РАЗДЕЛ 4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Тема 10. МОДЕЛИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Примеры решения типовых задач

10.1. При анализе случайных процессов с дискретными состояниями часто пользуются графической моделью. Построим граф следующего случайного процесса. Зал для продажи железнодорожных билетов оборудован двумя кассами, работающими независимо. Любая из касс в случайные моменты времени может выйти из строя, после чего начинается мгновенный ремонт, продолжающийся заранее неизвестное случайное время.

Возможные состояния системы из двух касс: S₀ – обе кассы исправны; S₁ – первая касса ремонтируется, вторая исправна; S₂ – вторая касса ремонтируется, первая исправна; S₃ –обе кассы находятся в ремонте. Построим граф состояний этого случайного процесса.

Стрелка, направленная из S₀ в S₁, означает переход системы в момент отказа первой кассы, из S₁ в S₀ – переход в момент окончания ремонта этой кассы.

На графе нет стрелок из S₀ в S₃ и из S₁ в S₂ и наоборот, так как предполагалась независимость друг от друга выходов касс из строя.

Поэтому, например, вероятностью выхода из строя двух касс одновременно или вероятностью одновременного окончания ремонта двух касс можно пренебречь.

10.2. Вычислим финальные (предельные) вероятности для системы задачи 10.1.

Вероятностью i–го состояния называется вероятность р_i(t) того, что система в момент t будет находиться в i состоянии.

Вероятности системы р_i(t) в предельном стационарном режиме, то есть при t→ ∞, называются финальными (предельными) вероятностями состояний.

Система алгебраических уравнений для нахождения предельных вероятностей стационарного режима для рассматриваемой системы из 10.1. имеет вид:

Последнее уравнение в системе означает, что для любого момента времени t сумма вероятности всех состояний равна единице.

При составлении системы воспользовались правилом: справа в уравнениях стоит предельная вероятность данного состояния р_i, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а слева – сумма произведений интенсивностей всех потоков входящих в i состояние, умноженная на вероятность тех состояний, из которых эти потоки исходят.

Решение системы:

р₀= р₁= р₂=

р₃= .

Это означает, что в предельном стационарном режиме система S в среднем 34% времени будет находиться в состоянии S₀ (обе кассы работают), 23% времени - в состоянии S₁ (первая касса ремонтируется, вторая работает), 26% времени – в состоянии S₂ (вторая касса ремонтируется, первая работает) и 17% времени – в состоянии S₃ (обе кассы ремонтируются).

10.3. Найдем средний чистый доход от эксплуатации касс, если известно, что в единицу времени исправная работа касс приносит доход соответственно в 20 и 10 ден.ед., а их ремонт требует 8 и 4 ден.ед. В среднем первая железнодорожная касса исправно работает долю времени равную р₀ + р₂ = ; вторая касса - р₀ + р₁ = .

Первая касса находится в ремонте в среднем долю времени равную р₁ + р₃ = , вторая – р₂ + р₃= .

Средний чистый доход в единицу времени от эксплуатации касс:

D = ден.ед.

10.4. Оценим экономическую эффективность имеющейся возможности уменьшения втрое среднего времени ремонта каждого из аппаратов, если при этом потребуется втрое увеличить затраты на ремонт каждого кассового аппарата.

Уменьшение втрое среднего времени ремонта каждого из узлов означает увеличение втрое интенсивностей потока «окончаний ремонта» каждой кассы.

Предполагалось, что все переходы системы из состояний S_i в S_j происходят под действием простейших потоков событий с интенсивностями . Например, переход системы из состояния S₀ в S₁ будет происходить под воздействием потока отказов первой кассы, а обратный переход из состояния S₁ в S₀ - под воздействием потока «окончаний ремонтов» первого аппарата. Интервал времени между двумя соседними произвольными событиями простейшего потока имеет показательное распределение с плотностью с математическим ожиданием , где - интенсивность потока.

Следовательно, ₁₀ = 9, ₂₀ = 12, ₃₁ = 12, ₃₂ = 9, и система линейных алгебраических уравнений для предельных вероятностей стационарного режима системы имеет вид:

Решение системы:

р₀ р₁ , р₂ , р₃ .

В этом случае система обслуживания пассажиров в среднем 65% времени будет находиться в состоянии, когда работают обе кассы.

Учитывая, что р₀ + р₂ р₀ + р₁ р₁ + р₃ р₂ + р₃ а затраты на ремонт первой и второй кассы составляют в условиях последней задачи 24 и 16 ден.ед. соответственно, средний чистый доход составит:

D₁ = ден. ед.

Так как D₁ > D (примерно на 45%), то экономическая целесообразность ускорения ремонтов железнодорожных касс очевидна.

10.5. Одноканальная СМО с отказами.

Известно, что на прием к врачу специалисту в среднем приходят 24 человека (рабочий день 8 час.). На осмотр врач тратит в среднем 0, 5 часа. Потоки больных и обслуживаний – простейшие. Если врач занят, то пациент уходит. Определить вероятности состояний и характеристики обслуживания пациентов в поликлинике.

Решение. СМО имеет два состояния:

S₀ - врач свободен, S₁ - врач занят.

Интенсивность потока больных .

Интенсивность потока обслуживания пациентов

Предельные вероятности р₀ ,

р₁ выражают среднее относительное время пребывания системы в состояниях S₀ (врач свободен) и S₂ (врач занят).

Предельные вероятности определяют соответственно - относительную пропускную способность системы,

Ротк. - вероятность отказа. В среднем 40% желающих будет принято врачом, 60% - отказано.

Абсолютная пропускная способность СМО , то есть будут в среднем обслужены 1, 2 заявки в час. Очевидно, что один врач плохо справляется с потоком пациентов.

10.6. Многоканальная СМО с отказами.

В условиях задачи 10.5. определим оптимальное число врачей одной специальности в поликлинике при условии, что относительная пропускная способность пункта осмотра будет не менее 0, 85.

Для решения воспользуемся формулами Эрланга для предельных вероятностей многоканальной системы массового обслуживания с отказами:

р₀ (1)

р₁= р₀, р₂= р₀, …, р_k= р₀, …, р_n= р₀, (2)

где - приведенная интенсивность потока заявок (или интенсивность нагрузки канала).

Определим интенсивность нагрузки врача , то есть за время ч. поступает 1, 5 заявок на обслуживание.

Увеличиваем число каналов обслуживания (врачей)

n=2; р₀=

n=3; ;

Результаты расчетов для наглядности можно свести в таблицу.

Характеристика обслуживания	Число каналов (врачей)

Относительная пропускная способность	0, 40	0, 69	0, 87
Абсолютная пропуская способность	1, 2	2, 1	2, 61

Для того чтобы обслуживание посетителей было оптимальным (условие оптимальности Q≥ 0, 85), прием должны вести три врача. При этом за час они будут принимать почти трех посетителей. Среднее число занятых каналов

Контрольные вопросы по теме 10

1. Основные понятия. Классификация систем массового обслуживания.

2. Понятие марковского случайного процесса.

3. Потоки событий. Простейший поток событий.

4. Предельные вероятности состояний.

5. Одноканальная система массового обслуживания с отказами. Показатели эффективности системы массового обслуживания с отказами (абсолютная пропускная способность, относительная пропускная способность, вероятность отказа, среднее число занятых каналов).

6. Многоканальные системы с отказами. Формулы Эрланга.

7. Системы массового обслуживания с ожиданием. Показатели эффективности систем массового обслуживания с ожиданием.

Задание по теме 10

10.1. В лаборатории имеются два, независимо работающих проектора. В случайные моменты времени любой из проекторов может выйти из строя. Испорченный проектор сразу ремонтируется (или заменяется). Эта процедура может продолжаться заранее неизвестное время. Интенсивность выхода из строя первого проектора равна , второго , интенсивности возвращения проекторов в строй для первого и второго проекторов равна , соответственно. Поток событий считать простейшим.

1. Построить граф состояний системы (вероятностью одновременного выхода из строя проекторов пренебречь).

2. Вычислить предельные вероятности состояний.

3. Найти часть среднего чистого дохода лаборатории, зависящего только от работы проекторов, если известно, что в единицу времени исправная работа первого проектора приносит доход в 10 ден.ед., второго проектора – в 5 ден.ед., а их ремонт (или замена) обходится в 4 и 2 ден.ед.

4. Оценить экономическую эффективность уменьшения вдвое среднего времени ремонта, если при этом вдвое увеличатся затраты на ремонт.

10.2. Рассматривается круглосуточная работа пункта проведения профилактического осмотра автомашин с одним каналом (одной группой проведения осмотра). На осмотр и выявление дефектов каждой машины затрачивается в среднем часа. На осмотр поступает в среднем машин в сутки. Потоки заявок и обслуживаний – простейшие. Если машина, прибывшая в пункт осмотра, не застает его свободным, она его покидает необслуженной.

1. Определить вероятности состояний и характеристики обслуживания профилактического пункта осмотра.

2. Решить задачу для случая канала (групп проведения осмотра).

3. Найти число каналов, при котором оптимальным будет обслуживание пунктом осмотра из каждых 100 машин не менее 90.

Литература: 1, 2, 4, 5.

Тема 11. ИМИТАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

Примеры решения типовых задач

11.1. Статистическое моделирование СМО. Метод Монте-Карло.

В одноканальную систему массового обслуживания с отказами поступает пуассоновский поток заявок. Время между моментами поступления двух последовательных заявок распределено по закону время обслуживания заявок случайное и распределено по закону . Найти за время Т = 30 мин.:

1. Среднее число обслуженных заявок;

2. Среднее время обслуживания одной заявки;

3. Вероятность обслуживания;

4. Вероятность отказа.

Произвести шесть испытаний.

Решение.

При решении задачи используются возможные значения x_i случайной величины Х с плотностью вероятностей .

Для того, чтобы разыграть возможное значение x_i надо выбрать случайное число d_i и решить уравнение .\ относительно x_i. Решение дает явную формулу .

Проведем первое испытание. Так как время между моментами поступления двух последовательных заявок распределено по закону то значение разыгрываем по формуле

Случайные числа берем из таблицы приложения, начиная с первой строки снизу.

Время обслуживания заявок распределено по закону , поэтому значения разыгрываем по формуле

Случайные числа берем из той же таблицы c первой строки сверху.

Пусть время поступления первой заявки. По случайному числу разыгрываем длительность времени обслуживания первой заявки (в мин.) .

Момент окончания обслуживания первой заявки . В счетчик обслуженных заявок записываем единицу.

По случайному числу разыгрываем время (в мин.) между моментами поступления первой и второй заявок .

Первая заявка поступила в момент . Следовательно, вторая заявка поступит в момент . В этот момент канал обслуживания занят обслуживанием первой заявки (0, 46< 1, 54), поэтому вторая заявка получит отказ. В счетчик отказов записываем единицу.

По очередному случайному числу время между моментами поступления второй и третьей заявок:

Вторая заявка поступила в момент . Следовательно, третья заявка поступает в момент . В этот момент канал уже свободен (3, 78> 1, 54), поэтому он обслужит третью заявку. В счетчик обслуженных заявок добавляем единицу.

Результаты расчетов записываем в таблицы 1 и 2. Испытание заканчивают, когда момент поступления заявки .

Например, из таблицы 1 видно, что 23-ая заявка поступила в момент поэтому эту заявку исключаем.

Таблица 1

Номер заявки i	Случайное число		Время между двумя последовательными заявками	Момент поступления заявки

	0, 69	0, 37	0, 46	0, 46
	0, 07	2, 66	3, 32	3, 78
	0, 49	0, 71	0, 89	4, 67
	0, 41	0, 89	1, 11	5, 78
	0, 38	0, 97	1, 21	6, 99
	0, 87	0, 14	0, 18	7, 17
	0, 63	0, 46	0, 58	7, 75
	0, 79	0, 24	0, 30	8, 05
	0, 19	1, 66	2, 08	10, 13
	0, 76	0, 27	0, 34	10, 47
	0, 35	1, 05	1, 31	11, 78
	0, 58	0, 54	0, 68	12, 46
	0, 40	0, 92	1, 15	13, 61
	0, 44	0, 82	1, 02	14, 63
	0, 01	4, 60	5, 75	20, 38
	0, 10	2, 30	2, 88	23, 26
	0, 51	0, 67	0, 84	24, 10
	0, 82	0, 20	0, 25	24, 35
	0, 16	1, 83	2, 29	26, 64
	0, 15	1, 90	2, 38	29, 04
	0, 48	0, 73	0, 91	29, 93
	0, 32	1, 14	1, 42	31, 35

Таблица 2
№ заявки i	Случайное число		Длительность обслуживания заявки t	Момент	Счетчик
				поступление заявки	начало обслужи вания	Оконча ние обслужи вания	обслужен ных заявок	отказов
	0, 10	2, 30	1, 54			1, 54
				0, 46
	0, 09	2, 41	1, 61	3, 78	3, 78	5, 39
				4, 67
	0, 73	0, 32	0, 21	5, 78	5, 78	5, 99
	0, 25	1, 39	0, 93	6, 99	6, 99	7, 92
				7, 17
				7, 75
	0, 33	1, 11	0, 74	8, 05	8, 05	8, 79
	0, 76	0, 27	0, 18	10, 13	10, 13	10, 31
	0, 52	0, 65	0, 44	10, 47	10, 47	10, 91
	0, 01	4, 60	3, 08	11, 78	11, 78	14, 86
				12, 46
				13, 61
				14, 63
	0, 35	1, 05	0, 70	20, 38	20, 38	21, 08
	0, 86	0, 15	0, 10	23, 26	23, 26	23, 36
	0, 34	1, 08	0, 72	24, 10	24, 10	24, 82
				24, 35
	0, 67	0, 40	0, 27	26, 64	26, 64	26, 91
	0, 35	1, 05	0, 70	29, 02	29, 02	29, 72
	0, 48	0, 75	0, 49	29, 93	30, 42
∑			11, 71

Первое испытание закончено.

Аналогично проводятся и остальные испытания. Проведем еще 5 испытаний и результаты запишем в таблицу 3.

Таблица 3

Номер испытания j	Поступило заявок	Обслуже-но заявок	Длительность обслуживания	Среднее время обслуживания	Вероятность обслуживания	Вероятность отказа
			11, 71	0, 90	0, 591	0, 409
			8, 80	0, 52	0, 680	0, 320
			13, 46	0, 84	0, 667	0, 333
			12, 19	0, 81	0, 682	0, 318
			11, 99	0, 92	0, 650	0, 350
			9, 57	0, 50	0, 704	0, 296
Σ				4, 49	3, 974

Используя результаты последней таблицы находим:

1. Среднее число обслуженных заявок за 30 мин. .

2. Среднее время обслуживания одной заявки. .

3. Вероятность обслуживания. .

4. Вероятность отказа. .

Таким образом, примерно 66% заявок будут обслужены, а 34% получат отказ.

Контрольные вопросы по теме 11

1. Что такое имитационное моделирование?

2. Основные этапы метода имитационного моделирования.

3. Идея метода Монте-Карло.

Задание по теме 11

11.1. В одноканальную систему массового обслуживания с отказами поступает пуассоновский поток заявок. Время между моментами поступления двух последовательных заявок распределено по закону , время обслуживания случайное и распределено по закону . Найти методом Монте-Карло за время Т = 20 мин:

1. Среднее число обслуженных заявок.

2. Среднее время обслуживания одной заявки.

3. Вероятность обслуживания.

4. Вероятность отказа.

Произвести шесть испытаний. Для определенности брать случайные числа с двумя десятичными знаками после запятой из таблицы приложения при разыгрывании , начиная с строки снизу, а при разыгрывании – начиная с строки сверху.

Литература: 2, 7, 9, 14.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 Следующая ⇒