Геометрическая интерпретация тензоров

Го и 2-го рангов.

Тензор 1-го ранга обычно интерпретируется как вектор, т.е. как направленный отрезок. Возможно и другое истолкование тензора 1-го ранга. Рассмотрим произвольную плоскость в пространстве, не проходящую через начало координат. Как известно из курса линейной алгебры, общее уравнение плоскости имеет вид: .

Поскольку плоскость не проходит через начало координат, то свободный член . Разделив обе части уравнения на , преобразуем его к виду:

(92)

где , , , а координаты обозначены через . Уравнение (92) сокращенно записывается так: (93)

Перейдем теперь в новую систему координат. Координаты при этом преобразуются по формулам (27), (29). Подставив в (93) формулу (29), получим в новой системе или . Обозначив (94)

получим, что в новой системе координат уравнение плоскости имеет вид: (95)

Из (94) следует, что коэффициенты уравнения плоскости преобразуются так же, как компоненты тензора 1-ого ранга. Таким образом, тензор 1-го ранга может быть интерпретирован геометрически как плоскость.

Все вышесказанное наводит на мысль, что тензор 2-го ранга также должен иметь геометрическое истолкование. Очевидно, в виде более сложной поверхности, чем плоскость.

Рассмотрим центральную поверхность 2-го порядка, т.е. поверхность, имеющую центр симметрии. Если центр поверхности находится в начале координат, то уравнение поверхности можно записать в виде:

(96)

Здесь коэффициенты . Эта поверхность в общем случае будет эллипсоидом или гиперболоидом. Уравнение (96) сокращенно можно записать так:

(97)

При переходе к новой системе координат координаты , преобразуются по формулам (27), (29). Поэтому в новой системе координат получим: .

Обозначив , (98)

запишем (99)

Это уравнение той же поверхности в новой системе координат с новыми коэффициентами . Из (98) видно, что коэффициенты поверхности 2-го порядка преобразуются подобно компонентам симметричного тензора 2-го ранга. Таким образом, законы преобразования симметричного тензора 2-го ранга совпадают с законами преобразования поверхностей 2-го порядка. Чтобы найти, как преобразуются компоненты такого тензора, достаточно рассмотреть преобразование соответствующей поверхности 2-го порядка. По этой причине поверхность (97) называется характеристической поверхностью 2-го порядка для тензора.

Тензоры высших порядков.

Будем исходить из формулы (51). Мы уже сделали шаг в направлении ее обобщения (формула (58)) и пришли к понятию тензора 2-ого ранга. Сделаем дальнейшее обобщение.

Пусть всякому направлению в пространстве сопоставляется не вектор (тензор 1-ого ранга), а тензор 2-ого ранга посредством линейного и однородного относительно направляющих косинусов соотношения. Геометрический объект с таким свойством называется тензором 3-его ранга. Обобщение можно продолжать и дальше. Тогда для любого направления в пространстве тензору ранга можно поставить в соответствие тензор ранга посредством линейного и однородного относительно направляющих косинусов соотношения. Рассмотрим тензор 3-его ранга. Он обозначается . Его проекцию на произвольное направление обозначим – это тензор 2-ого ранга. Обобщая (51) и (58), запишем:

(100)

Совмещая поочередно направление с направлениями осей координат, легко показать, что тензоры – это проекции тензора 3-го ранга на оси координат. Таким образом, тензор 3-го ранга определяется тремя тензорами 2-ого ранга – своими проекциями. Компоненты этих проекций обозначим , , . Всего их будет 27, обозначаются они с помощью трех индексов и называются компонентами тензора в рассматриваемом базисе. Выясним, как преобразуются компоненты тензора 3-его ранга при переходе к другой системе координат.

Совместим направление с направлением оси новой системы координат. Проекцию тензора на это направление обозначим – это тензор 2-ого ранга:

(101)

Совместив направление последовательно с направлениями осей и , получим проекции на эти оси:

(102)

(103)

Используя матрицу перехода , перепишем эти формулы так:

(104а)

(104б)

(104в)

В новой системе тензор 3-его ранга также определяется тремя своими проекциями . Их компоненты – это компоненты того же тензора в новой системе координат. Найдем формулы преобразования компонент тензора . Формула (104а) покомпонентно в новом базисе запишется так:

(105)

где через обозначены компоненты тензора в новом базисе. Выразим компоненты через компоненты тензора в старом базисе по формулам перехода (70) для тензоров 2-ого ранга:

(106)

Тогда .

Аналогично, из формул (104б, в) получим:

, (107)

Объединив все три формулы в одну, будем иметь:

(108)

Это и есть формула перехода от старой системы координат к новой для тензора 3-его ранга. Получим обратную формулу. Для этого умножим обе части (108) на :

Теперь умножим обе части на : .

Наконец, умножим на :

т.е. (109)

Это и есть искомая формула преобразования от новой системы координат к старой.

Формулы (108) и (109) можно положить в основу нового определения тензора 3-его ранга. В любой прямоугольной системе координат тензор 3-его ранга определяется двадцатью семью компонентами, которые при преобразовании координат преобразуются по формулам (108), (109). Теперь можно сделать обобщение на тензоры произвольного ранга. В любой прямоугольной декартовой системе координат тензор ранга определяется компонентами, которые при преобразовании координат преобразуются по формулам:

, (110)

Проекция тензора -го ранга на произвольное направление является тензором ранга .

Операции с тензорами.

Рассмотрим алгебраические операции с тензорами, с помощью которых по тензорам можно составлять новые тензоры. Эти операции инвариантны в том смысле, что в результате получается вполне определенный тензор, не зависящий от того, в какой системе координат они выполняются. Тензорные операции отражают те операции над геометрическими и физическими объектами, заданными посредством тензоров, которые имеют геометрический или физический смысл и совершаются независимо от выбора координатной системы.

Умножение на скаляр. Умножение всех компонент тензора на один и тот же скаляр дает тензор того же ранга, который называется произведением тензора на скаляр. Например, или в символической бескоординатной записи .

Сложение тензоров. Сложение соответствующих компонент двух тензоров одинакового ранга дает третий тензор того же ранга. Например, или . Подчеркнем, что складывать можно только тензоры одинаковых рангов.

Умножение тензоров. Совокупность всех произведений, содержащих по одной компоненте каждого из двух тензоров, образует тензор – произведение первых двух тензоров. Ранг произведения равен сумме рангов сомножителей. Например, произведение тензора 2-ого ранга и вектора представляет собой тензор 3-его ранга. В частности, произведение двух тензоров 1-ого ранга и является тензором 2-ого ранга и называется диадным произведением векторов и . В символической бескоординатной записи это будет выглядеть так . Диадное произведение называется еще иначе неопределенным произведением векторов. Особенностью его является то, что оно не обладает свойствами коммутативности: . Точнее, при перестановке сомножителей получается транспонированный тензор, т.е. или .

Свертывание. Приравнивание двух буквенных индексов тензора ранга дает тензор ранга и называется свертыванием исходного тензора по этим индексам. Например, тензор 3-его ранга можно свернуть по парам индексов , , . В результате получатся тензоры 1-ого ранга , , . Как обычно, по паре повторяющихся индексов должно производиться суммирование. Поэтому:

, , (111)

Свертывание тензора 2-ого ранга дает скаляр:

(112)

который называется следом тензора . В бескоординатных обозначениях след тензора записывается в виде или . Такое обозначение проистекает от немецкого слова Spur или английского Trace. В переводе и то, и другое означает – след. Известное из курса векторной алгебры скалярное произведение векторов и можно рассматривать как след диадного произведения _,т.е. .

Образование целых положительных степеней тензора 2-ого ранга является еще одним примером свертывания. Квадрат тензора определяется как тензор , куб – как тензор , четвертая степень – как , и т.д. Каждая степень тензора 2-ого ранга является тензором того же ранга. В бескоординатном обозначении степени тензора записываются в виде , и т.д.

Приведем еще несколько примеров бескоординатной записи: для вектора ; для вектора ; для тензора второго ранга ; для скаляра .

Перестановка индексов или образование изомеров. Перестановка двух индексов тензора дает другой тензор того же ранга, называемый изомером первого тензора. Тензор 2-го ранга имеет единственный изомер , который ранее мы называли транспонированным тензором. Тензор 3-его ранга имеет изомеры , , , , .

Тензор называется симметричным относительно двух индексов, если он равен своему изомеру, полученному при перестановке этих индексов. Например, если тензор 3-его ранга симметричен по индексам и , то . Если же тензор равен своему изомеру с обратным знаком, то он антисимметричен относительно этих индексов. Например, если тензор антисимметричен по индексам и , то .

Компоненты антисимметричного тензора с одинаковыми значениями индексов, по которым тензор антисимметричен, равны нулю. Так, у упомянутого антисимметричного тензора компоненты . Легко убедиться, что эти определения включают в себя определения, введенные в параграфе 12. Тензор называется полностью антисимметричным или просто антисимметричным, если при перестановке любых двух его индексов у любой его компоненты она меняет знак. Заметим, что в рассматриваемом нами трехмерном пространстве невозможен полностью антисимметричный тензор более чем третьего ранга. Точнее, такой тензор всегда имеет лишь нулевые компоненты. В самом деле, наличие двух одинаковых индексов обращает компоненту такого антисимметричного тензора в нуль. Между тем, его компоненты всегда имеют, по меньшей мере, два одинаковых индекса, т.к. индексов у них более трех, а принимать они могут лишь значения 1, 2, 3. Следовательно, все компоненты такого тензора равны нулю.

Часто применяется следующее рассуждение. Если тензор симметричен, а тензор антисимметричен по индексам и , то их свертка . В самом деле, сумма по немым индексам и содержит, например, слагаемое с , , а также слагаемое с , . Сумма этих двух слагаемых равна нулю, т.к. , . Кроме того, . Используя это рассуждение, можно установить следующее тождество для произвольных тензоров 2-ого ранга: