Валишин А.А., Ожерелкова Л. М.

Валишин А.А., Ожерелкова Л. М.

 

 

«Ортогональные тензоры.
Теория и примеры»

 

 

Учебно-методическое пособие

 

Москва

УДК 51

ББК 22.1

 

Рецензент:

Д.ф.-м.н, профессор Ломовской В.А. (МИТХТ, каф. прикладной механики и основ конструирования).

 

Валишин А.А., Ожерелкова Л. М.

«Ортогональные тензоры. Теория и примеры».

Учебно-методическое пособие. М.: ИПЦ МИТХТ, 100 с.

 

 

Утверждено Библиотечно-издательской комиссией МИТХТ

им. М. В. Ломоносова в качестве учебно-методического пособия. Поз. 64 /2014.

 

В пособии излагаются основы теории ортогональных тензоров, т.е. тензорная алгебра и элементы тензорного анализа в прямоугольных системах координат. Именно теория ортогональных тензоров чаще всего используется в приложениях, в первую очередь, в механике сполошных сред и кристаллофизике. Изложение материала сопровождается многочисленными примерами и задачами с решениями. Пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению «Прикладная математика». Пособие может быть так же полезно студентам других специальностей, а также молодым преподавателям, аспирантам и научным сотрудникам.

 

 

© МИТХТ им. М.В. Ломоносова, 2014

Оглавление.

§1 Скаляры и векторы……………………………………………………. 4

§2. Задачи, приводящие к понятию тензора…………………………… 4

§3. Преобразование систем координат…………………………………. 11

§4. Правило суммирования Эйнштейна……………………………….. 15

§5. Преобразование координат точки и вектора………………………. 16

§6. Символ Кронекера…………………………………………………… 17

§7. Новое определние вектора…………………………………………… 19

§8. Задачи…………………………………………………………….……. 21

§9. Тензор второго ранга………………………………………….……… 24

§10. Транспонированный тензор………………………………………… 28

§11. Единичный тензор…………………………………………………… 28

§12. Симметричные и антисимметричные тензоры……………………. 28

§13. Задачи ……………………………………………………..…………. 30

§14. Геометрическая интерпретация тензоров первого и второго рангов 34

§15. Тензоры высших порядков………………………………………...… 36

§16. Операции с тензорами……………………………………………….. 38

§17. Теорема деления тензоров (критерий тензорности)………………. 41

§18. -тензор леви-Чивиты (единичный тензор третьего ранга)…….. 42

§19. Бивектор………………………………………………………………. 46

§20. Двойственный вектор и двойственный тензор……………………. 49

§21. Векторное произведение как антисимметричный тензор………… 50

§22. Задачи ………………………………………………………………… 51

§23. Главные значения и главные направления симметричного

тензора второго ранга………………..………………………………. 59

§24. Степени тензоров второго ранга. Уравнение Гамильтона-Кэли… 67

§25. Круги Мора…………………………………………………………… 68

§26. Шаровой тензор и девиатор………………………………………… 73

§27. Нормальные и тангенциальные составляющие тензора

второго ранга……………………………………………………...…. 74

§28. Задачи ………………………………………………………………… 79

§29. Бескоординатная запись тензоров………………………………….. 92

§30. Тензорные поля. Дифференцирование и интегрирование тензоров 93

Список литературы……………………………………………….………… 99

 

Скаляры и векторы.

Из векторной алгебры известны понятия скаляра и вектора. Скалярами являются такие физические величины, как плотность, масса, объем, температура тела. Скаляры не связаны с понятием направления. При определении плотности или температуры бессмысленно говорить об изменении этих величин в каком-либо направлении. Такие ненаправленные физические величины называются скалярами. Значение скаляра полностью определяется заданием одного числа. Скаляры называются также тензорами нулевого ранга.

В отличие от скаляров, другой тип физических величин, называемых векторами, может быть определен только по отношению к направлению. Механическая сила, скорость, напряженность электрического или магнитного поля, плотность тока, температурный градиент и т.д. – хорошо известные примеры векторов. Чтобы полностью определить вектор, необходимо задать как его величину (модуль вектора), так и направление.

Можно определить вектор и по-другому. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат и зададим компоненты вектора вдоль каждой из осей координат. Компонента (или координата) вектора – это проекция вектора на данную ось. Если вектор имеет компоненты , то это записывается в виде

(1)

Таким образом, когда оси координат выбраны, вектор полностью определяется заданием значений трех его компонент вдоль осей. Векторы называются также тензорами первого ранга.

Символ Кронекера.

Перепишем формулы (27) и (29):

, (30)

и подставим вторую в первую:

(31)

Распишем это подробно. Здесь двойное суммирование: по индексу и по индексу :

Отсюда:

Следовательно:

(32)

Первые три формулы можно сокращенно записать так:

.

Следующие три формулы перепишем:

Объединяя эти две группы формул, можно записать:

(33)

Введем так называемый символ Кронекера:

(34)

С его помощью формулу (33) запишем в виде:

(35)

Вернемся к формулам (30) и подставим теперь первую во вторую:

Если это выражение расписать подробно, как (32), то в итоге получим:

(36)

Формулы (35) и (36) есть не что иное, как выражение свойств б) и в) ортогональной матрицы преобразования системы координат, сформулированные в § 3.

Переставим местами в формуле (35) индексы и :

, (37)

или (38)

т.е. символ Кронекера симметричен.

Символ Кронекера обладает замечательным, так называемым фильтрующимсвойством, на котором и основано широкое применение этого символа. Рассмотрим выражение: . Если , то правая часть будет равна , если , то , если , то , т.е.:

. (39)

Это соотношение означает, что из всех компонент вектора символ Кронекера «отфильтровывает» одну, а именно .

Новое определение вектора.

Пусть имеется вектор . Подобно тому, как точку с координатами для краткости обозначают через , вектор с компонентами обозначим через . При переходе к новой системе координат компоненты вектора преобразуются по формуле:

(40)

Проиллюстрируем применение символа Кронекера для обращения формулы (40). Умножим обе части (40) на :

, т.е.

(41)

При выводе (41) мы использовали формулы (36) и (39). Формулы (40) и (41) положены в основу нового определения вектора.

Определение. Вектор – это геометрический объект, который в любой прямоугольной системе координат определяется тремя числами – его компонентами, которые при преобразовании системы координат преобразуются по формулам (40) и (41).

Вектор существует независимо от системы координат, он инвариантен, а вот его координаты меняются при преобразованиях системы координат. Новое определение вектора сохраняет все известные из курса линейной алгебры операции с векторами:

1) Сложение векторов:

(42)

2) Сложение ассоциативно, т.е.

(43)

3) Умножение вектора на скаляр:

(44)

4) Дистрибутивность умножения:

(45)

Если компоненты вектора зависят от некоторого параметра , то производные тоже образуют вектор , который называется производной исходного вектора по . Аналогично определяется и производная более высокого порядка вектора по скалярному параметру.

Рассмотрим скалярное произведение двух векторов и :

(46)

Докажем, что скалярное произведение – скаляр и инвариантно относительно преобразования системы координат. В новой системе координат компоненты векторов обозначим и . Тогда скалярное произведение будет равно:

(47)

Модуль вектора, определяемый скалярным произведением вектора самого на себя, запишется так:

(48)

Записывать квадрат модуля в виде нецелесообразно, т.к. при такой записи не ясно, что представляет собой немой индекс. Вектор, модуль которого равен единице, называется, как известно, единичным вектором или ортом. Направление в пространстве обычно задается единичным вектором. Рассмотрим единичный вектор . Скалярное произведение определяет проекцию на направление :

(49)

Поскольку компонентами единичного вектора являются направляющие косинусы ,

или короче , (50)

то (51)

Формула (51) линейна и однородна относительно направляющих косинусов. Она означает, что для любого направления в пространстве каждому вектору можно поставить в соответствие скаляр – проекцию вектора на это направление, посредством линейного и однородного относительно направляющих косинусов соотношения. Выясним, какой смысл имеют числа в (51). Совместим направление с положительным направлением оси . Тогда , а и , т.е. – это проекция вектора на направление оси . Аналогично доказывается, что и – это проекции вектора на две другие оси. Следовательно, проекция вектора на произвольное направление определяется его проекциями на три фиксированных направления координатных осей.

Формула (51) будет играть в дальнейшем определяющую роль, поскольку она допускает далеко идущие обобщения.

§8. Задачи.

Задача 1. Старая система координат преобразуется к новой системе , заданной следующими углами: , , , . Написать матрицу преобразования и проверить ее ортогональные свойства.

Решение. Имеем:

, ,

, ,

,

, ,

.

Рис.5

Матрица преобразования будет иметь вид: (52)

Ортогональность ее строк и столбцов проверяется непосредственно.

Задача 2. Пусть новая система координат получена из старой в результате вращения вокруг оси на угол против часовой стрелки. Написать матрицу преобразования.

Решение.

Рис.6

, ,

,

, ,

,

, ,

Тогда матрица преобразования имеет

u ngf3QSJrzR5BF1ZD3aD48JzApNP2K0YDtGaD3ZctsRwj+VaBtqqsKEIvx0VRXgTh2tOT9ekJURSg GuwxmqY3fur/rbFi04GnSc1KvwI9tiJq5YnVXsXQfjGo/VMR+vt0Ha2eHrTlDwAAAP//AwBQSwME FAAGAAgAAAAhAMVXEwPfAAAACgEAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxMj9FOg0AQRd9N/IfNmPhi 6FIs1FKWRk00vrb2AxZ2CqTsLGG3hf6945M+Tu7JvWeK3Wx7ccXRd44ULBcxCKTamY4aBcfvj+gF hA+ajO4doYIbetiV93eFzo2baI/XQ2gEl5DPtYI2hCGX0tctWu0XbkDi7ORGqwOfYyPNqCcut71M 4jiTVnfEC60e8L3F+ny4WAWnr+kp3UzVZziu96vsTXfryt2UenyYX7cgAs7hD4ZffVaHkp0qdyHj Ra8gSlbpklkFzxkIBiLeS0BUCtJkA7Is5P8Xyh8AAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhALaDOJL+ AAAA4QEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAA ACEAOP0h/9YAAACUAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAA ACEACT2yL4gCAAAYBQAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYA CAAAACEAxVcTA98AAAAKAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAADiBAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAA AAAEAAQA8wAAAO4FAAAAAA== " stroked="f"> вид: (53)

Задача 3. Исследовать влияние преобразования координат

Рис.7

на компоненты вектора.

Решение. Это преобразование координат называется инверсией (отражением) относительно плоскости . Первоначальная правая система координат преобразуется в левую . Матрица преобразования имеет вид: (54)

Вектор преобразуется по формуле (40):

(55)

или

Таким образом, указанная инверсия изменяет только компоненту , две другие компоненты при этом не меняются.

Задача 4. Найти преобразование компонент вектора при вращении, описанном в задаче 2.

Решение. Используя матрицу преобразования (53) и формулу (55), получим:

(56)

Задача 5.. Доказать равенство (57)

Решение. Имеем:

Задача 6. Компоненты единичного вектора являются непрерывно дифференцируемыми функциями параметра . Показать, что вектор перпендикулярен вектору .

Решение. Необходимо доказать, что скалярное произведение . Имеем:

Задача 7. Доказать, что каждый элемент ортогональной матрицы преобразования равен своему алгебраическому дополнению, взятому со знаком плюс или минус.

Решение. Матрица перехода от старой системы координат к новой имеет вид (15). Ее определитель, как было показано в параграфе 3, равен , где знак плюс берется в том случае, если старая и новая системы координат имеют одинаковую ориентацию (например, обе правые) и знак минус – в противном случае. По определению обратной матрицы имеем:

где – алгебраическое дополнение элементов матрицы . С другой стороны, как было показано в параграфе 3, обратная матрица получается транспонированием прямой матрицы, т.е. и имеет вид (17). Отсюда и получаем, что .

Подчеркнем еще раз, что знак плюс берется тогда, когда обе системы координат, старая и новая, имеют одинаковую ориентацию и знак минус – в противном случае.

Тензор второго ранга.

Вспомним задачу, приведшую нас в параграфе 1 к понятию тензора напряжений, и формулу (12). Сравним ее с формулой (51). Формула (51) любому направлению в пространстве сопоставляет скаляр , который мы назвали проекцией вектора на направление . Формула (12) идентична по структуре формуле (51), но с ее помощью любому направлению в пространстве сопоставляется не скаляр, а вектор тоже посредством линейного и однородного относительно направляющих косинусов соотношения. Из этого и будем исходить. Итак, пусть любому направлению в пространстве сопоставляется вектор с помощью линейного и однородного относительно направляющих косинусов соотношения:

(58)

Геометрический объект с таким свойством называется тензором второго ранга и обозначается . Вектор называется проекцией тензора на направление или значением тензора в этом направлении. Выясним, какой смысл имеют векторы , , в формуле (58). Для этого совместим направление с направлением оси . Тогда , , . Получаем, что проекция тензора на ось равна вектору . Аналогично, совмещая направление с направлением осей и , получим, что векторы и суть проекции тензора на оси и . Таким образом, в любой прямоугольной системе координат тензор задается тремя векторами , , – своими проекциями на базисные направления. Компоненты векторов , , в системе координат обозначим , , .

Девять величин называются компонентами тензора в системе координат . Расположим их в виде матрицы:

, (59)

которая называется матрицей тензора. Столбцы матрицы определяют три проекции тензора на координатные оси.

В другой системе координат тензор также определяется тремя проекциями , , на новые координатные оси. Проекции тензора в новой и старой системах координат связаны друг с другом. Установим эту связь. Совместим в (58) направление с направлением оси . Получим проекцию тензора на ось :

(60)

Совместив с направлением оси , получим

, (61)

и наконец:

(62)

Стоящие в этих формулах косинусы – это элементы матрицы преобразования . Поэтому можно переписать:

(63)

.

Сокращенно это записывается так:

, , (64)

или еще короче: (65)

Видим, что закон преобразования проекций тензора такой же, как закон преобразования проекций вектора. Матрица тензора в новой системе координат состоит из компонент проекций тензора на эти новые оси. Первая проекция – вектор в новой системе имеет компоненты: . Аналогично и . Составленная из них матрица:

(66)

называется матрицей тензора в новой системе координат. Таким образом, матрица тензора в старой системе состоит из компонент проекций тензора на старые оси, а в новой системе – из компонент проекций тензора на новые оси.

Установим связь между компонентами тензора в старой и новой системах координат. Обозначим компоненты векторов в новом базисе через , т.е. . Компоненты векторов в новом базисе выразим через старые по формулам преобразования вектора:

(67)

Тогда первое равенство (64) в новых координатах запишется так:

(68)

Аналогично, две другие формулы (64) в новых координатах будут выглядеть так:

(69)

Или объединяя все три формулы:

(70)

По формуле (70) преобразуются компоненты тензора при переходе от старой системы координат к новой. Выведем обратную формулу. Умножим обе части (70) на , воспользуемся ортогональностью матрицы перехода и свойством символа Кронекера:

(71)

Умножим теперь обе части на :

или (72)

Формулы (70) и (72) определяют закон преобразования тензора второго ранга. Они положены в основу второго определения тензора. В любой прямоугольной системе координат тензор 2-го ранга определяется девятью компонентами, которые при преобразовании системы координат преобразуются по формулам (70) и (72).

 

Транспонированный тензор.

Исследуем влияние перестановки индексов и в формуле (70): . Так как в правой части индексы и – немые, то их можно без изменения результата переставить:

. (73)

То же самое сделаем в формуле (72), переставив индексы и :

(74)

Из (73) и (74) видно, что если – тензор, то и – тоже тензор, поскольку преобразуется по тензорному закону. Он называется транспонированным тензором и обозначается . Матрица транспонированного тензора в любой системе координат транспонирована по отношению к матрице тензора .

Единичный тензор.

Рассмотрим символ Кронекера и из его значений составим матрицу. Подвергнем ее тензорному преобразованию:

(75)

т.е. матрица не изменяется. Символ Кронекера образует так называемый единичный тензор 2-го ранга . В любой координатной системе он изображается одной и той же единичной матрицей:

(76)

Задачи.

Задача 8. Как преобразуются компоненты тензора 2-го ранга, если система координат подвергается преобразованию, описанному в задаче 1 параграфа 8?

Решение. Исходим из формулы (70):

(85)

Матрица преобразования системы координат определена в (52). Имеем:

, , ,

, ,

, ,

,

.

На этом примере, в частности, легко убедиться, что свойство симметричности и антисимметричности присуще самому тензору и не зависит от системы координат.

Задача 9. Найти компоненты симметричного тензора в системе координат, получающейся с помощью преобразования, описанного в задаче 2 параграфа 8.

Решение. По формуле (85), используя матрицу преобразования (53) и симметричного тензора, получаем:

(86)

В частности, если в старой системе координат матрица тензора была диагональной

, (87)

то в новой системе:

(88)

Эти формулы обычно записывают в таком виде:

(89)

Матрица тензора в новой системе координат будет иметь вид:

(90)

Из (88)-(90) видно, что компонента тензора при вращении системы координат вокруг оси остается неизменной. Формулы (89), (90) нам встретятся еще в дальнейшем.

Задача 10. Необходимо повернуть тензор: вокруг оси так, чтобы компонента 22 стала равной нулю. Найти два возможных угла поворота, меньших 90 градусов.

Решение. Из (86) находим, что компонента 22 преобразуется по формуле: . Поскольку должно быть равно нулю, то, подставляя , получаем уравнение: или .

Решая его, получим: , . Отсюда , . Следовательно, необходимый поворот системы координат можно осуществить двумя способами: повернуть вокруг оси в положительном направлении на угол (рис. 8а) или в отрицательном направлении на угол (рисунок 8б).

Рис. 8б)

Рис.8а) 8.8а)

Задача 11. Тензор электропроводности некоторого кристалла имеет следующие компоненты в системе