусловлено тем, что в " наивной" теории множеств мы наивно полагаем будто каждое свойство определяет некоторое множество. Парадокс Рассела как раз и демонстрирует нам, что это не так. Рассматривая свойство " " и множество объектов, обладающих им: , приходим к следующему противоречию: по определению , тогда после подстановки вместо сразу получаем — противоречие. Таким образом, при построении формальной теории множеств надо стараться избегать таких свойств, которые могут привести к " абсурдным" множествам типа только что рассмотренного множества Рассела. Это и достигается с помощью аксиомы выделения: она допускает рассматривать не безграничные совокупности объектов, удовлетворяющие тому или иному свойству, а лишь те объекты, удовлетворяющие данному свойству, которые находятся внутри наперед заданного множества. Аксиома выделения является, пожалуй, самой характерной особенностью системы Цер-мело, отличая ее как от доаксиоматического подхода к теории множеств, так и от других аксиоматических систем.

Аксиома выделения позволяет доказать следующие две теоремы, предоставляющие в наше распоряжение две важные теоретико-множественные конструкции.

 

Теорема о пересечении множеств. Для любых двух множеств и существует вполне определенное множество членов, содержащихся как в , так и в

 

 

(Более общо, для каждого непустого множества существует вполне определенное множество членов, содержащихся во всех членах из

 

 

Множество называется пересечением множеств и и обозначается . Множество v называется пересечением множеств из и обозначается .)

 

Доказательство. Множество может быть определено как подмножество множества , соответствующее условию в аксиоме . Что касается , то по аксиоме существует множество каждый элемент из содержится по крайней мере в одном члене из . Возьмем в качестве условие: " содержится в каждом члене из ". Тогда по аксиоме существует подмножество множества , членами которого будут в точности те, что содержатся во всех членах , то есть . (Если ни одного , общего для всех членов , нет, то имеем ).

Множество называется дизъюнктным (или расчлененным), если никакие два члена из не пересекаются, т. е.

 

 

Теорема о декартовом произведении множеств. Для каждого дизъюнктного множества существует вполне определенное множество, членами которого являются в точности все те множества, которые содержат по единственному члену из каждого члена .

(Это множество называется декартовым или прямым произведением членов и обозначается ; пишут также , где — суть члены .)

 

Если содержит член , то .

 

Доказательство. Поскольку члены искомого множества суть некоторые подмножества , мы будем исходить из множества-степени множества , т.е. из , существующего согласно аксиомам и . В качестве условия выберем следующее: " и для каждого пересечение есть одноэлементное множество". Тогда по аксиоме существует множество , членами которого являются те подмножества множества , которые содержат в точности по одному члену из каждого члена .

Утверждение теоремы в случае очевидно: поскольку не содержит членов, никакое множество не имеет с общих членов. Теорема доказана.

 

Таким образом, из трех операций над множествами, известными из " наивной" теории множеств, — объединения, пересечения и прямого произведения — выполнимость первой в системе постулирована аксиомой , а выполнимость двух других доказана при помощи аксиом и .

 

Аксиома бесконечности (введена Цермело в 1908 г.):

 

 

постулирует существование бесконечного множества. Ясно, что " первые" члены любого множества, удовлетворяющего этой аксиоме, суть следующие: и т. д.

 

Если опустить эту аксиому, то в качестве модели для оставшейся системы аксиом можно взять совокупность всех конечных множеств, которые можно построить, отправляясь от пустого множества . Ясно, что эта совокупность действительно будет моделью для всех остальных аксиом системы , так как ни одна из них не выводит за пределы класса конечных множеств, т.е., будучи применена к конечному множеству, утверждает существование такого множества, которое также должно быть конечным. Ясно, что никакое конечное множество не удовлетворяет аксиоме , а значит, на рассматриваемой модели из конечных множеств эта аксиома не выполняется. Это означает, что аксиома бесконечности не зависит от остальных аксиом системы .

 

Аксиома фундирования, или аксиома регулярности (предложена Дж. фон Нейманом в 1925 г.):

 

 

утверждает, что всякое непустое множество содержит такой элемент , что и не имеют общих элементов. Из нее следует, что каждое непустое множество содержит элемент, минимальный по отношению (но не ). Следовательно, не может существовать такого множества , что . В противном случае мы могли бы рассмотреть одноэлементное (и, значит, непустое) множество , для которого аксиома фундирования не выполнялась бы: и множества и имеют общий элемент . Исключается существование таких множеств , для которых и , или и т. д. Наконец, исключается существование бесконечных цепей, убывающих по отношению , т. е. таких множеств , которые имеют бесконечную убывающую последовательность своих членов: . Правда, при нарушении аксиомы фундирования такие убывающие цепи строятся лишь с помощью аксиомы выбора.

 

Аксиома выбора (введена Цермело в 1908 г.): если — дизъюнктное множество непустых множеств, то существует такое множество , которое из каждого множества из содержит точно по одному элементу (или: прямое произведение не пусто).

Иначе говоря, среди подмножеств множества имеется по крайней мере одно, пересечение которого с каждым членом из есть одноэлементное множество. Каждое такое подмножество и множества называется множеством представителей множества ; множество представителей, вообще говоря, не единственно.

 

Эту аксиому формулируют также в терминах понятия функции: для любого дизъюнктного множества непустых множеств существует хотя бы одна такая функция , областью определения которой служит , что . Каждая такая функция определяет множество представителей множества и называется функцией выбора.

Аксиома выбора предоставляет наряду с аксиомой выделения еще один способ для получения подмножеств каких-либо множеств. Эта аксиома, пожалуй, одна из самых интересных и наиболее активно обсуждавшихся (несмотря на свое сравнительно позднее происхождение) аксиом математики. В этом отношении она уступает только евклидовой аксиоме о параллельных, имеющей более чем двухтысячелетнюю историю. Основные и важнейшие теоремы и методы теории множеств, алгебры, анализа, геометрии, топологии опираются на аксиому выбора. Поразительно большое количество теорем оказывается в точности эквивалентными аксиоме выбора. Фундаментальнейшая теорема Цермело о том, что всякое непустое множество можно вполне упорядочить, т.е. задать на нем такое линейное отношение порядка, что всякое непустое подмножество будет иметь наименьший элемент, — из числа важнейших эквивалентов аксиомы выбора. Хотя эта аксиома была осознана и явно сформулирована лишь в начале XX в., анализ показал, что применялась она в неявном виде задолго до этого времени. К аксиоме выбора математики пришли точно так же, как и к другим математическим принципам, — путем последующей проверки и логического анализа понятий, методов и доказательств, уже содержавшихся фактически в математике. Так, греческие математики догадались включить в число основных геометрических принципов аксиому о параллельных — утверждение, бытовавшее в математике задолго до Евклида. Гениальность этого достижения была полностью оценена лишь более двух тысячелетий спустя.

 

Итак, мы завершили перечисление аксиом теории множеств системы Цермело–Френкеля. В настоящее время это наиболее употребительная в основаниях математики система аксиом, которой охватывается вся традиционная математика.

 


Поделиться:



Популярное:

  1. I. Понятие и система криминалистического исследования оружия, взрывных устройств, взрывчатых веществ и следов их применения.
  2. III. Разделы, изученные ранее и необходимые для данного занятия (базисные знания)
  3. IЭкономические последствия безработицы
  4. V1: Понятие, объект, предмет и система криминологии
  5. V7: Система линейных одновременных уравнений
  6. А, б – схемы применения приспособления; в – готовая рамка; 1 – рычаг; 2 – ролик; 3 – заготовка; 4 – оправка; А, Б – соответственно верхнее и нижнее положение рычага
  7. Автоматизированная система телемеханического управления (АСТМУ)
  8. Административная реформа и система органов исполнительно власти.
  9. Административное право - публичное право. Административное право как отрасль права и система правового регулирования государственного управления.
  10. Аксиологическое «Я» педагога как система ценностных ориентаций
  11. Аксиоматика успеха в огородничестве
  12. Аксиоматические теории первого порядка


Последнее изменение этой страницы: 2016-04-09; Просмотров: 2394; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.062 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь