Тема 12. Основные задачи управления запасами.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 6Следующая ⇒

Статическая детерминированная модель без дефицита. Статическая детерминированная модель с дефицитом. Понятие о стохастических моделях управления запасами.

Литература

Основная литература

1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. и др. Исследование операций в экономике: Учебное пособие для вузов /Общая редакция Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.

2. Экономико-математические методы и модели: Учебное Пособие для Вузов /Общая редакция А.В. Кузнецова. – Минск.: БГЭУ, 1999.

3. Хазанова Л.Э. Математическое моделирование в экономике: Учебное пособие. – М.: Изд-во Бек, 1998.

4. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2005.

Дополнительная литература

5. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 2001.

6. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник: в 3 частях. – М.: Финансы и статистика, 1998.

7. Эддоус М., Стенсфилд Р. Методы принятия решений / Пер. с англ. Под. ред. член-корр. РАН И.И.Елисеевой. – М.: Аудит, ЮНИТИ, 1997.

8. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1993.

9. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. – М.: Наука, 1980.

10. Калихман И.Л. Линейная алгебра и программирование. – М.: Высшая школа, 1967.

11. Карпелевич Ф.И., Садовский Л.Е. Элементы линейной алгебры и линейного программирования. – М.: Наука, 1967.

12. Нит И.В. Линейное программирование. – М.: Изд-во МГУ, 1978.

13. Карандаев И.С. и др. Математические методы исследования операций в примерах и задачах. - М.: ГАУ, 1993.

14. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятности и математическая статистика. - М.: Инфра – М, 1997.

15. Вагнер Г. Основы исследования операций в 3 томах. – М.: Мир, 1973.

16. Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учебник. – М.: Дело, 2001.

17. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, ДИС, 1999.

18. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. и др. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие для вузов/ Общая редакция Н.Ш Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.

19. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики: Учебно-практическое пособие для вузов. – М.: УРАО, 1998.

20. Малыхин В.И. Математика в экономике: Учебное пособие. – М: Инфра-М, 1999.

21. Малыхин В.И. Финансовая математика: Учебное пособие для вузов. – М: ЮНИТИ-ДАНА, 2000.

22. Сулицкий В.Н. Методы статистического анализа в управлении: Учебное пособие. – М.: Дело, 2002.

23. Пинегина М.В. Математические методы и модели в экономике: Учебное пособие для вузов. – М.: Изд-во «Экзамен», 2002.

24. Трояновский В.М. Математическое моделирование в менеджменте: Учебное пособие. – М.: Изд-во РДЛ, 2002.

25. Дубов А.М., Лагоша Б.А. и др. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе: Учебное пособие для вузов /Общая редакция Б.А. Лагоши. – М.: Финансы и статистика, 2001.

Методические рекомендации
по выполнению письменной работы

Практические задания по курсу «Исследование операций в экономике» следует выполнять в общей тетради (48 л.) или на листах бумаги формата А4 (листы необходимо сшить). Работа обязательно должна содержать титульный лист с указанием числовых значений резервированных параметров р₁, р₂и р₃. При оформлении решений следует соблюдать нумерацию задач в соответствии с заданиями. Текст решений должен быть кратким и разборчивым. В неясных случаях необходимо консультироваться у преподавателя.

Срок сдачи работы определяется графиком учебного процесса.

Для успешной сдачи экзамена по данному курсу необходимо не только изучить теорию, но и научиться решать задачи. Наша позиция заключается в том, что основным навыком профессионала является умение самостоятельно работать с литературой в процессе решения конкретной проблемы. Теоретический материал контролируется в течение семестра при сдаче задания путем собеседования без права пользования литературой и записями.

РАЗДЕЛ 1. Математические методы и модели исследования экономики

ТЕМА 1. Введение в математические методы исследования экономики

Контрольные вопросы по теме 1

1. Что понимается под исследованием операций?

2. Основная задача исследования операций.

3. Понятие математической модели.

4. Понятие критерия оптимальности в сфере принятия экономических решений.

5. Принципы построения математических моделей.

6. Классификация математических моделей.

Литература: 1, 2, 3.

Тема 2. МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА МНОГООТРАСЛЕВОЙ ЭКОНОМИКИ (балансовый анализ)

Примеры решения типовых задач

2.1.Задача межотраслевого баланса.

Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль, с одной стороны является производителем, а с другой – потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Возникает задача расчета связи между отраслями через выпуск и потребление продукции разного вида. Будем предполагать, что производственная сфера хозяйства представляет собой n отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Рассмотрим процесс производства за некоторый период (например, за год).

Обозначения:

- общий объем продукции i отрасли (ее валовый выпуск);

- объем продукции i отрасли, потребляемой j отраслью при производстве продукции объема .

- объем продукции i отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере (продукт конечного потребления).

В предположении линейности балансовые соотношения имеют вид:

i=1, 2 …n

Будем иметь в виду стоимостный баланс. Система уравнений соотношений баланса в матричной форме имеет вид

Х=АХ+У (1)

и называется уравнением линейного межотраслевого баланса.

Если X= - вектор валового выпуска, Y= - вектор конечного продукта, A= , где - коэффициенты прямых затрат, постоянные в течение некоторого периода, то Х=АХ+У носит название модели Леонтьева.

Уравнение (1) межотраслевого баланса используется:

а) для расчета вектора конечного потребления У при известном векторе валового выпуска Х;

б) при решении основной задачи межотраслевого баланса, состоящего в отыскании такого вектора валового выпуска Х, который при известной матрице А прямых затрат обеспечивает заданный вектор конечного потребления У (для целей планирования).

Для определенности рассмотрим три отрасли промышленности I, II, III, которые являются производителями и в то же время потребителями некоторой продукции. Взаимосвязи между ними определяет матрица А коэффициентов прямых затрат

А = ,

в которой , где - поток средств из i отрасли в j, а - валовый объем продукции j отрасли.

Задан вектор конечного потребления - Y= .

1. Убеждаемся, что матрица А является продуктивной. Далее составим систему уравнений межотраслевого баланса

(2)

2. Найдем объемы валового выпуска продукции. В матричной форме система (2) имеет вид (Е-А)Х=У, где

Е-А= .

Откуда Х=(Е-А) У.

Вычисляем матрицу коэффициентов полных затрат.

(Е-А) = · = .

Каждый элемент найденной матрицы – величина валового выпуска i-ой отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-ой отраслью.

Вычисляем вектор валового выпуска

X = .

3. Составим матрицу потоков средств производства ( ).

( )= .

4. Найдем объем валового выпуска продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить соответственно до 70, 50, 80.

X = = .

Для того, чтобы обеспечить заданное увеличение компонент вектора конечного продукта, необходимо увеличить соответствующие валовые выпуски: продукции первой отрасли на 21, 3%, второй – на 32, 7%, третьей – на 18, 3%.

Контрольные вопросы по теме 2

1. В чем состоит балансовый принцип связи различных отраслей промышленности?

2. Понятие коэффициента прямых затрат.

3. Уравнение межотраслевого баланса.

4. Продуктивная матрица. Критерии продуктивности.

5. Использование уравнения межотраслевого баланса для расчета вектора конечного потребления.

6. Использование уравнения Леонтьева для целей планирования. Постановка задачи.

Задание по теме 2

2.1 Определить, является ли матрица А продуктивной.

А = .

2.2. Рассмотрим три отрасли промышленности I, II, III, каждая из которых производит свой однородный продукт и для обеспечения производства нуждается в продукции других отраслей. Процесс производства рассматриваем за определенный период (например, за год). Взаимодействие отраслей определяется матрицей А прямых затрат.

А = .

Число , стоящие на пересечении i строки и j столбца равно , где - поток средств производства из i отрасли в j, а - валовый объем продукции j отрасли (все объемы продукции выражаются в единицах стоимости).

Задан вектор объемов продуктов конечного потребления

У = = .

1. Составить уравнение межотраслевого баланса.

2. Найти объемы валовой продукции каждой отрасли Х = . (Расчеты рекомендуется производить с точностью до двух знаков после запятой).

3. Составить матрицу потоков средств производства .

4. Найти матрицу коэффициентов полных затрат.

5.Найти объем валового выпуска продукции, если конечное потребление по отраслям увеличится на 60, 70, 30 соответственно.

Литература: 6, 18, 20.

РАЗДЕЛ 2. Детерминированные математические модели

Тема 3. МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Примеры решения типовых задач

3.1. Линейная производственная задача.

Предприятие может выпускать n видов продукции, используя m видов ресурсов. Пусть – расход i ресурса на единицу j продукции, – имеющееся количество i ресурса, – прибыль на единицу j продукции, – искомое количество единиц j продукции. Задача состоит в том, чтобы найти производственную программу

максимизирующую прибыль

(1)

при ограничениях по ресурсам

, i= 1, …m (2)

где по смыслу задачи

xj ³ 0 (3)

Исходные данные:

А = - матрица удельных затрат ресурсов, В = - вектор объемов ресурсов, С = (59, 27, 20, 35) - вектор удельной прибыли.

Математическая модель задачи:

найти производственную программу максимизирующую прибыль

(4)

при ограничениях по ресурсам

(5)

где (6)

Заменим неравенства системы (5) уравнениями при помощи дополнительных неотрицательных неизвестных Неизвестные имеют экономический смысл остатков ресурсов. Получаем каноническую задачу линейного программирования:

максимизировать линейную форму (4) при условиях:

(7)

где (8)

Решение задачи симплексным методом

Составим вспомогательную систему уравнений, для этого добавим соотношение (4) к системе (7):

(9)

где

Составим первую симплексную таблицу, то есть расширенную матрицу вспомогательной системы.

Затем преобразуем систему (9) (табл. 1) по формулам исключения.

Из (4) видно, что наиболее выгодно начинать производить продукцию первого вида, так как прибыль на единицу продукции здесь наибольшая. В системе (9) принимаем переменную за разрешающую и преобразовываем систему к другому предпочитаемому виду.

Составим отношение правых частей уравнений к соответствующим положительным коэффициентам при неизвестной и находим наименьшее = = , оно соответствует третьему уравнению. Следовательно, за разрешающее уравнение в системе (7) мы обязаны принять третье. Коэффициент = 4 будет разрешающим.

Применим формулы исключения и перейдем к новому предпочитаемому виду системы с соответствующим базисным допустимым решением. При этом неизвестная станет базисной. Исключим ее из всех уравнений, кроме третьего, и из целевой функции для того, чтобы исследовать новое допустимое базисное решение на оптимальность.

Табл. 1

Базис опорного плана	Н						Пояснения
						min (∆ j < 0) = - 59



Z0 – Z	0-Z	- 59	-27	-20	-35

табл. 2

Базис	Н	Пояснения

		min(∆ j < 0) =

	=47	Min =28
Z0 – Z	2773 -Z

Таблице 2 соответствует следующая система уравнений:

(10)

В системе (10) первые три уравнения представляют другой предпочитаемый эквивалент системы (7) и определяют базисное допустимое решение:

. (11)

Из последнего уравнения получаем выражение целевой функции через свободные неизвестные :

. (12)

В таблице 2 находим разрешающий элемент. Для этого выбираем за новую базисную неизвестную и новое разрешающее уравнение – второе.

Коэффициент = - разрешающий.

Преобразуем табл.2 (сист.10) используя метод исключения.

Табл. 3

Базис	Н	Пояснения

		Все ∆ j ≥ 0


Z0–Z	3340–Z

Система, соответствующая таблице 3

(13)

Целевая функция

Базисное решение

. (14)

В последней строке табл. 3 все относительные оценочные коэффициенты ∆ j ≥ 0, то есть выполняется критерий оптимальности для максимизируемой функции цели.

Производственная программа является оптимальной и обеспечивает предприятию возможную наибольшую прибыль Z max = 3340.

При этом второй и третий ресурсы будут использованы полностью , = 0, а первый ресурс будет иметь остаток = 6.

Обращенный базис Q^-1 = .

Проверим, что H = Q^-1 · B =

= .

3.2. Двойственная задача линейного программирования.

Найдем оценку единицы каждого вида ресурса.

Задача: найти вектор двойственных оценок , минимизирующий общую оценку всех ресурсов

(1)

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции

, (2) (2)

причем оценки ресурсов (3)

Решение задачи получим с помощью второй основной теоремы двойственности: для оптимальных решений и пары двойственных задач, необходимо и достаточно выполнения условий

Было найдено, что в решении исходной задачи и

Поэтому .

Учитывая, что первый ресурс был избыточным, согласно той же теореме двойственности, ее двойственная оценка равна нулю, то есть =0. Приходим к системе уравнений .

Решая систему, получаем, = 9; = 8.

Получили двойственные оценки ресурсов

= 0; = 9; = 8, (4)

причем общая оценка всех ресурсов равна 3340.

Решение (4) содержалось в последней строке таблицы 3 задачи 3.1.

Например, двойственная оценка ресурса = 8 показывает, что добавление одной единицы третьего ресурса обеспечит прирост прибыли в 8 единиц, а оценка третьей технологии ∆ ₃ = 4показывает, что если произвести одну единицу продукции третьего вида (она не входит в производственную оптимальную программу), то прибыль уменьшается на 4 единицы.

3.3. Задача о «расшивке узких мест производства».

При выполнении оптимальной производственной программы второй и третий ресурсы используются полностью, то есть образуют «узкие места производства». Будем заказывать их дополнительно. Используем найденные двойственные оценки ресурсов. Должно выполняться условие H + Q^-1 · T ≥ 0.

Задача: найти вектор Т = (0, t₂, t₃), максимизирующий суммарный прирост прибыли

W = 9·t₂ + 8·t₃, (1)

при условии сохранения двойственных оценок ресурсов

(и, следовательно, структуры производственной программы),

. (2)

и предполагая, что можно надеяться получить дополнительно не более 1/3 первоначального ресурса каждого вида

, (3)

причем t₂ ≥ 0, t₃ ≥ 0. (4)

Неравенства (2) и (3) перепишем в виде (5) и (6):

(2)

(5) (6)

Получим задачу линейного программирования:

максимизировать W = 9·t₂ + 8·t₃, (1)

при условиях

(5), (6),

t₂ ≥ 0, t₃ ≥ 0. (4)

Решим задачу графически

Программа «расшивки» имеет вид

и прирост прибыли составит .

Сводка результатов к задачам 3.1, 3.2, 3.3.

	b	t_i




∆ _j

Контрольные вопросы по теме 3

1. Общая и основная задача линейного программирования.

2. Примеры задач линейного программирования.

3. Геометрическое истолкование задач линейного программирования.

4. Решение задачи линейного программирования симплексным методом.

5. Экономическая интерпретация результатов.

6. Двойственная задача линейного программирования.

7.Экономическая интерпретация двойственной задачи.

8. Задача о «расшивке узких мест» производства.

9. Оптимизация плана «расшивки» с помощью двойственных оценок ресурсов.

Задание по теме 3

3.1. Составить математическую модель линейной производственной задачи с исходными данными:

А = - матрица удельных затрат, B = - вектор объемов ресурсов, С = (45, 33, 30, 42) - вектор удельной прибыли.

Производятся четыре вида продукции с использованием трех видов ресурсов.

3.2. Задачу 3.1 преобразовать к виду основной задачи линейного программирования. Решить задачу симплексным методом, найти оптимальную производственную программу, максимальную прибыль, остатки ресурсов различных видов.

Указать узкие места производства. В последней симплексной таблице указать обращенный базис Qˉ ¹, который соответствует оптимальному набору базисных неизвестных. Проверить выполнение равенстваH = Qˉ ¹ · B.

3.3. Поставить задачу двойственную к основной линейной производственной задаче. Найти ее решение, пользуясь второй основной теоремой двойственности. Указать:

1. оценку единицы каждого ресурса;

2. минимальную суммарную оценку всех ресурсов;

3. оценки технологий.

3.4. Составить математическую модель задачи о «расшивке узких мест производства».

1. Решить задачу в предположении, что от поставщиков можно получить не более одной четверти первоначально выделенного объема ресурса любого вида. Выбрать для решения графический метод, если задача зависит от двух переменных.

2. Найти план приобретения дополнительных объемов ресурсов.

3. Найти дополнительную возможную прибыль.

Литература: 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 15.

Тема 4. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.

Примеры решения типовых задач

4.1. Транспортная задача линейного программирования.

Однородный продукт, сосредоточенный в m пунктах производства в количествах единиц, необходимо распределить между n пунктами потребления, которым необходимы соответственно единиц. Стоимость перевозки единицы продукта из i пункта отправления в j пункт назначения равна c_ij и известна для всех маршрутов.

Необходимо составить план перевозок, при котором запросы всех пунктов потребления были бы удовлетворены за счет имеющихся продуктов в пунктах производства и общие транспортные расходы по доставке продуктов были минимальными.

Обозначим x_ij – количество груза, планируемого к перевозке от i поставщика к_j потребителю.

При наличии баланса производства и потребления

, (1)

математическая модель транспортной задачи может выглядеть так:

найти план перевозок X = , , , минимизирующий

общую стоимость всех перевозок

L = (2)

при условии, что из любого пункта производства вывозится весь продукт

= , (3)

и любому потребителю доставляется необходимое количество груза

= , , (4)

причем по смыслу задачи

(5)

При отсутствии баланса производства и потребления одну из систем уравнений (3) или (4) следует заменить системой неравенств. Например, если , то вместо (3) имеем < , и получается открытая модель транспортной задачи.