Тема 8. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ ТЕОРИИ ИГР

Примеры решения типовых задач

8.1. Модели теории игр. Предприятие может выпускать три вида продукции: А₁, А₂, А₃. Получаемая прибыль зависит от спроса, который может быть в одном из четырех состояний: В₁, В₂, В₃, В₄.

Задана платежная матрица , элементы матрицы характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске i продукции с j состоянием спроса. Определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, гарантирующие среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса, считая его неопределенным.

Решение. Задача сводится к игровой модели, в которой игра предприятия А против спроса В задана платежной матрицей. Проведем анализ платежной матрицы. Вторая стратегия игрока А (А₂) является невыгодной по сравнению с первой стратегией. Вторая стратегия (В₂) является доминируемой к стратегии В₁. После упрощения платежная матрица принимает вид .

Вид продукции	Спрос
	B1	B3	B4	ai
А1
А3
				a=4
				b=6

 

Определяем нижнюю и верхнюю цены игры. Так как , то седловая точка отсутствует и оптимальное решение ищем в смешанных стратегиях игроков:

* = (р₁, р₂, р₃ ) и * = (q₁, q₂, q₃, q₄ ),

где р_i, q_j - вероятности применения соответствующих чистых стратегий А_i, B_j. Обозначив = р_i / v; = q_j/v, составим две взаимно-двойственные задачи линейного программирования.

Задача 1 Задача 2

Решаем симплексным методом одну из задач, например, задачу 2 Получаем оптимальное решение ; .

Задачу 1 можно решить симплексным методом, или найти оптимальное решение с помощью теорем двойственности.

Получаем .

Цена игры

Оптимальная стратегия * = . Здесь учтено, что вторая строка исходной матрицы была отброшена как невыгодная. Следовательно, предприятие должно выпускать 50% продукции вида А₁, 50% продукции вида А₃, а продукцию А₂ не выпускать.

Оптимальная стратегия * =

Здесь учтено, что стратегия В₂ является доминируемой. Таким образом оптимальный спрос в 25% находится в состоянии В₁ и в 75% - в состоянии В₃.

8.2. Задача. Физическое лицо имеет возможность вложить 20 ден.ед. в три банка Б₁, Б₂, Б₃. Банк Б₁ деньги принимает в количестве кратном 6 ден.ед., банк Б₂ – кратном 4 ден.ед., а Б₃ в количестве кратном 10 ден.ед. На конец года банки могут оказаться в одном из двух состояний S₁ и S₂. Эксперты установили, что дивиденды банка Б₁ в состоянии S₁ на конец года составят 7% от вложенной денежной суммы и 12% в состоянии S₂. Для банка Б₂ дивиденды составят в состоянии S₁ – 8%, в состоянии S₂ -13%, в банке Б₃ соответственно 13% и 6%.

Как должен распорядиться вкладчик имеющимися сбережениями, чтобы обеспечить себе возможно большую прибыль.

Решение. Используем игровой подход. Физическое лицо примем за игрока А. Он принимает решение о том, в какие банки и в каком количестве вложить деньги; за игрока П (природу) примем совокупность внешних обстоятельств, которые обуславливают то или иное состояние банков на конец года.

При решении ограничимся для игрока А тремя возможностями, полностью использующими имеющуюся сумму в 20 ден. ед. Через А₁ обозначим первую чистую стратегию игрока А, состоящую в том, что А вложит в Б₁, Б₂, Б₃ соответственно 6 ден.ед., 4 ден.ед., 10 ден.ед., Условно записываем так: А₁(6, 4, 10).

Аналогично, А₂(12, 8, 0) – чистая стратегия игрока А, состоящая в том, что в банки Б₁, Б₂, Б₃ вкладываются 12, 8, 0 ден.ед. соответственно, А₃(0, 0, 20) – третья чистая стратегия для А.

Природа может реализовать одно из двух своих состояний, характеризующихся различными размерами дивидендов, выплачиваемых в конце года вкладчику. Обозначим состояние природы следующим образом: П₁(7%, 8%, 13%), П₂(12%, 13%, 6%).

Составляем платежную матрицу. Элементы платежной матрицы имеют смысл суммарной прибыли, получаемой физическим лицом в различных ситуациях (А_i, П_j) (i = 1, 2, 3; j = 1, 2).

Вычислим элемент , отвечающий ситуации (А1, П1), то есть случаю, когда физическое лицо вкладывает в банки Б₁, Б₂, Б₃ соответственно 6 ден.ед., 4 ден.ед. и 10 ден.ед. и на конец года банки оказались в условиях S₁:

= 6 · 0, 07 + 4 · 0, 08 + 10 · 0, 13 = 2, 04

аналогично = 0 · 0, 07 + 0 · 0, 08 + 20 · 0, 13 = 2, 6 и т.д.

Полученные результаты записываем в таблицу.

Таблица 1

Пj			α i		0, 8·min aij j	0, 2·max aij j
А
	2, 04	1, 84	1, 84	1, 94	1, 472	0, 408	1, 88
	1, 48	2, 48	1, 48	1, 98	1, 184	0, 496	1, 68
	2, 60	1, 20	1, 20	1, 90	0, 96	0, 520	1, 48
	2, 60	2, 48					max hj=1, 88 i

Из таблицы 1 видно, что нижняя чистая цена игры , а верхняя чистая цена игры , то есть α ≠ β и игра не содержит седловой точки.

В нашем случае упростить платежную матрицу нельзя, так как нет доминируемых стратегий. Вообще, в играх с природой нельзя отбрасывать те или иные состояния природы, поскольку она может реализовать любое свое состояние независимо, выгодно оно игроку А или нет.

Перейдем к матрице рисков. Она часто позволяет более четко выявить преимущество одной стратегии по сравнению с другой при данных состояниях природы. Риском r_ij игрока А, когда он пользуется чистой стратегией A_i при состоянии П_j природы называется .

Матрица рисков приведена в таблице 2.

Таблица 2

Пj
Аi
	0, 56	0, 64	0, 64
	1, 12		1, 12
		1, 28	1, 28

При поиске оптимальных решений, учитывая специфику статистических игр, обращаются к различным критериям, которые дают некоторую логическую схему принятия решения. Критерии позволяют оценить принимаемое решение с различных позиций, поэтому позволяют избежать грубых ошибок в хозяйственной деятельности.

Критерий Лапласа. Предположим, что игрок А не располагает достоверной информацией об априорных вероятностях состояний П_j природы. Оптимальной считается чистая стратегия, обеспечивающая максимальный средний выигрыш игрока А при равенстве всех априорных вероятностей . Этот прием называется принципом недостаточного основания Лапласа.

В нашей задаче . Средние выигрыши помещены в табл. 1. в столбце . Оптимальной по Лапласу является чистая стратегия А₂ (вложить в Б₁ - 12 ден.ед., в Б₂ – 8 ден.ед., в Б₃ – денег не вкладывать). В интересах объективности можно найти средние значения вероятностей, определенных квалифицированными экспертами для каждого состояния на основе их субъективного опыта.

Критерий Вальда – максиминный критерий. Это критерий крайнего пессимизма, так как здесь игрок А исходит из предположения, что природа «действует» против него наихудшим образом. Оптимальной считается максиминная чистая стратегия, а максимальным выигрышем нижняя чистая цена игры . Следовательно, по Вальду оптимальной является чистая стратегия А₁ (вложить в Б₁ - 6 ден.ед., в Б₂ – 4 ден.ед., в Б₃ – 10 ден.ед.), при этом показатель эффективности равняется 1, 84.

Критерий Сэвиджа (критерий крайнего пессимизма) рекомендует выбирать в качестве оптимальной ту чистую стратегию А_i, при которой минимизируется величина максимального риска. Из таблицы 2 видим, что по Сэвиджу оптимальной является стратегия А₁:

.

Критерий Гурвица рекомендует рассчитывать на нечто среднее. Он называется критерием пессимизма-оптимизма. В области чистых стратегий оптимальной считается стратегия, найденная из условия

,

где и выбирается из субъективных соображений. При γ = 1 критерий Гурвица превращается в критерий Вальда (крайнего пессимизма), при γ = 0 – в критерий крайнего оптимизма, при 0< γ < 1 получается нечто среднее.

Пусть γ = 0, 8. Тогда формула принимает вид:

Все промежуточные результаты приведены в таблице 1. Из нее видно, что = 1, 88 соответствует стратегии А₁.

Анализ практических ситуаций желательно проводить по нескольким критериям. Указанные критерии используются и для выбора обоснованных заключений при решении статистических игр в смешанных стратегиях.

 

Контрольные вопросы по теме 8

1. Предмет и задачи теории игр.

2. Парные конечные игры с нулевой суммой.

3. Решение матричных игр в чистых стратегиях. Максимин. Минимакс. Седловая точка. Принцип минимакса.

4. Понятие смешанной стратегии игрока. Цена игры.

5. Сведение матричной игры к задаче линейного программирования.

6. Критерии используемые при решении статистических игр.

7. Особенности игр с природой.

Задание по теме 8

8.1.Игра задана матрицей .

Найти оптимальные смешанные стратегии для обоих игроков и определить цену игры. (Задачу решить аналитическим методом).

8.2. Объединение производит разведку полезных ископаемых на 3 месторождениях. Фонд средств объединения составляет 10 ден.ед. Деньги в первое месторождение могут быть вложены в количестве кратном 2 ден.ед., во второе – 3 ден.ед., в третье – 5 ден.ед.

Цены на полезные ископаемые в конце планового периода могут оказаться в двух состояниях С₁ и С₂. Эксперты установили, что в ситуации С₁ прибыль на месторождении М₁ составит 10% от количества вложенных ден. ед. на разработку, на М₂ - 15% и на М₃ – р3%. В ситуации С₂ на конец планового периода прибыль составит 12%, р2%, 9% на месторождениях М₁, М₂, М₃ соответственно.

Принять решение о вложении денег в месторождения, чтобы обеспечить наибольшую возможную прибыль от разработки полезных ископаемых. Проанализировать практическую ситуацию по нескольким критериям. Для критерия Гурвица принять g=0, 7.

Выбрать обоснованное решение. При составление модели ограничиться тремя возможностями, позволяющими объединению полностью использовать сумму в 10 ден.ед.

Литература: 1, 2, 4, 5, 22-25.

Тема 9. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ФИНАНСОВОГО РЫНКА

Примеры решения типовых задач

9.1. Анализ доходности и риска финансовых операций.

Почти все финансовые операции проводятся в условиях неопределенности и поэтому результат невозможно предсказать заранее. Финансовые операции рискованные, то есть при их проведении возможны как прибыль, так и убыток.

Оценка операции с точки зрения ее доходности и риска.

Рассмотрим какую-либо финансовую операцию, доход которой есть случайная величина .

Средний ожидаемый доход – математическое ожидание случайной величины : =M[ ] = , где p_i - вероятность получить доход q_i.

Среднее квадратическое отклонение – мера разбросанности возможных значений дохода вокруг среднего ожидаемого дохода. Считаем s количественной мерой риска операции и обозначаем через r.

D[Q] = M[(Q - )² ] = M[Q² ] – (M[ ])²

Исходные данные

Рассмотрим 4 операции.

			Q1					Q3

 

			Q2					Q4

Найдем средние ожидаемые доходы и средние ожидаемые риски ri.

= 0 · + 8 · + 16 · + 20 · = 8;

= 2 · + 4 · + 6 · + 18 · = = 6, 8;

= 0 · + 4 · + 10 · + 14 · = = 7;

= 2 · + 12 · + 18 · + 22 · = = 10, 25.

M[ ] = 0 · + 64 · + 256 · + 400 · = = 140

D[ ] = M[ ] – (M[ ])² = 140 - 8 ² = 140 – 64 = 76

M[ ] = 4 · + 16 · + 36 · + 324 · = = 79, 2

D[ ] = 79, 2 – (6, 8)² = 79, 2 – 46, 24 = 32, 96

M[ ] = 0 · + 16 · + 100 · + 196 · = = 78

D[ ] = 78 – 49 = 29

M[ ] = 4 · + 144 · + 324 · + 484 · = = 181, 5

D[ ] = 181, 5 – (10, 25)² = 181, 5 – 105, 0625 ≈ 76, 744

 

 

Вычислим риски

= ≈ 8, 72

= ≈ 5, 74

= ≈ 5, 38

= ≈ 8, 74

Нанесем средние ожидаемые доходы и риски r на плоскость.

Найдем лучшую операцию, используя взвешивающую формулу

φ ( ) = 2 – r.

Получаем

φ ( ) = 2 – r1 = 2 · 8 – 8, 72 ≈ 7, 28

φ ( ) = 2 – r2 = 2 · 6, 8 – 5, 74 ≈ 7, 86

φ ( ) = 2 – r3 = 2 · 7 – 5, 38 ≈ 8, 62

φ ( ) = 2 – r4 = 2 · 10, 25 – 8, 74 ≈ 11, 76

4 операция – лучшая

1 операция – худшая

IV точка доминирует I, так как риски практически одинаковы,

а > , III точка доминирует II, остальные точки несравнимы.

9.2. Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

Набор ценных бумаг, находящихся у участника рынка называется его портфелем ценных бумаг. Из характеристик ценных бумаг наиболее значимы две: эффективность и рискованность. Эффективность Е – обобщенный показатель дохода или прибыли.

Е – случайная величина с математическим ожиданием m_Е.

Обозначения: х_i– доля капитала, потраченная на закупку ценных бумаг i вида;

Е_i – эффективность ценных бумаг i вида;

V_ij - ковариация ценных бумаг i и j видов (или корреляционный момент К_ij );

m_i - математическое ожидание Е_i;

s_i = - рискованность ценной бумаги i вида, где V_ii - дисперсия эффективности Е_i;

Е_р - эффективность портфеля ценных бумаг;

m_р = М[E_p] = –математическое ожидание эффективности;

s_р = - риск портфеля,

здесь = = V_р.

Математическая формулировка задачи:

Найти x_i, минимизирующие вариацию эффективности портфеля

V_р =

при условии, что обеспечивается заданное значение ожидаемой эффективности портфеля m_р, то есть

m_р = , =1

Если на рынке есть безрисковые бумаги, то решение задачи об оптимальном портфеле значительно упрощается.

Пусть m₀ – эффективность безрисковых бумаг, x₀ – доля капитала, вложенного в них. Пусть m_r - средняя ожидаемая эффективность рисковой части портфеля.

V_r - вариация (дисперсия) рисковой части портфеля.

s_r - среднее квадратическое отклонение рисковой части портфеля.

В рисковую часть портфеля ценных бумаг вложено (1 - x₀) часть всего капитала.

Тогда ожидаемая эффективность всего портфеля будет равна

m_р = x₀ m₀ + (1 - x₀) m_r

V_р = (1 - x₀)² V_r

s_p = (1 - x₀) s_r - риск портфеля

Cчитаем, что безрисковые бумаги некорpелированы с остальными

m_р = m₀ + (m_r - m₀) .

В этом случае задача выглядит так:

®min

x₀ m₀ + = m_р

x₀ + = 1

Оптимальное значение долей капитала x_i есть

Х* = · ,

где V – матрица ковариаций рисковых видов ценных бумаг;

Х = (x_i) – вектор–столбец долей x_i капитала, вкладываемого в i вид рисковых ценных бумаг;

М = (m_i) – вектор–столбец ожидаемых эффективностей бумаг i вида i = 1, 2 …..n;

J - вектор – столбец, с компонентами равными 1;

- матрица, обратная к V.

Исходные данные:

m₀ =3; m₁ =5; m₂ =9; s₁ = 4; s₂ = 6;

M= ; V= ; = .

= - =

= =

= ( 2; 6)

= ( 2; 6) =

Х* = = =

x₀* = 1– =1-

Необходимость в операции " short sale" возникает, если x₀* < 0 или 30 - 7 m_р + 21 < 0 или 7 m_р > 51; m_р> .

 

Контрольные вопросы по теме 9

1. Как оценивается финансовая операция с точки зрения ее доходности?

2. Как оценивается риск операции?

3. Понятие оптимальности по Парето.

4. Математическая формализация задачи формирования оптимального портфеля по Марковицу.

5. Оптимальный портфель по Марковицу при наличии безрисковых ценных бумаг. Постановка задачи.

6. Решение задачи об оптимальном портфеле при наличии безрисковых ценных бумаг.

7. Понятие операции «short sale». Когда возникает необходимость в такой операции?

Задание по теме 9

9.1. Даны ряды распределения для четырех операций:

 

 

Q1

Q3

р2

2· р3

-

-

Q2

Q4

р1

-

-

Найти:

1. Средние ожидаемые доходы (i = 1, 2, 3, 4) и риски r_i операций.

2. Операции оптимальные по Парето.

3. С помощью взвешивающей формулы φ ( ) = 2 – r найти лучшую и худшую из операций.

9.2. Решить задачу формирования оптимального портфеля 3х видов ценных бумаг при исходных данных:

m0	m1	m2	s1	s2
	р1	р3	р2	р3

здесь m₀ – эффективность безрисковых бумаг вида 1,

m₁, m₂ –ожидаемые эффективности некоррелированных ценных бумаг второго и третьего вида с рисками s₁, s₂.

Как устроена рисковая часть оптимального портфеля? С какими ценными бумагами и при какой ожидаемой эффективности возникает необходимость в операции «short sale»?

Литература: 2, 15, 16, 19, 20, 21, 24.

 

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I. Понятие и система криминалистического исследования оружия, взрывных устройств, взрывчатых веществ и следов их применения.
2. I. ТЕХНОЛОГИИ ПОЛИГРАФИЧЕСКОЙ ПЕЧАТИ.. 1
3. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСОВ КУРСА ПО ТЕМАМ И ВИДАМ РАБОТ
4. Non Role-Play (сокращение NonRP) - нереальная игра, действие, как данный персонаж не поступил бы в жизни. Нарушение RP режима.
5. Q Часть 3. Интуитивные игры для ума
6. Role-Play(сокращение RP) - реальная игра, реальное поведение, как в жизни, игра по ролям.
7. V1: Понятие, объект, предмет и система криминологии
8. V6: Нелинейные модели регрессии
9. V7: Система линейных одновременных уравнений
10. VIII. Отаку входят в игру (1986-1989)
11. Автоматизированная система телемеханического управления (АСТМУ)
12. Административная реформа и система органов исполнительно власти.