РАЗДЕЛ 1. Математические методы и модели исследования экономики

Стр 1 из 6Следующая ⇒

В.С. Кривошеева

Исследование

Операций

В экономике

Проблемно-тематический курс

Котельники

ББК 22.183я73

К-82-1

Рекомендовано к изданию научно-методическим советом филиала «Котельники» университета «Дубна»

Автор канд.техн. наук, доцент

В.С. Кривошеева

Проблемно-тематический курс включает в себя обзорные примеры и контрольные проблемные задания по направлению, находящемуся на стыке экономики и прикладной математики: построению математических моделей и применению математических методов для анализа разнообразных экономических процессов. Содержание соответствует Государственному образовательному стандарту по дисциплине для экономических специальностей очной и заочной формы обучения.

Рецензент: В.И. Прокопьев канд. техн. наук, проф. кафедры информатики и прикладной математики МГСУ

«Дубна» филиал «Котельники», 2006

Введение

Основной целью данного курса является развитие и закрепление навыков студентов по важному направлению, находящемуся на стыке экономики и прикладной математики – построению математических моделей и применению математических методов для анализа разнообразных экономических процессов в целях планирования и управления в условиях развивающихся рыночных отношений. Курс призван дать студенту необходимый минимум базовых теоретических знаний по некоторым типовым группам математических моделей и способствует формированию практических навыков по применению математических методов, что является необходимым требованием для качественной подготовки экономиста. Курс содержит как базовые разделы, для усвоения которых необходимы знания по математике и статистике, так и более трудный для восприятия материал, усвоение которого, тем не менее, обязательно в соответствии с Государственным образовательным стандартом. Сложность курса требует от студентов систематической серьезной работы по его освоению и отработке соответствующих практических навыков. Выполнение, представленных в настоящем пособии, заданий позволит студенту освоить этот важный для экономиста предмет.

Пособие включает обзорные примеры и контрольные задания, которые следует выполнить и сдать преподавателю. Формулы, приводимые в пособии, и их расшифровка имеются в плане-конспектелекционного курса, поэтому дополнительно не разъясняются.

При выполнении контрольных заданий по каждой теме студент должен проставить вместо резервированных буквенных параметров индивидуальные анкетные характеристики: р₁ - число букв в полном имени студента; р₂– число букв в полном имени отца студента, р₃– число букв в фамилии студента. При отсутствии каких-либо анкетных характеристик соответствующее значение параметра следует принимать равным 1.

Программа курса

РАЗДЕЛ 1. Математические методы и модели исследования экономики

Тема 1. Введение в математические методы исследования
экономики.

Понятие методов исследования операций. Модель и эффективность операции. Общая постановка задачи исследования операций. Понятие критерия оптимальности. Принципы построения и структура интегрированной системы экономико-математических моделей. Классификация математических моделей.

Тема 2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
(балансовый анализ).

Балансовые соотношения. Линейная модель многоотраслевой экономики. Продуктивные модели Леонтьева.

РАЗДЕЛ 2. Детерминированные математические модели

Тема 3. Модели линейного программирования.

Примеры задач линейного программирования. Общая и основная задача линейного программирования. Геометрическое истолкование задач линейного программирования. Решение задачи линейного программирования симплексным методом. Экономическая интерпретация результатов. Двойственная задача линейного программирования. Экономическая интерпретация. Задача о «расшивке узких мест» производства. Оптимизация плана «расшивки» с помощью двойственных оценок ресурсов.

Тема 4. Некоторые специальные задачи линейного
программирования.

Транспортная задача. Сбалансированные и несбалансированные транспортные модели. Определение начального плана. Метод потенциалов нахождения оптимального плана транспортной задачи. Примеры экономических задач, сводящихся к транспортным моделям. Задачи назначения и распределения.

Тема 5. Многокритериальная оптимизация.

Сущность глобального и локального критериев оптимальности. Общая формулировка многокритериальной задачи. Решение методом последовательных уступок.

Тема 6. Модели нелинейного программирования.

Общая постановка задачи динамического программирования. Принцип оптимальности и управления Беллмана. Составление математической модели. Общая схема применения метода динамического программирования. Оптимальное распределение инвестиций и выбор оптимальной стратегии замены оборудования как задачи динамического программирования.

Тема 7. Математические методы сетевого планирования и управления.

Основные понятия. Правила построения сетевых графиков. Расчет временных параметров сетевого графика. Оптимизация сетевых моделей.

РАЗДЕЛ 3. Математические модели с элементами
неопределенности

Тема 8. Экономико-математические методы и модели

Теории игр.

Матричные игры с нулевой суммой. Решение матричных игр в чистых стратегиях. Решение матричных игр в смешанных стратегиях. Использование различных критериев при решении статистических игр.

Тема 9. Статистические методы анализа финансового рынка.

Общая характеристика финансового рынка и его составляющих. Надежность, рискованность операций и инструментов. Понятие оптимальности по Парето. Анализ доходности и риска финансовых операций. Статистические характеристики ценных бумаг. Сущность портфельного подхода. Влияние корреляции разных ценных бумаг. Оптимальный портфель. Задача Марковица. Оптимальный портфель при наличии безрисковых ценных бумаг.

РАЗДЕЛ 4. Стохастические математические модели

Тема 10. Модели теории массового обслуживания.

Основные понятия. Классификация систем массового обслуживания. Понятие марковского случайного процесса. Потоки событий. Предельные вероятности состояний. Системы массового обслуживания с отказами. Системы массового обслуживания с ожиданием.

Тема 11. Имитационные методы.

Основные понятия. Этапы имитационного моделирования. Идея метода Монте-Карло.

Раздел 5. Модели управления запасами

Задание по теме 4

4.1. Составить математическую модель транспортной задачи по исходным данным:

С = - матрица транспортных издержек, A = - вектор объемов производства, B = (34, 40, 38, 53) - вектор объемов потребления.

Убедиться, что полученная модель является несбалансированной и свести ее к замкнутой модели.

Найти оптимальное решение транспортной задачи методом потенциалов.

Литература: 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 15.

Тема 5. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

Примеры решения типовых задач

5.1. Векторная оптимизация.

Отыскание наилучших решений по нескольким критериям называется многокритериальной или векторной оптимизацией. Такая задача возникает в случае, когда функционирование системы оценивается определенными критериями, записываемыми в виде целевых функций . Не ограничивая общности предположим, что каждый частный критерий (компонента векторного критерия) максимизируется.

Задача многоцелевой оптимизации может быть записана как векторная задача математического программирования.

Найти вектор :

;

.

Для решения используем метод последовательных уступок. Алгоритм метода:

1. Критерии нумеруются в порядке убывания важности.

2. Определяется оптимальное значение критерия . Лицом, принимающим решение, устанавливается величина уступки по этому критерию.

3. Решается задача по критерию с дополнительным ограничением .

Далее пункты 2 и 3 повторяются для критериев , , … .

К недостаткам метода можно отнести то, что полученное решения не всегда принадлежит области компромиссов.

Методом последовательных уступок решим оптимизационную
задачу

В задаче критерии пронумерованы в порядке убывания важности. Считаем, что уступка по первому критерию составляет 15% от его оптимального значения.

а) Решаем задачу линейного программирования по критерию

; .

Оптимальное значение ; ;

б) В соответствии с условием задачи находим величину уступки

.

Дополнительное ограничение примет вид

в) Решаем задачу.

; .

Получим оптимальное решение при этом

Контрольные вопросы по теме 5

1. Сущность глобального и локального критериев оптимальности.

2. Общая формулировка многокритериальной задачи.

3. Решение методом последовательных уступок.

Задание по теме 5

5.1. Решить задачу двухкритериальной оптимизации методом последовательных уступок. Для простоты рассмотреть задачи ли-нейного программирования (решать любым методом).

Исходные данные: F(Х) ={f₁ = 2x₁ + 5x₂, f₂ = 4: p₁: x₁ + 10x₂}®max.

На переменные наложены ограничения:

Уступка по первому критерию составляет 2·p₃ % от его оптимального значения. Критерии пронумерованы в порядке убывания важности.

Литература: 2, 20, 24.

Тема 6. МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Примеры решения типовых задач

6.1. Распределение капитальных вложений.

Нелинейная задача распределения ресурсов: предположим, что задано n пунктов, где требуется построить или реконструировать предприятия одной отрасли, для чего выделено b рублей. Обозначим через ( ) прирост мощности или прибыли на j предприятии, если оно получит рублей капитальных вложений. Требуется найти такое распределение капитальных вложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли при ограничениях по общей сумме капитальных вложений , причем считаем, что все переменные принимают только целые неотрицательные значения = 0, или 1, или 2, или 3, ….. Функции ( ) считаем заданными.

Метод динамического программирования:

Введем параметр состояния ξ - количество рублей, выделенных нескольким предприятиям. Функцию состояния F_k(ξ ) определяем как максимальную прибыль на первых k предприятиях, если они вместе получают ξ рублей.

Параметр ξ изменяется от 0 до b.

Если из ξ рублей k –ое предприятие получило x_k рублей, то остальные (ξ - x_k) рублей надо распределить между предприятиями от первого до (k – 1) так, чтобы была получена максимальная прибыль F_{k –1} (ξ - x_k).

Прибыль k предприятий тогда будет равна f_k(x_k) + F_{k –1} (ξ - x_k).

Надо выбрать такое значение x_k между 0 и ξ, чтобы эта сумма была максимальной. Приходим к рекуррентному соотношению

F_k (ξ ) { f_k(x_k) + F_{k –1} (ξ - x_k)} для k =2, 3, 4 …n,

Если k =1, то F₁(ξ ) = f₁(ξ ).

Исходные данные:

Табл. 1


( )
( )
( )
( )

Производственное объединение состоит из n = 4 предприятий. Общая сумма капитальных вложений b = 700 тыс. руб. Выделяемые предприятиям суммы кратны 100 тыс. рублей. Прирост прибыли ( ) заданы в таблице. Например, число 25 во второй строке означает, что если второе предприятие получит 200 тыс. руб. капитальных вложений, то прирост прибыли на этом предприятии составит 25 тыс. руб.

Для заполнения Табл.2. находим сумму F₁(ξ – ) = (ξ – ) и ( ). На каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, то есть F₂(ξ ) { ( ) + F₁(ξ – )}. Отметим его «*»

Табл. 2

ξ –
	F₁(ξ - )
	( )

		13*
		25*
		37*	47*	57*
				67*	77*

Для чисел, указанных «*» находим соответствующее значение (ξ ). Заполняем Таблицу 3.

Табл. 3

ξ
F₂(ξ )
(ξ )

Продолжим процесс вычислений: находим F₃(ξ ), (ξ ) и заполняем Табл. 4 и Табл. 5 так же, как Табл. 2 и Табл.3.

Табл. 4

ξ –
	F₂(ξ - )

		13*	25*	37*	47*	57*	67*	77*

Табл. 5

Ξ
F₃(ξ )
(ξ )

В Таблице 6 заполняем только одну диагональ для ξ = 700.

Табл. 6

ξ –
	F₃ (ξ - )



		93*

Z max = 93 тыс. руб., причем четвертому предприятию должно быть выделено * = (700) = 200 тыс. руб.

На долю остальных предприятий остается 500 тыс. руб. Из Табл.5 видно, что третьему предприятию должно быть выделено * = (700- *) = *(500) = 0 руб.

Продолжая обратный процесс, находим * = (700- *- *) = (700 – 200 - 0) = (500) = 300 тыс. руб.

На долю первого предприятия остается * = 700- *- *- * = 700 – 200 – 0 - 300 = 200 тыс. руб.

Следовательно, наилучшим является следующее распределение капитальных вложений по предприятиям

* = 200 тыс. руб.; * = 300 тыс. руб.;

* = 0 руб.; * = 200 тыс. руб.

Оно обеспечивает производственному объединению наибольший возможный прирост прибыли равный 93 тыс. руб.

Прирост прибыли на каждом отдельном предприятии составляет:

f₁( *) = f₁(200) = 20 тыс. руб.; f₂( *) = f₂(300) = 37 тыс. руб.;

f₃( *) = f₃(0) = 0 руб.; f₄( *) = f₄(200) = 36 тыс. руб.

Проверка показывает, что

f₁( *) + f₂( *) + f₃( *) + f₄ ( *)= 93 тыс. руб.

Контрольные вопросы по теме 6

1. Общая постановка задачи динамического программирования.

2. Принцип оптимальности и уравнения Беллмана.

3. Составление математической модели.

4. Общая схема применения метода динамического программирования.

5. Оптимальное распределение инвестиций и выбор оптимальной стратегии замены оборудования как задачи динамического программирования.

Задание по теме 6

6.1. Методом динамического программирования решить задачу распределения капитальных вложений между 4 предприятиями производственного объединения. Максимизировать суммарный прирост прибыли (или мощности). Общая сумма капитальных вложений равна 700 денежных единиц. Суммы, выделяемые предприятиям кратны 100 ден.ед.

Значение функций f_i(x_i) приведены в таблице:

x
f₁(x₁)			р₃
f₂(x₂)		p₂
f₃(x₃)	р₁
f₄(x₄)

Литература: 1, 3, 4, 5, 8, 15, 24.

Тема 7. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ. ОПТИМИЗАЦИЯ СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ

Примеры решения типовых задач

7.1. Сетевые методы решения экономических задач.

Сетевой график задан в виде следующей таблицы:

Шифр работ

Продолжительность работ

Построить его графическое изображение. Определить критический путь методом динамического программирования. Провести расчет основных параметров сетевого графика.

Решение

На рисунке представлен сетевой график, построенный с соблюдением правил построения сетевых графиков.

Определяем основные параметры сетевого графика.

I. Ранние сроки свершения событий находим методом динамического программирования.

Для нашего случая имеем:

Следовательно, завершающее 9 событие может свершиться лишь на 24 день от начала разработки. Это минимальное время, за которое могут быть выполнены все работы проекта. Время определяется самым длинным полным путем. Суммарная продолжительность работ, принадлежащих критическому пути

Выделим работы, принадлежащие критическому пути. От завершающего события возвращаемся к исходному. Из трех работ, входящих в событие (9), критическое время определила работа (6, 9), так как . И, следовательно, работа (6, 9) является критической. Момент совершения события 6 определила работа (5, 6), так как и работа (5, 6) является критической.

Аналогично, находим, что работы (4, 5) и (1, 4) являются критическими.

На графике отмечены работы, принадлежащие критическому пути, это работы (1, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 9).

Определим другие параметры сетевого графика.

II. Найдем поздние сроки свершения события i:

Воспользуемся методом динамического программирования.

Например,

III. Найдем резерв времени события (i).

Резервы всех критических событий равны нулю.

IV. Определим временные параметры работ.

Ранний срок начала работы (i, j):

Например,

Ранний срок окончания работы (i, j):

или .

Например,

Поздний срок окончания работы совпадает с поздним сроком свершения ее конечного события

Поздний срок начала работы вычисляется по формулам

или

Полный резерв времени работы – максимально возможный запас времени, на который можно отсрочить начало работы или увеличить продолжительность ее выполнения при условии, что конечное для данной работы событие наступит не позднее его позднего срока

Например, .

Все некритические работы имеют полный резерв времени отличный от нуля.

Свободный резерв времени

Например,

Свободный резерв присущ только данной работе и его использование никак не влияет на выполнение последующих работ.

Например,

Только отдельные работы проекта обладают свободным резервом времени.

Контрольные вопросы по теме 7

1. Основные понятия.

2. Правила построения сетевых графиков.

3. Расчет временных параметров сетевого графика.

Задание по теме 7

7.1. Сетевой график задан в виде следующей таблицы:

шифр работ

продолжительность работ

р₁

p₂

р₃

Построить его графическое изображение и определить критический путь методом динамического программирования. Произвести расчет основных параметров сетевого графика.

Литература: 1, 2, 4, 6, 24.

РАЗДЕЛ 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ С ЭЛЕМЕНТАМИ
НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ

Примеры решения типовых задач

8.1. Модели теории игр. Предприятие может выпускать три вида продукции: А₁, А₂, А₃. Получаемая прибыль зависит от спроса, который может быть в одном из четырех состояний: В₁, В₂, В₃, В₄.

Задана платежная матрица , элементы матрицы характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске i продукции с j состоянием спроса. Определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, гарантирующие среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса, считая его неопределенным.

Решение. Задача сводится к игровой модели, в которой игра предприятия А против спроса В задана платежной матрицей. Проведем анализ платежной матрицы. Вторая стратегия игрока А (А₂) является невыгодной по сравнению с первой стратегией. Вторая стратегия (В₂) является доминируемой к стратегии В₁. После упрощения платежная матрица принимает вид .

Вид продукции	Спрос
	B₁	B₃	B₄	a_i

А₁
А₃
				a=4
				b=6

Определяем нижнюю и верхнюю цены игры. Так как , то седловая точка отсутствует и оптимальное решение ищем в смешанных стратегиях игроков:

* = (р₁, р₂, р₃ ) и * = (q₁, q₂, q₃, q₄ ),

где р_i, q_j - вероятности применения соответствующих чистых стратегий А_i, B_j. Обозначив = р_i/ v; = q_j/v, составим две взаимно-двойственные задачи линейного программирования.

Задача 1 Задача 2

Решаем симплексным методом одну из задач, например, задачу 2 Получаем оптимальное решение ; .

Задачу 1 можно решить симплексным методом, или найти оптимальное решение с помощью теорем двойственности.

Получаем .

Цена игры

Оптимальная стратегия * = . Здесь учтено, что вторая строка исходной матрицы была отброшена как невыгодная. Следовательно, предприятие должно выпускать 50% продукции вида А₁, 50% продукции вида А₃, а продукцию А₂ не выпускать.

Оптимальная стратегия * =

Здесь учтено, что стратегия В₂ является доминируемой. Таким образом оптимальный спрос в 25% находится в состоянии В₁ и в 75% - в состоянии В₃.

8.2. Задача. Физическое лицо имеет возможность вложить 20 ден.ед. в три банка Б₁, Б₂, Б₃. Банк Б₁ деньги принимает в количестве кратном 6 ден.ед., банк Б₂ – кратном 4 ден.ед., а Б₃ в количестве кратном 10 ден.ед. На конец года банки могут оказаться в одном из двух состояний S₁ и S₂. Эксперты установили, что дивиденды банка Б₁ в состоянии S₁ на конец года составят 7% от вложенной денежной суммы и 12% в состоянии S₂. Для банка Б₂ дивиденды составят в состоянии S₁ – 8%, в состоянии S₂ -13%, в банке Б₃ соответственно 13% и 6%.

Как должен распорядиться вкладчик имеющимися сбережениями, чтобы обеспечить себе возможно большую прибыль.

Решение. Используем игровой подход. Физическое лицо примем за игрока А. Он принимает решение о том, в какие банки и в каком количестве вложить деньги; за игрока П (природу) примем совокупность внешних обстоятельств, которые обуславливают то или иное состояние банков на конец года.

При решении ограничимся для игрока А тремя возможностями, полностью использующими имеющуюся сумму в 20 ден. ед. Через А₁ обозначим первую чистую стратегию игрока А, состоящую в том, что А вложит в Б₁, Б₂, Б₃ соответственно 6 ден.ед., 4 ден.ед., 10 ден.ед., Условно записываем так: А₁(6, 4, 10).

Аналогично, А₂(12, 8, 0) – чистая стратегия игрока А, состоящая в том, что в банки Б₁, Б₂, Б₃ вкладываются 12, 8, 0 ден.ед. соответственно, А₃(0, 0, 20) – третья чистая стратегия для А.

Природа может реализовать одно из двух своих состояний, характеризующихся различными размерами дивидендов, выплачиваемых в конце года вкладчику. Обозначим состояние природы следующим образом: П₁(7%, 8%, 13%), П₂(12%, 13%, 6%).

Составляем платежную матрицу. Элементы платежной матрицы имеют смысл суммарной прибыли, получаемой физическим лицом в различных ситуациях (А_i, П_j) (i = 1, 2, 3; j = 1, 2).

Вычислим элемент , отвечающий ситуации (А1, П1), то есть случаю, когда физическое лицо вкладывает в банки Б₁, Б₂, Б₃ соответственно 6 ден.ед., 4 ден.ед. и 10 ден.ед. и на конец года банки оказались в условиях S₁:

= 6 · 0, 07 + 4 · 0, 08 + 10 · 0, 13 = 2, 04

аналогично = 0 · 0, 07 + 0 · 0, 08 + 20

12 3 4 5 6 Следующая ⇒