Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Симметричные и антисимметричные тензоры.
Определение. Тензор 2-го ранга называется симметричным, если он совпадает с транспонированным тензором . В координатах это запишется так: , или (77) Определение. Тензор 2-го ранга называется антисимметричным, если , или (78) Докажем, что свойства симметричности и антисимметричности не зависят от системы координат. Для симметричного тензора это означает, что если в одной системе координат справедливо (77), то оно остается справедливым и в любой другой системе. Имеем при переходе к новой системе: (79) Свойство антисимметричности (78) также инвариантно относительно преобразования системы координат: (80) Матрица симметричного тензора в любой системе координат симметрична, т.е. элементы ее, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны друг другу: . Матрица антисимметричного тензора в любой системе координат антисимметрична, т.е. элементы ее, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Элементы же, стоящие на главной диагонали, равны нулю, поскольку, например, , а это может быть только, если . Аналогично и для остальных диагональных элементов. Матрица антисимметричного тензора, таким образом, имеет вид: В силу всего сказанного симметричный тензор определяется не девятью, а шестью компонентами , а антисимметричный тензор – тремя компонентами . Рассмотрим тождество: (81) Первый член в правой части является симметричным тензором, а второй – антисимметричным (докажите это самостоятельно). Следовательно, любой тензор 2-го ранга можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Это разложение единственно. В бескоординатной записи равенство (81) принимает вид: (82) Симметричная часть тензора обозначается через , антисимметричная – через , т.е. , (83) и (84) Задачи. Задача 8. Как преобразуются компоненты тензора 2-го ранга, если система координат подвергается преобразованию, описанному в задаче 1 параграфа 8? Решение. Исходим из формулы (70): (85) Матрица преобразования системы координат определена в (52). Имеем: , , , , , , , , . На этом примере, в частности, легко убедиться, что свойство симметричности и антисимметричности присуще самому тензору и не зависит от системы координат. Задача 9. Найти компоненты симметричного тензора в системе координат, получающейся с помощью преобразования, описанного в задаче 2 параграфа 8. Решение. По формуле (85), используя матрицу преобразования (53) и симметричного тензора, получаем: (86) В частности, если в старой системе координат матрица тензора была диагональной , (87) то в новой системе: (88) Эти формулы обычно записывают в таком виде: (89) Матрица тензора в новой системе координат будет иметь вид: (90) Из (88)-(90) видно, что компонента тензора при вращении системы координат вокруг оси остается неизменной. Формулы (89), (90) нам встретятся еще в дальнейшем. Задача 10. Необходимо повернуть тензор: вокруг оси так, чтобы компонента 22 стала равной нулю. Найти два возможных угла поворота, меньших 90 градусов. Решение. Из (86) находим, что компонента 22 преобразуется по формуле: . Поскольку должно быть равно нулю, то, подставляя , получаем уравнение: или . Решая его, получим: , . Отсюда , . Следовательно, необходимый поворот системы координат можно осуществить двумя способами: повернуть вокруг оси в положительном направлении на угол (рис. 8а) или в отрицательном направлении на угол (рисунок 8б).
Задача 11. Тензор электропроводности некоторого кристалла имеет следующие компоненты в системе (91) Определить значение компонент тензора в системе координат, полученной с помощью преобразования, описанного в задаче 1 § 8. Решение. Исходим из формулы (85) и матрицы преобразования (52): , , ,
Подставляя значения «старых» компонент тензора из матрицы (91), получим в новой системе: . Задача 12. Доказать, что тензоры и симметричен и антисимметричен соответственно. Решение. Тензор – симметричная часть тензора определяется первой формулой в (83). Переставив в ней индексы и , получим: (83) Тензор – антисимметричная часть тензора – определяется второй формулой в (83). Переставляя в ней индексы и , получим . Популярное: |
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-10; Просмотров: 3405; Нарушение авторского права страницы