Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Правило суммирования Эйнштейна.
Индекс , по которому в формулах (19) и (21) производится суммирование, входит в одночлен, стоящий под знаком суммы, дважды. Это обстоятельство, с которым мы будем часто встречаться в дальнейшем, позволяет записать формулы преобразования еще более кратко. Знаки сумм в формулах (18) и (21) можно опустить, если условиться, что дважды повторяющийся в одночлене нижний латинский индекс будет всегда означать суммирование по значениям 1, 2, 3 этого индекса. Используя такую запись суммирования, формулы (19) и (21) можно представить в упрощенном виде: (22а) (22б) Как видно из формулы (22), двойной индекс после проведения суммирования исчезает, поэтому такой индекс называется немым индексом. Выбор той или иной буквы для обозначения этого индекса не существенен, если в данном одночлене не встречается другой индекс. Например, формулу (22а) можно записать в виде: (23) В дальнейшем эта свобода выбора индекса будет часто использоваться. Во всех последующих формулах индексы будут подчиняться общему правилу: в корректно записанном соотношении нижний латинский индекс в каждом одночлене может встречаться не более двух раз. Если же обе стороны соотношения записываются как суммы одночленов и такой индекс встретится в одночлене один раз, то этот индекс войдет один раз и в любом другом одночлене. Преимущества этого способа записи можно увидеть на следующем примере: . Пользуясь правилом суммирования Эйнштейна, это выражение можно записать в гораздо более компактном и удобном для восприятия виде: . Здесь все четыре индекса , , , повторяются дважды и поэтому являются немыми; по каждому из них производится суммирование. В результате получается инвариантная физическая величина – единица. Еще один пример: выражение в сокращенной записи будет выглядеть так: . Здесь индексы , , – немые, а , , – свободные. §5. Преобразование координат точки и вектора. Рассмотрим какую-либо точку пространства с координатами в старой системе: . Разложим радиус-вектор этой точки по старому базису: (24) Перейдем в новую систему координат. Точка и ее радиус-вектор будут иметь уже новые координаты , и разложение по новому базису будет выглядеть так: (25) Подставим в формулу (24) формулы (20), выражающие старые базисные векторы через новые: Пользуясь правилом Эйнштейна, запишем это короче: (26) Сравнивая (26) с (25) и принимая во внимание, что разложение по базису единственно, получим, что координаты точки в новой системе координат равны: , , . Эти формулы можно объединить в одну и тогда получим: (27) По этому правилу преобразуются координаты точки и радиус-вектора при переходе от старой системы координат к новой. Выведем теперь формулы обратного преобразования. Подставим в формулу (25) формулу (22а). При этом сразу будем пользоваться правилом суммирования: (28) Сравним (28) с (24). При этом, поскольку в (24) индекс является немым, заменим его буквой , а в (28) немой индекс заменим буквой . Получаем: (29) По этой формуле преобразуются координаты точки и радиус-вектора при переходе от новой системы координат к старой. По формулам (27) и (29) преобразуются координаты радиус-вектора. Поскольку все векторы мы считаем свободными, то по этим же формулам преобразуются координаты (компоненты) любого вектора. Укажем правило для запоминания суммирования в формулах преобразования (27) и (29). Первая формула (27) выражает новые координаты через старые, суммирование производится по старым координатам, а это второй индекс у элементов матрицы . Следовательно, суммирование производится по второму индексу. Вторая формула (29) выражает старые координаты через новые. Суммирование производится по новым координатам, а это соответствует первому индексу у элементов . Следовательно, суммирование идет по первому индексу. Символ Кронекера. Перепишем формулы (27) и (29): , (30) и подставим вторую в первую: (31) Распишем это подробно. Здесь двойное суммирование: по индексу и по индексу : Отсюда: Следовательно: (32) Первые три формулы можно сокращенно записать так: . Следующие три формулы перепишем: Объединяя эти две группы формул, можно записать: (33) Введем так называемый символ Кронекера: (34) С его помощью формулу (33) запишем в виде: (35) Вернемся к формулам (30) и подставим теперь первую во вторую: Если это выражение расписать подробно, как (32), то в итоге получим: (36) Формулы (35) и (36) есть не что иное, как выражение свойств б) и в) ортогональной матрицы преобразования системы координат, сформулированные в § 3. Переставим местами в формуле (35) индексы и : , (37) или (38) т.е. символ Кронекера симметричен. Символ Кронекера обладает замечательным, так называемым фильтрующимсвойством, на котором и основано широкое применение этого символа. Рассмотрим выражение: . Если , то правая часть будет равна , если , то , если , то , т.е.: . (39) Это соотношение означает, что из всех компонент вектора символ Кронекера «отфильтровывает» одну, а именно . Новое определение вектора. Пусть имеется вектор . Подобно тому, как точку с координатами для краткости обозначают через , вектор с компонентами обозначим через . При переходе к новой системе координат компоненты вектора преобразуются по формуле: (40) Проиллюстрируем применение символа Кронекера для обращения формулы (40). Умножим обе части (40) на : , т.е. (41) При выводе (41) мы использовали формулы (36) и (39). Формулы (40) и (41) положены в основу нового определения вектора. Определение. Вектор – это геометрический объект, который в любой прямоугольной системе координат определяется тремя числами – его компонентами, которые при преобразовании системы координат преобразуются по формулам (40) и (41). Вектор существует независимо от системы координат, он инвариантен, а вот его координаты меняются при преобразованиях системы координат. Новое определение вектора сохраняет все известные из курса линейной алгебры операции с векторами: 1) Сложение векторов: (42) 2) Сложение ассоциативно, т.е. (43) 3) Умножение вектора на скаляр: (44) 4) Дистрибутивность умножения: (45) Если компоненты вектора зависят от некоторого параметра , то производные тоже образуют вектор , который называется производной исходного вектора по . Аналогично определяется и производная более высокого порядка вектора по скалярному параметру. Рассмотрим скалярное произведение двух векторов и : (46) Докажем, что скалярное произведение – скаляр и инвариантно относительно преобразования системы координат. В новой системе координат компоненты векторов обозначим и . Тогда скалярное произведение будет равно: (47) Модуль вектора, определяемый скалярным произведением вектора самого на себя, запишется так: (48) Записывать квадрат модуля в виде нецелесообразно, т.к. при такой записи не ясно, что представляет собой немой индекс. Вектор, модуль которого равен единице, называется, как известно, единичным вектором или ортом. Направление в пространстве обычно задается единичным вектором. Рассмотрим единичный вектор . Скалярное произведение определяет проекцию на направление : (49) Поскольку компонентами единичного вектора являются направляющие косинусы , или короче , (50) то (51) Формула (51) линейна и однородна относительно направляющих косинусов. Она означает, что для любого направления в пространстве каждому вектору можно поставить в соответствие скаляр – проекцию вектора на это направление, посредством линейного и однородного относительно направляющих косинусов соотношения. Выясним, какой смысл имеют числа в (51). Совместим направление с положительным направлением оси . Тогда , а и , т.е. – это проекция вектора на направление оси . Аналогично доказывается, что и – это проекции вектора на две другие оси. Следовательно, проекция вектора на произвольное направление определяется его проекциями на три фиксированных направления координатных осей. Формула (51) будет играть в дальнейшем определяющую роль, поскольку она допускает далеко идущие обобщения. §8. Задачи. Задача 1. Старая система координат преобразуется к новой системе , заданной следующими углами: , , , . Написать матрицу преобразования и проверить ее ортогональные свойства. Решение. Имеем: , , , , , , , .
Задача 2. Пусть новая система координат получена из старой в результате вращения вокруг оси на угол против часовой стрелки. Написать матрицу преобразования. Решение.
, , ,
Тогда матрица преобразования имеет
Задача 3. Исследовать влияние преобразования координат
Вектор преобразуется по формуле (40): (55) или Таким образом, указанная инверсия изменяет только компоненту , две другие компоненты при этом не меняются. Задача 4. Найти преобразование компонент вектора при вращении, описанном в задаче 2. Решение. Используя матрицу преобразования (53) и формулу (55), получим: (56) Задача 5.. Доказать равенство (57) Решение. Имеем: Задача 6. Компоненты единичного вектора являются непрерывно дифференцируемыми функциями параметра . Показать, что вектор перпендикулярен вектору . Решение. Необходимо доказать, что скалярное произведение . Имеем: Задача 7. Доказать, что каждый элемент ортогональной матрицы преобразования равен своему алгебраическому дополнению, взятому со знаком плюс или минус. Решение. Матрица перехода от старой системы координат к новой имеет вид (15). Ее определитель, как было показано в параграфе 3, равен , где знак плюс берется в том случае, если старая и новая системы координат имеют одинаковую ориентацию (например, обе правые) и знак минус – в противном случае. По определению обратной матрицы имеем: где – алгебраическое дополнение элементов матрицы . С другой стороны, как было показано в параграфе 3, обратная матрица получается транспонированием прямой матрицы, т.е. и имеет вид (17). Отсюда и получаем, что . Подчеркнем еще раз, что знак плюс берется тогда, когда обе системы координат, старая и новая, имеют одинаковую ориентацию и знак минус – в противном случае. Тензор второго ранга. Вспомним задачу, приведшую нас в параграфе 1 к понятию тензора напряжений, и формулу (12). Сравним ее с формулой (51). Формула (51) любому направлению в пространстве сопоставляет скаляр , который мы назвали проекцией вектора на направление . Формула (12) идентична по структуре формуле (51), но с ее помощью любому направлению в пространстве сопоставляется не скаляр, а вектор тоже посредством линейного и однородного относительно направляющих косинусов соотношения. Из этого и будем исходить. Итак, пусть любому направлению в пространстве сопоставляется вектор с помощью линейного и однородного относительно направляющих косинусов соотношения: (58) Геометрический объект с таким свойством называется тензором второго ранга и обозначается . Вектор называется проекцией тензора на направление или значением тензора в этом направлении. Выясним, какой смысл имеют векторы , , в формуле (58). Для этого совместим направление с направлением оси . Тогда , , . Получаем, что проекция тензора на ось равна вектору . Аналогично, совмещая направление с направлением осей и , получим, что векторы и суть проекции тензора на оси и . Таким образом, в любой прямоугольной системе координат тензор задается тремя векторами , , – своими проекциями на базисные направления. Компоненты векторов , , в системе координат обозначим , , . Девять величин называются компонентами тензора в системе координат . Расположим их в виде матрицы: , (59) которая называется матрицей тензора. Столбцы матрицы определяют три проекции тензора на координатные оси. В другой системе координат тензор также определяется тремя проекциями , , на новые координатные оси. Проекции тензора в новой и старой системах координат связаны друг с другом. Установим эту связь. Совместим в (58) направление с направлением оси . Получим проекцию тензора на ось : (60) Совместив с направлением оси , получим , (61) и наконец: (62) Стоящие в этих формулах косинусы – это элементы матрицы преобразования . Поэтому можно переписать: (63) . Сокращенно это записывается так: , , (64) или еще короче: (65) Видим, что закон преобразования проекций тензора такой же, как закон преобразования проекций вектора. Матрица тензора в новой системе координат состоит из компонент проекций тензора на эти новые оси. Первая проекция – вектор в новой системе имеет компоненты: . Аналогично и . Составленная из них матрица: (66) называется матрицей тензора в новой системе координат. Таким образом, матрица тензора в старой системе состоит из компонент проекций тензора на старые оси, а в новой системе – из компонент проекций тензора на новые оси. Установим связь между компонентами тензора в старой и новой системах координат. Обозначим компоненты векторов в новом базисе через , т.е. . Компоненты векторов в новом базисе выразим через старые по формулам преобразования вектора: (67) Тогда первое равенство (64) в новых координатах запишется так: (68) Аналогично, две другие формулы (64) в новых координатах будут выглядеть так: (69) Или объединяя все три формулы: (70) По формуле (70) преобразуются компоненты тензора при переходе от старой системы координат к новой. Выведем обратную формулу. Умножим обе части (70) на , воспользуемся ортогональностью матрицы перехода и свойством символа Кронекера: (71) Умножим теперь обе части на : или (72) Формулы (70) и (72) определяют закон преобразования тензора второго ранга. Они положены в основу второго определения тензора. В любой прямоугольной системе координат тензор 2-го ранга определяется девятью компонентами, которые при преобразовании системы координат преобразуются по формулам (70) и (72).
Транспонированный тензор. Исследуем влияние перестановки индексов и в формуле (70): . Так как в правой части индексы и – немые, то их можно без изменения результата переставить: . (73) То же самое сделаем в формуле (72), переставив индексы и : (74) Из (73) и (74) видно, что если – тензор, то и – тоже тензор, поскольку преобразуется по тензорному закону. Он называется транспонированным тензором и обозначается . Матрица транспонированного тензора в любой системе координат транспонирована по отношению к матрице тензора . Единичный тензор. Рассмотрим символ Кронекера и из его значений составим матрицу. Подвергнем ее тензорному преобразованию: (75) т.е. матрица не изменяется. Символ Кронекера образует так называемый единичный тензор 2-го ранга . В любой координатной системе он изображается одной и той же единичной матрицей: (76) Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-10; Просмотров: 3298; Нарушение авторского права страницы