Абсолютная и относительная погрешности

Абсолютной погрешностью приближенного числа a* называют величину D(a*), для которой справедливо неравенство:

½ A – a* ½ ≤ D(a*).

Таким образом, информация о том, что a* является приближенным значением числа А с абсолютной погрешностью D(a*), записывается в виде:

a* - D(a*) ≤ A ≤ a* + D(a*).

Часто показателем точности результата измерений является другая величина, которая называется относительной погрешностью:

= d (a*).

В терминах относительной погрешности А имеем соотношение

a* (1- d ) ≤ A ≤ a* (1+ d ).

Значащие цифры и число верных знаков

Известно, что любое положительное число A может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби

A = a_m 10^m + a_m-1 10^m-1 + … + a_m-n+1 10^m-n+1 + …,

где a_i – цифры числа A, причем старшая цифра a_m≠ 0, а m – некоторое целое число (старший десятичный разряд). Например:

3141, 59…= 3∙ 10³ +1∙ 10² +4 10¹ +1∙ 10⁰+ 5∙ 10^-1+9∙ 10^-2+…

На практике преимущественно приходится иметь дело с приближенными числами, представляющими собой конечные десятичные дроби. Значащими цифрами числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева. Например, в числе 0, 002080 первые три нуля не являются значащими цифрами, остальные четыре цифры, включая два нуля, будут значащими. В числе 0, 00208 значащими цифрами будут три последних цифры.

Значащую цифру приближенного числа называют верной, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре. Например, для точного числа A=412, 3567 число a*=412, 356 является приближением с шестью верными знаками, так как D(a*)=0, 0007< 1∙ 10^-3.

Таким образом, точность приближенного числа зависит не от количества значащих цифр, а от количества верных значащих цифр. Не всегда верные цифры в приближенном числе будут совпадать с соответствующими цифрами точного числа. Например, приближенное число a*= 9, 995, заменяющее точное A=10, имеет три верных знака, причем все цифры этих чисел различны.

Погрешности арифметических действий

Кроме погрешности исходных данных на погрешность результата влияют также и погрешности выполнения арифметических действий.

Обозначим x₁*, x₂*, …, x_n*- приближенные числа. Для них справедливы следующие формулы:

1. Для суммы или разности:

D(g₁ x₁* +…+ g_n x_n*) = , g_i = const,

d (g₁ x₁* +…+ g_n x_n*) ≈ max (d (x₁*), …, d (x_n*)).

2. Для произведения:

D( x₁* x₂*… x_n*)≈ | x₁* x₂* … x_n| ,

d ( x₁* x₂*… x_n*)≈ .

3. Для частного:

D( ) ≈ ,

d ( ) ≈ (d(x*)+ d(y*)) .

4. Для степени:

D((x*)^m) ≈ m ,

d ((x*)^m) ≈ m d (x*).

Погрешность вычисления функции

Основная задача теории погрешности заключается в следующем: с какой точностью можно найти значение функции y=f(x₁*, x₂*, …, x_n*), если аргументы x_i* известны с некоторой точностью. И обратная задача: с какой точностью надо задать значения аргументов функции, чтобы погрешность функции не превосходила заданной величины? Решение таких задач опираются на теорему Лагранжа, согласно которой предельная абсолютная погрешность функции равна произведению абсолютной величины ее производной на предельную абсолютную погрешность аргумента D(f^*)=|f ^’|D(x^*). Если задана дифференцируемая функция y= f(x₁, x₂, …, x_n) и ее приближенное значение y*= f(x₁*, x₂*, …, x_n*), где x_i - точныезначения аргументов функции, а x_i* – приближенные к ним, и пусть D(x_i*) (i=1, 2, …, n) абсолютные погрешности аргументов функции.

Определение. Предельной абсолютной погрешностью функции А(y*) называют наилучшую при имеющейся информации оценку погрешности величины y*= f(x₁*+D(x₁*), x₂+D(x₂*), …, x_n+D(x_n*)),

т. е. А(y*)=sup| f(x₁, x₂, …, x_n)- f(x₁*, x₂*, …, x_n*)|.

Линейная оценка погрешности функции записывается в виде:

.

Разделив обе части неравенства на y*, будем иметь оценку для предельной относительной погрешности функции d (y*):

=d(y*).

Задания

1. Определить:

a) предельную абсолютную погрешность по известным точным x и приближенным x* числам;

б) предельную относительную погрешность по известным точным x, приближенным x* числам или абсолютной погрешности D(x*).

2. Определить верные и значащие цифры числа по известному приближенному числу x* и его абсолютной погрешности D(x*).

3. Найти предельную абсолютную и относительную погрешности в приведенных двух функциях по заданным приближенным числам и их абсолютным погрешностям.

Варианты

№ 1

1. a) x= , x*= 6, 63;

б) x*= 21°37'; D(x*)=2" .

2. x*=0, 23845; D(x*)=0, 0001.

3. a) X= , a*= 3, 456; D(a*)= 0, 002; b* =0, 642; D(b*)=0, 0005; c*=7, 12; D(c*)= 0, 02;

б) y= , =2, 712± 0, 003; =0, 0256± 0, 005.

№ 2

1. а) x=7/15, x*=0, 467;

б) x*=22, 553, D(x*)= 0, 016.

2. x*=12, 3680, D(x*)=0, 00007.

3.а) , a*=23, 16, D(a*)=0, 02; b*=8, 230, D(b*)=0, 005;

c* = 145, 226, D(c*)=0, 08; d*=28, 6, D(d*)= 0, 1; m*=0, 25, D(m*)=0, 06;

б) y=x₁ sin(x₁) tg(x₂), =0, 256± 0, 005; =1, 238± 0, 001.

№ 3

1. a) x= , x*=5, 48;

б) x*=6, 4257, D(x*)=0, 0024.

2. x*=100, 588000, D(x*)=0, 000008.

3. a)V= , a*=8, 51, D(a*)=0, 002; A*=23, 42, D(A*)=0, 01; S*=45, 80, D(S*)=0, 02; h*=3, 81, D(h*)= 0, 08;

б) y= x₁ sin(x₁x₂)+x₂ cos(x₂x₃), =π /2, 5± 0, 02; =π /6 ± 0, 006; =π /3, 68±0, 0007.

 

№ 4

1. а) x= , x*=3, 24;

б) x*=12, 36858, x= 12, 36867.

2. x*=365, 002300, D(x*)=0, 01.

3. a) , =27, 16± 0, 02; =5, 03± 0, 01; =3, 6± 0, 2; =12, 375± 0, 004; =86, 20± 0, 05;

б) y= , =10, 252 ± 0, 002; =12, 365± 0, 009; =0, 956±0, 02.

№ 5

1. а) x= , x*=3, 1622;

б) x*=0, 36500, D(x*)=0, 00005.

2. x*=100, 87502, D(x*)=0, 00001.

3. a) X= , =0, 643, D( )=0, 005; =2, 17, D( )=0, 02, =5, 843, D( )=0, 008;

б) y=1, 2 x₁² cos (x₂)+ 8, 68 x₂³ +sin²(x₁ x₃), =1, 048± 0, 001; =36, 0687±0, 0005; =π /3± 0, 0006.

№ 6

1. а) x= , x*= 1, 77245;

б) x*=17, 8974, D(x*)= 0, 001.

2. x*= 2, 718218, D(x*)=0, 00001.

3. a) S= , a*=21, 1, D(a*)= 0, 2, b*=31, 112,

D(b*)= 0, 005; h*=22, 08, D(h*)= 0, 03;

б) y= +sin (x₁ x₂ x₃), =12, 361± 0, 005; = -0, 936± 0, 009; =8, 7361±0, 003.

№ 7

1. а) x=6/7, x*=0, 85716;

б) x*= 189, 0026, D(x*)= 0, 0007.

2. x*= 0, 0036001, D(x*)= 0, 000001.

3. a) : , =0, 3575± 0, 0002, =2, 63± 0, 01,

=0, 854± 0, 005;

б) y= sin (x₁ x₂ sin (x₂)), =5, 36± 0, 02; =0, 056± 0, 003.

№ 8

1. а) x= 2/21, x*= 0, 095;

б) x*= 2, 13654321, x= 2, 13654231.

2. x*= 10, 009000, D(x*)= 0, 000001.

3. a) V = p h(3a²+h²), a*=2, 456, D(a*)=0, 003; h*=1, 768, D(h*)=0, 008

б) y=a₁ sin² (a₂ ) cos (a₁+a₃), =12, 365± 0, 001; =365, 12± 0, 09; =0, 0012365± 0, 00001.

№ 9

1. а) x= , x*= 2, 19;

б) x*= 1928, 192635, D(x*)= 0, 00001.

2. x*= 389, 2300100, D(x*)= 0, 0001.

3. a) Y = , =16, 342± 0, 001, =2, 53±0, 03, =38, 176± 0, 002, =9, 14± 0, 02, =3, 61± 0, 04;

б) y=sin , =0, 983± 0, 005, = -12, 381± 0, 009, =13, 936±0, 001.

№ 10

1. а) x=12/11, x*= 1, 091;

б) x*= 0, 000000935, D(x*)= 10 ^-10.

2. x*= 0, 00230003500, D(x*)= 10 ^-13.

3. a) V = , p*=3, 149, D(p*)= 10 ^–3, D*= 54, 9, D(D*)= 10 ^–1, d*=8, 235, D(d*)=10 ^-2;

б) y= , =25, 3687± 10 ^–4, = 0, 000635± 10 ^–6,

=0, 0000054± 10 ^-7.

№ 11

1. а) x= , x*= 4, 69;

б) x*= 2, 3745 10 ^-4, D(x*)= 10 ^-7.

2. x*= 1000, 00300800, D(x*)= 10 ^-5.

3. a) S = , p*=3, 15, D(p*)= 0, 01, D*= 36, 55,

D(D*)= 0, 08, d*=26, 35, D(d*)=0, 02;

б) y= sin ( x₁+x₃)+sin² x₂+x₁ x₂ sin³ x₃; = π /8± 2 10 ^–4,

= π /16± 8 10 ^–5, = π /32± 3, 5 10 ^-4.

№ 12

1. а) x=π /15, x*= 0, 20943;

б) x*= 13, 163845, D(x*)= 2, 5 10 ^-4.

2. x*= 0, 0123691500, D(x*)=10 ^-9.

3. a) , c*= 2, 435, D(c*)=0, 1; b*=0, 15, D(b*)=0, 03, g*=1, 275, D(g*)=0, 008;

б) y= cos (x₁+0, 5 x₂) - x₁ x₂ , = π /3, 5± 0, 0003,

=0, 638± 0, 001, =11, 23±0, 09.

№ 13

1. а) x= , x*= 4, 4816;

б) x*= 225, 86345, D(x*)= 3, 6 ^.10 ^-4.

2. x*= 13, 05060700, D(x*)= 3, 8 ^.10 ^-6.

3. a) , m*= 1, 6531, D(m*)= 0, 0003,

n*=3, 78, D(n*)=0, 01, c*=0, 156, D(c*)= 0, 08;

б) , = 1, 32± 0, 03,

= 0, 0325± 0, 001, = 5, 3649± 0, 0004.

№ 14

1. а) x=65/23, x*= 2, 8260;

б) x*= 102645, 02, x= 102645.

2. x*= 0, 003600, D(x*)=0, 000001.

3. a) X = , a*=3, 85, D(a*)=0, 01, b*=2, 0435,

D(b*)=0, 0004, c*=962, 6, D(c*)=0, 1;

б) y= , =2, 4368± 0, 0002,

=0, 023± 0, 002, = - 0, 356± 0, 0035, =265, 00365± 0, 00008.

№ 15

1. а) x= 17/13, x*= 1, 30769;

б) x*= 1, 564379, D(x*)= 3, 8 10 ^-6.

2. x*= 20, 6973000, D(x*)= 3, 8 10 ^-6.

3. a) Y = , =0, 25± 0, 02; =3, 68± 0, 08, =0, 026± 0, 009, =12, 1± 0, 9, =165, 36584± 0, 00007;

б) y=cos (x₁ cos (x₂ cos x₃)), =π /3± 10 ^–3, =2 π /8± 10 ^–6,
= ± 0, 002.

Тема 2. Интерполирование

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. А.Е.М. – весовая характеристика элемента – относительная величина количества энергии, наполняющий элемент, отличающая его от среды нахождения.
2. АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ИСТИНА,
3. Абсолютная монархия в России
4. Абсолютная рента: ее источник.
5. Абсолютная чувствительность сенсорной системы
6. Вопрос 30. Абсолютная и относительная адресация ячеек и блоков. Ссылки на другие ячейки.
7. Истина относительная и абсолютная
8. НАСЫЩЕННОСТЬ, ЭФФЕКТИВНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ
9. Определение надежности и погрешности результатов
10. Определение оптимальной длины кодовой комбинации, при которой обеспечивается наибольшая относительная пропускная способность
11. Определение погрешности измерения ширины «b» испытуемого образца