Число ударов молекул о стенку сосуда

Получим формулу для вычисления числа ударов молекул в единицу времени о единичную площадь стенки сосуда, в котором находится газ.

Возьмем на стенке сосуда, бесконечно малую площадку dS, перпендикулярную оси Z системы координат XYZ ( рис. 8). На этой площадке, как на основании, построим бесконечно узкий цилиндр с осью, имеющей направление, определяемое сферическими углами j и J, идлина которой равна ndt, где n – скорость молекулы, dt – промежуток времени. Объем этого цилиндра

, (1.4.1)

а число молекул в нем dn = ndV, где n – концентрация молекул в сосуде. Из-за хаотичности движения не все dn молекул достигнут площадки dS за время dt. Ее достигнут только те из молекул, которые, во-первых, движутся в направлении к площадке dS и, во-вторых, имеют скорости, близкие к n, при этом за время dt они проходят расстояние ndt, равное длине образующей цилиндра, и достигают площадки dS.

И если к моменту времени t эти молекулы находились в объеме dV цилиндра, тогда время от t до t + dt все они достигнут площадки dS. Найдем число таких молекул в объеме dV цилиндра.

Р и с. 9

Обозначим через dn_u число молекул в единице объема газа, которые имеют скорости, заключенные в интервале (u, u + du). Пусть среди этих молекул dn_uJj молекул в единице объема име­ют направления движения, определяемые сферическими углами, взяты­ми из интервалов (j, j + dj) и (J, J + dJ). Согласно формуле (1.3.5), количество таких молекул в единице объема газа равно

(1.4.2)

Число же указанных молекул в объеме dV рассматриваемого цилинд­ра

(1.4.3)

С учетом формул (1.4.1) и (1.4.2) выражение (1.4.3) примет вид

(1.4.4)

Таким образом, среди всех молекул, находящихся в объеме dV цилиндра, dn_{u, J, j} молекул имеют близкие к u скорости, и их направления движения определяются углами, близкими к углам J и j. Однако из объема V, занимаемого газом, к площадке dS подлетают молекулы с других направлений и с иными скоростями. Чтобы учесть это, необходимо проинтегрировать выражение (1.4.4) по всем возможным углам jи J и скоростям u:

(1.4.5)

Сферический угол J в общем случае изменяется от 0 до p. В выражении (1.4.5) интегрирование по J произведено от 0 до p/2, так как при интегрировании по J в пределах от p/2 до p рас­сматриваемые молекулы, как легко видеть из рис. 9, будут иметь на­правление движения, соответствующее их удалению от площадки.

Разделив обе части соотношения (1.4.5) на dtdS, получим

(1.4.6)

Таким образом, выражение (1.4.6) определяет число ударов молекул га­за в единицу времени о единичную площадку стенки сосуда.

Для выяснения смысла величины интеграла в выражении (1.4.6) умножим и разделим его на концентрацию молекул n = N/V.

(1.4.7)

Если обозначить через dN_u число молекул в объеме V, которые имеют скорость от u до u + du, то dn_u = dN_u /V будет опре­делять число таких молекул в единице объема газа. Величина же

(1.4.8)

при больших N представляет собой вероятность того, что случайно взятая в газе молекула будет иметь скорость, заключенную в ин­тервале (u, u+du). Эта вероятность связана с функцией распре­деления (плотностью вероятности) следующим соотношением (см. А.23 прил. А):

(1.4.9)

Функция распределения молекул по скоростям F(u) является важ­нейшей характеристикой равновесного состояния газа. Ее явный вид будет получен далее из весьма общих предпосылок.

С учетом формул (1.4.8) и (1.4.9) выражение (1.4.7) примет вид

(1.4.10)

Интеграл, стоящий в соотношении (1.4.10), представляет среднее зна­чение скорости (см. формулу А.25 приложения А):

(1.4.11)

Поэтому

(1.4.12)

 

Как видно из выражения (1.4.12), число ударов молекул газа в единицу времени о единичную площадку пропорционально концентрации и средней скорости их движения, что находится в полном согласии с нашей интуицией.

 

Пример

1. В космическом корабле находится воздух объема V с концентрацией n₀, поддерживаемый при постоянной температуре. За бортом корабля вакуум. Найти зависимость концентрации молекул воздуха в корабле от времени, если в тонкой части его стенки образовалось малое отверстие площадью S?

Решение. Пусть через время t после образования отверстия кон­центрация воздуха в корабле стала равной n(t). Тогда число молекул воздуха, влетающих в отверстие площади S за время dt (от момента t до t + dt), согласно формуле (1.4.5)

dn= n(t)< u > Sdt. (1.4.13)

Эти молекулы покидают кабину корабля. С другой стороны, это число молекул можно выразить иначе. Изменение концентрации воздуха в корабле за время dt (от t до t + dt)

Откуда находим

dn = –Vdn. (1.4.14)

 

Сравнивая выражения (1.4.13) и (1.4.14), получаем

(1.4.15)

Проинтегрируем равенство (1.4.15):

Откуда находим искомую зависимость концентрации от времени

(1.4.16)

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Бинарное числовое расширение
2. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что на них выпали грани с одинаковым числом очков?
3. Вклад различных видов энергии в общую энергию притяжения молекул
4. Влияние обрезки скелетных корней и ветвей на рост побегов, число и размеры листьев у деревьев (Казарян, 1968)
5. Глава 1. Основы молекулярно – кинетической теории идеального газа
6. Глава 3. Молекулярная физика и термодинамика
7. Движение жидкости через стенку капилляра
8. Зависимость между ценой на билеты на дискотеку и числом посетителей
9. Инициация-соед-е 2ух субъед.рибосом в единое целое, встраив-е между ними молекулы и РНК. В анимиоацильном центре оказ-я кодом инициации кодир.а.к метианин.
10. ИОННО-МОЛЕКУЛЯРНЫЕ (ИОННЫЕ) РЕАКЦИИ ОБМЕНА
11. КОНФИГУРАЦИЯ И КОНФОРМАЦИЯ БЕЛКОВОЙ МОЛЕКУЛЫ
12. Методика 14. Числовой субтест теста Айзенка