Знаменитые проблемы теории множеств

 

Методы аксиоматической теории множеств позволили отчетливо сформулировать и решить ряд трудных проблем, имевших свое происхождение в классических разделах математики.

 

Важнейшей из таких проблем является проблема континуума. Именно ее поставил на первое место Д.Гильберт в своей знаменитой речи на II Международном математическом конгрессе, проходившем в Париже с 6 по 12 августа 1900 г., в которой им были сформулированы 23 актуальные математические проблемы. Еще Г. Кантор в 1878 г. сформулировал гипотезу, получившую название континуум-гипотезы: всякое бесконечное подмножество континуума равномощно либо множеству натуральных чисел , либо , т.е. не существует множества промежуточной мощности между счетной мощностью и мощностью континуума. Кантору не удалось ни доказать, ни опровергнуть эту гипотезу. Среди математиков росло убеждение в принципиальной неразрешимости проблемы континуума. Но только после того как вся проблемная среда, связанная с континуум-гипотезой, была формализована, т.е. приобрела характер формальной аксиоматической теории, стало возможным математически точно поставить, а затем и решить вопрос о формальной неразрешимости континуум-гипотезы.

В 1939 г. К. Гёдель показал, что если система Цермело–Френкеля непротиворечива, то она остается непротиворечивой и после добавления к ней континуум-гипотезы. Это означает, что в системе в предположении ее непротиворечивости невозможно доказать (вывести) отрицание континуум-гипотезы, т. е. отрицание континуум-гипотезы не зависит от остальных аксиом теории множеств, т.е. континуум-гипотеза не может быть опровергнута. В 1963 г. американский математик П. Коэн доказал аналогичное утверждение относительно континуум-гипотезы, т. е. континуум-гипотеза не может быть доказана, тем самым полностью закрыв проблему континуума. Таким образом, ни континуум-гипотеза, ни ее отрицание не зависят от остальных аксиом теории множеств. Это означает, что возможна теория множеств с континуум-гипотезой и возможна теория множеств с отрицанием континуум-гипотезы. Ситуация здесь оказалась сходной с той, которая возникла в начале XIX в. с пятым постулатом Евклида, когда была открыта геометрия Лобачевского.

Основным методом установления невыводимости формулы в является построение такой модели , в которой выполняется отрицание . Разработанный Коэном, а затем усовершенствованный другими авторами метод вынуждения сильно расширил возможности построения моделей теории множеств и в настоящее время лежит в основе почти всех дальнейших результатов о невыводимости.

Совершенно аналогичной оказалась ситуация и с аксиомой выбора . Гёдель в 1939 г. доказал, что если система непротиворечива, то непротиворечива и система , т.е. отрицание аксиомы выбора невыводимо из остальных аксиом системы . Невыводимость самой аксиомы выбора из системы тоже установил Коэн в 1962 г.

С 1920 г. начинается история еще одной знаменитой математической проблемы XX в. — проблемы М.Я. Суслина.

Установлено, что в системе не может быть ни доказано, ни опровергнуто (т.е. является неразрешимым) следующее утверждение: всякое подмножество множества действительных чисел измеримо по Лебегу. Выяснено взаимоотношение с системой многих важных проблем так называемой дескриптивной теории множеств, значительный вклад в которую внесли математики Московской математической школы, созданной академиком Н.Н.Лузиным (одним из ярких представителей которой является М.Я. Суслин). Получены многочисленные результаты об отсутствии эффективно определенных объектов в этой теории. Наконец, формализация теории множеств позволила обнаружить неизвестные ранее связи между проблемами " наивной" теории множеств.

Еще раз подчеркнем, что все эти проблемы удалось четко поставить и успешно разрешить только после формализации содержательной (" наивной" ) канторовской теории множеств.

 

 

Список литературы и интернет-источников

1. Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. — М.: УРСС, 2005. — 240 с.

2. Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — 556 с.

3. Э. Мендельсон. Введение в математическую логику. М.: Изд-во «Наука», 1976 – 320с.

4. Соловьев А.Е. Специальная математика. Конспект лекций. Пермь: Пермский Государственный Технический Университет, 2001 – 110 с.

5. https: //sites.google.com/site/anisimovkhv/learning/knowledge/lecture/tema9

6. http: //ru.math.wikia.com/wiki/Аксиоматика_теории_множеств

7. http: //dmtsoft.ru/bn/478/as/oneaticleshablon/

8. http: //www.univer.omsk.su/departs/compsci/kursi/disc/predlog.htm

 

 

⇐ Предыдущая123456

Поделиться:

Популярное:

1. D.2. Множественная регрессия и корреляция
2. II.2 Проблемы организации подросткового досуга и творческой деятельности (по результатам социологического исследования в КДЦ «Рассвет»)
3. V2: Линейная модель множественной регрессии
4. VIII. Философские проблемы культуры
5. X. Будущее человечества и глобальные проблемы современности
6. АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ЗАРУБЕЖНОГО
7. Актуальные проблемы кадровой политики юридической компании
8. Актуальные проблемы компетенции международного коммерческого арбитража
9. Актуальные проблемы криминологии
10. Актуальные проблемы психолингвистики.
11. Актуальные проблемы семейной педагогики
12. Актуальные проблемы теории и практики