Система аксиом Цермело–Френкеля и некоторые следствия из неё

где — формула, содержащая свободную переменную и не содержащая свободной переменной .

Аксиома утверждает, что для каждого существует некоторое множество , состоящее из всех тех из , которые обладают свойством . В связи с аксиомой выделения имеет смысл еще раз вернуться к парадоксу Рассела и проанализировать причину появления этого парадокса и ему подобных в " наивной" теории множеств. Это в значительной мере обусловлено тем, что в " наивной" теории множеств мы наивно полагаем будто каждое свойство определяет некоторое множество. Парадокс Рассела как раз и демонстрирует нам, что это не так. Рассматривая свойство " " и множество объектов, обладающих им: , приходим к следующему противоречию: по определению , тогда после подстановки вместо сразу получаем — противоречие. Таким образом, при построении формальной теории множеств надо стараться избегать таких свойств, которые могут привести к " абсурдным" множествам типа только что рассмотренного множества Рассела. Это и достигается с помощью аксиомы выделения: она допускает рассматривать не безграничные совокупности объектов, удовлетворяющие тому или иному свойству, а лишь те объекты, удовлетворяющие данному свойству, которые находятся внутри наперед заданного множества. Аксиома выделения является, пожалуй, самой характерной особенностью системы Цер-мело, отличая ее как от доаксиоматического подхода к теории множеств, так и от других аксиоматических систем.

Аксиома выделения позволяет доказать следующие две теоремы, предоставляющие в наше распоряжение две важные теоретико-множественные конструкции.

Теорема о пересечении множеств. Для любых двух множеств и существует вполне определенное множество членов, содержащихся как в , так и в

(Более общо, для каждого непустого множества существует вполне определенное множество членов, содержащихся во всех членах из

Множество называется пересечением множеств и и обозначается . Множество v называется пересечением множеств из и обозначается .)

Доказательство. Множество может быть определено как подмножество множества , соответствующее условию в аксиоме . Что касается , то по аксиоме существует множество каждый элемент из содержится по крайней мере в одном члене из . Возьмем в качестве условие: " содержится в каждом члене из ". Тогда по аксиоме существует подмножество множества , членами которого будут в точности те, что содержатся во всех членах , то есть . (Если ни одного , общего для всех членов , нет, то имеем ).

Множество называется дизъюнктным (или расчлененным), если никакие два члена из не пересекаются, т. е.

Теорема о декартовом произведении множеств. Для каждого дизъюнктного множества существует вполне определенное множество, членами которого являются в точности все те множества, которые содержат по единственному члену из каждого члена .

(Это множество называется декартовым или прямым произведением членов и обозначается ; пишут также , где — суть члены .)

Если содержит член , то .

Доказательство. Поскольку члены искомого множества суть некоторые подмножества , мы будем исходить из множества-степени множества , т.е. из , существующего согласно аксиомам и . В качестве условия выберем следующее: " и для каждого пересечение есть одноэлементное множество". Тогда по аксиоме существует множество , членами которого являются те подмножества множества , которые содержат в точности по одному члену из каждого члена .

Утверждение теоремы в случае очевидно: поскольку не содержит членов, никакое множество не имеет с общих членов. Теорема доказана.

Таким образом, из трех операций над множествами, известными из " наивной" теории множеств, — объединения, пересечения и прямого произведения — выполнимость первой в системе постулирована аксиомой , а выполнимость двух других доказана при помощи аксиом и .

Аксиома бесконечности (введена Цермело в 1908 г.):

постулирует существование бесконечного множества. Ясно, что " первые" члены любого множества, удовлетворяющего этой аксиоме, суть следующие: и т. д.

Если опустить эту аксиому, то в качестве модели для оставшейся системы аксиом можно взять совокупность всех конечных множеств, которые можно построить, отправляясь от пустого множества . Ясно, что эта совокупность действительно будет моделью для всех остальных аксиом системы , так как ни одна из них не выводит за пределы класса конечных множеств, т.е., будучи применена к конечному множеству, утверждает существование такого множества, которое также должно быть конечным. Ясно, что никакое конечное множество не удовлетворяет аксиоме , а значит, на рассматриваемой модели из конечных множеств эта аксиома не выполняется. Это означает, что аксиома бесконечности не зависит от остальных аксиом системы .

Аксиома фундирования, или аксиома регулярности (предложена Дж. фон Нейманом в 1925 г.):

утверждает, что всякое непустое множество содержит такой элемент , что и не имеют общих элементов. Из нее следует, что каждое непустое множество содержит элемент, минимальный по отношению (но не ). Следовательно, не может существовать такого множества , что . В противном случае мы могли бы рассмотреть одноэлементное (и, значит, непустое) множество , для которого аксиома фундирования не выполнялась бы: и множества и имеют общий элемент . Исключается существование таких множеств , для которых и , или и т. д. Наконец, исключается существование бесконечных цепей, убывающих по отношению , т. е. таких множеств , которые имеют бесконечную убывающую последовательность своих членов: . Правда, при нарушении аксиомы фундирования такие убывающие цепи строятся лишь с помощью аксиомы выбора.

Аксиома выбора (введена Цермело в 1908 г.): если — дизъюнктное множество непустых множеств, то существует такое множество , которое из каждого множества из содержит точно по одному элементу (или: прямое произведение не пусто).

Иначе говоря, среди подмножеств множества имеется по крайней мере одно, пересечение которого с каждым членом из есть одноэлементное множество. Каждое такое подмножество и множества называется множеством представителей множества ; множество представителей, вообще говоря, не единственно.

Эту аксиому формулируют также в терминах понятия функции: для любого дизъюнктного множества непустых множеств существует хотя бы одна такая функция , областью определения которой служит , что . Каждая такая функция определяет множество представителей множества и называется функцией выбора.

Аксиома выбора предоставляет наряду с аксиомой выделения еще один способ для получения подмножеств каких-либо множеств. Эта аксиома, пожалуй, одна из самых интересных и наиболее активно обсуждавшихся (несмотря на свое сравнительно позднее происхождение) аксиом математики. В этом отношении она уступает только евклидовой аксиоме о параллельных, имеющей более чем двухтысячелетнюю историю. Основные и важнейшие теоремы и методы теории множеств, алгебры, анализа, геометрии, топологии опираются на аксиому выбора. Поразительно большое количество теорем оказывается в точности эквивалентными аксиоме выбора. Фундаментальнейшая теорема Цермело о том, что всякое непустое множество можно вполне упорядочить, т.е. задать на нем такое линейное отношение порядка, что всякое непустое подмножество будет иметь наименьший элемент, — из числа важнейших эквивалентов аксиомы выбора. Хотя эта аксиома была осознана и явно сформулирована лишь в начале XX в., анализ показал, что применялась она в неявном виде задолго до этого времени. К аксиоме выбора математики пришли точно так же, как и к другим математическим принципам, — путем последующей проверки и логического анализа понятий, методов и доказательств, уже содержавшихся фактически в математике. Так, греческие математики догадались включить в число основных геометрических принципов аксиому о параллельных — утверждение, бытовавшее в математике задолго до Евклида. Гениальность этого достижения была полностью оценена лишь более двух тысячелетий спустя.

Итак, мы завершили перечисление аксиом теории множеств системы Цермело–Френкеля. В настоящее время это наиболее употребительная в основаниях математики система аксиом, которой охватывается вся традиционная математика.