Равновесие деформируемого тела.

Рис. 3

Теоретическая механика занимается исследованием систем дискретных материальных точек, механика же сплошной среды рассматривает равновесие и движение газов, жидкостей и твердых тел, масса которых считается распределенной непрерывно. Вместе с массой непрерывно распределены по объему тела и силы, обусловленные наличием массы, например, сила тяжести. Кроме таких пространственно-распределенных сил в сплошной среде действуют также поверхностно распределенные силы.

В недеформированном теле все его части находятся в механическом равновесии. Это значит, что если выделить внутри тела какой-нибудь объем, то равнодействующая всех сил, действующих на этот объем со стороны других частей, равна нулю. При деформировании же тело выводится из состояния равновесия, в котором оно находилось первоначально. В нем возникают силы, стремящиеся вернуть тело в состояние равновесия. Эти возникающие при деформации внутренние силы называются внутренними напряжениями. Если тело не деформировано, то внутренние напряжения в нем отсутствуют. Внутренние напряжения обуславливаются силами взаимодействия молекул тела друг с другом. Молекулярные силы обладают очень незначительным радиусом действия. Их влияние простирается вокруг создающей их частицы лишь на расстояниях порядка межмолекулярных. Поэтому силы, обуславливающие внутренние напряжения, являются силами «близкодействующими», передающимися от каждой точки только к ближайшим с нею точкам. Отсюда следует, что силы, действующие на какую-то часть тела со стороны окружающих ее частей, действуют только непосредственно через поверхность этой части.

Проведем мысленно через точку сплошной среды, например, упругого твердого тела, малую плоскую площадку величиной и восставим к одной из двух ее сторон нормальный единичный вектор (рис 3).

Часть тела, расположенную от площадки в направлении нормали назовем внешней, а часть, расположенную по другую сторону площадки – внутренней. На внутреннюю часть со стороны внешней через площадку действует сила . Если эту силу разделить на площадь площадки, то получится среднее напряжение : (9)

Рис.4

на площадке, проходящей через точку

с нормалью

. Переходя к пределу при стягивании площадки к точке

, получим истинное напряжение в точке

на элементарной площадке с номалью

(10)

Меняя направление нормали

, т.е. поворачивая площадку, получим различные значения вектора напряженности

в одной и той же точке

. Таким образом, напряженное состояние в точке

тела не может быть описано одним вектором. Но оказывается, что достаточно знать векторы напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через точку

, и тогда можно найти напряжение в точке

на площадке любой ориентации, проходящей через точку

. Докажем это. Обозначим через

векторы напряжения в точке

на элементарных площадках, нормали к которым совпадают по направлению с осями координат

. Рассмотрим малый элементарный тетраэдр, три ребра которого параллельны осям координат (рис 4).

Пусть грань имеет площадь и внешнюю нормаль . Тогда площади граней , и можно записать в виде:

, , .

Внешние нормали к этим граням направлены по отрицательным направлениям координатных осей. Напряжение на площадке , соответствующее внешней нормали , обозначим , а сила, действующая на этой площадке, будет равна . Напряжение на площадке с нормалью, совпадающей по направлению с осью , обозначим , тогда напряжение на той же грани, но с нормалью, противоположно направленной, по третьему закону Ньютона будет равно , а сила . Аналогично, сила на площадке c нормалью, противоположной оси , будет равна , а сила на площадке с нормалью, противоположной , будет равна . Составим уравнение движения, пользуясь вторым законом Ньютона:

(11)

Здесь – высота тетраэдра, если за основание взять грань , – плотность массы, – объемная сила, приходящаяся на единицу массы (например, сила тяжести), – скорость движения тетраэдра, – ускорение; – объем тетраэдра. Разделим равенство (11) на и перейдем к пределу, стягивая тетраэдр в точку ( ). При этом учтем, что ускорение и объемная сила остаются ограниченными. В итоге получим равенство:

(12)

Так определяется вектор напряжения на площадке с произвольной ориентацией через напряжения на площадках, нормали к которым совпадают по направлению с осями координат. Компоненты вектора обозначим через . Аналогично для векторов и : , .

Расположим все эти компоненты в виде матрицы:

(13)

Таким образом, чтобы определить напряженное состояние в некоторой точке, нужно знать девять элементов матрицы (13). Элементы матрицы (13) имеют простой механический смысл. Так как вектор с компонентами представляет собой напряжение, которое действует на малую площадку, перпендикулярную оси , то величина – это составляющая напряжения , перпендикулярная этой площадке. Эта составляющая называется нормальным напряжением на площадке. Составляющие напряжения направлены по касательным к площадке и называются касательными напряжениями или напряжениями сдвига. Аналогично, представляют собой нормальные напряжения на площадках, перпендикулярных осям и соответственно, а и – напряжения сдвига. В теории упругости допускается, что матрица (13) симметрична, т.е. . В силу этого для определения напряженного состояния нужно знать не девять компонент напряжения, а только шесть. Так же, как и в первой задаче, матрица (13) обозначает тензор 2-ого ранга, называемый тензором напряжений. Компоненты тензора напряжений зависят от системы координат и изменяются при изменении системы координат по определенному правилу, которое будет установлено позднее.

Таким образом, две задачи, совершенно разные по физическому содержанию, привели нас к одной и той же математической проблеме: необходимости изучения свойств и законов преобразования матриц вида (8) и (13), а также их обобщения. Аналогичная проблема возникает и в связи со многими другими задачами.

Теперь мы отвлекаемся от конкретного физического содержания и рассмотрим только математические аспекты. Прежде всего, заметим, что тензор 2-го ранга не тождественен квадратной матрице (3х3). Матрица – это лишь представление тензора в определенной системе координат, а сам тензор – инвариантный геометрический объект, существующий независимо от системы координат. Кроме того, матрицей вида (8) или (13) представляется лишь простейший тензор 2-го ранга. Тензоры более высокого ранга нельзя представить матрицей. Подробнее об этом будет сказано в следующих параграфах.

§3. Преобразование систем координат.

Мы будем рассматривать только трехмерное евклидово пространство и только прямоугольные декартовы системы координат в нем. Как известно из курса линейной алгебры, такая система координат определяется ортонормированным единичным базисом из векторов . Для удобства и для единообразия обозначений будем в дальнейшем обозначать базисные векторы через , а оси прямоугольной системы координат через . Преобразование системы координат может включать в себя перенос начала координат без изменения направления осей (трансляция), изменение ориентации осей без переноса начала, а также и то, и другое вместе. Первый тип преобразования – трансляция, не представляет интереса, поскольку в этом случае координаты всех точек пространства изменяются на одну и ту же величину. Поэтому будем рассматривать только второй тип преобразования, считая начало координат неизменным. Изменение ориентации осей координат может происходить либо в результате вращения вокруг какой-либо оси, либо при отражении (инверсии) в какой-то плоскости.

Рассмотрим две системы координат и с общим началом. Первую систему координат назовем старой, а вторую новой. Разложим базисные векторы новой системы по старому базису :

(14)

Поскольку все базисные векторы единичны, координатами (или компонентами) новых базисных векторов являются направляющие косинусы. Из направляющих косинусов составим матрицу: (15)

Матрица называется матрицей преобразований, ее элементы суть направляющие косинусы векторов нового базиса относительно старого базиса. Первый индекс относится к новой системе, второй индекс – к старой системе, так что первая строка матрицы преобразования – это направляющие косинусы базисного вектора , вторая строка – направляющие косинусы вектора и третья – направляющие косинусы вектора .

Можно поступить наоборот, разложить старые базисные векторы по новому базису :

(16)

И здесь составим матрицу преобразования так, чтобы направляющие косинусы вектора располагались в первой строке, вектора – во второй и вектора – в третьей.

(17)

Матрица называется матрицей обратного перехода. Сравнивая матрицы переходов и , видим, что по отношению друг к другу они транспонированы, т.е. , где обозначает символ транспонирования.

Рассмотрим свойства матриц преобразования на примере матрицы :

а) Матрица не симметрична, т.е. .

б) Сумма квадратов элементов каждого столбца и каждой строки равна единице. Это следует из того, что столбцы матрицы суть направляющие косинусы одного из старых базисных векторов, сумма квадратов которых, как известно, равна единице. Строки матрицы – это направляющие косинусы одного из новых базисных векторов в старом базисе и поэтому сумма их квадратов также равна единице.

в) Сумма произведений элементов одного столбца (строки) на элементы другого столбца (строки) равны нулю. Это следует из ортогональности базисных векторов, как новых, так и старых, и поэтому скалярное произведение двух векторов одного базиса равно нулю.

г) Матрица перехода не вырождена и ее определитель равен ±1 в зависимости от того, одинакова или нет ориентация нового и старого базисов относительно друг друга. Как известно из курса векторной алгебры, тройка векторов называется правой, если кратчайший поворот от вектора к вектору кажется происходящим в положительном направлении (против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора ). Составим смешанное произведение векторов нового базиса . С геометрической точки зрения оно равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если оба базиса имеют одинаковую ориентацию, например, оба правые, и со знаком минус, если ориентация базисов различна (один из них правый, другой левый). Поскольку упомянутый параллелепипед является прямоугольным и все его три размера равны единице, то и объем равен единице. С другой стороны, это же смешанное произведение равно определителю, составленному из координат перемножаемых векторов. Поскольку при транспонировании матрицы ее определитель не изменяется, то и определитель матрицы обратного перехода тоже равен ±1.

д) Матрицы и определяют два взаимнообратных преобразования базисов. Поэтому эти матрицы являются по отношению друг к другу тоже взаимно обратными. Таким образом, матрица, обратная по отношению к матрице , получается простым транспонированием. Отсюда следует, что , где – единичная матрица. Матрица, обладающая перечисленными свойствами, называется ортогональной матрицей. Следовательно, преобразование прямоугольных систем координат осуществляется с помощью ортогональных матриц.

Используя теперь обозначения для элементов матрицы перехода , перепишем формулы (14) и (16):

(18)

или короче: , (19)

Аналогично для обратного преобразования:

(20)

или сокращенно , (21)

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒