Экспериментальная проверка распределения молекул по абсолютным значениям скорости

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 10Следующая ⇒

В 1920 г. О. Штерн разработал метод атомных (молекулярных) пучков и с его помощью экспериментально измерил скорость теплового движения молекул газа, а также проверил распределение Максвелла. Установка Штерна состояла из двух коаксикальных цилиндров, на оси которых находилась платиновая проволока, покрытая слоем серебра. (рис. 17). В приборе создавался высокий вакуум. При пропускании по проволоке тока она раскалялась и с ее поверхности испарялись атомы серебра, которые вылетали через узкую щель, проделанную во внутреннем цилиндре, и достигали стенки наружного цилиндра (в точке A на рис. 17).

Р и с.17

В результате образовывалась узкая серебряная полоска, являющаяся изображением щели. Затем весь прибор приводился во вращение вокруг оси цилиндров с постоянной угловой скоростью ω, при этом полоска смещалась в сторону противоположную вращению на величину ∆ =AA′ . Смещение возникало, потому что за время t пролета атомом серебра расстояния R-r цилиндр успевал повернуться на угол φ = Δ /R = ω t. Откуда определялось время t = ∆ /ω R, знание которого позволяло найти скорость атома серебра через измеримые параметры опыта:

Как следовало ожидать, полоска серебра в положении А^′оказывалась размытой из-за того, что атомы серебра имеют разные скорости: более быстрым атомам соответствуют меньшие, а более медленным – большие смещения Δ. Исследуя зависимость плотности серебра в размытой части от расстояния до точки A, нетрудно оценить распределение атомов серебра по скоростям. Полученное распределение хорошо согласовывалось со значениями, вычисленными по формуле (1.10.35).

Более совершенный метод по проверке закона Максвелла был реализован в 1929 г. Ламертом. В высоком вакууме вращаются, насаженные на общую ось, два круглых диска 1 и 2 с радиальными узкими прорезями (рис. 18), смещенными друг относительно друга на угол φ. Напротив прорези диска 1 находилась тигельная печь 3 с исследуемым веществом и диафрагма 4. Вся установка приводилась во вращение с постоянной угловой скоростью. Очевидно, атомы, вылетевшие со скоростью υ из печи, достигают мишени 5, если время их пролета расстояния между дисками t₁ = l/υ совпадает со временем t₂ поворота диска 2на угол φ, т.е. t₂= φ /ω. Из условия t₁ = t₂находим υ = lω /φ. Меняя угловую скорость вращения ω, можно выделить атомы с различными скоростями. Улавливая атомы, движущиеся с различными скоростями в течение равных промежутков времени, можно по толщине (плотности) осадка на мишени определить их относительное количество в пучке и тем самым проверить закон распределения Максвелла. Обработка экспериментальных результатов, полученных на установке Ламерта, показала полное согласие их с законом Максвелла.

Р и с. 18

Примеры

1. Используя явный вид функции , задаваемый выражением (1.10.33), доказать формулу (1.4.12).

Решение. Разделив обе части равенства (1.10.4) на объем V, занимаемый газом, получим

где – число молекул в единице объема, скорости которых заключены в интервале

Выберем в газе площадку dS, перпендикулярную оси X. Все молекулы, имеющие скорости от до и находящиеся в момент времени t в цилиндре с высотой и основанием dS, достигнут к моменту времени t+dt площадки dS (возможностью столкновений этих молекул с другими молекулами в течение времени dt , очевидно, можно пренебречь). Число таких молекул в объеме указанного цилиндра равно

Количество молекул с любыми проекциями скоростей , ударяющихся о площадку dS за время dt равно

Искомое число молекул газа, падающих в единицу времени на единичную площадку, равно

2.С помощью плотности вероятности , определяемой формулой (1.10.33), показать, что давление газа p=nkT, где T и n температура и концентрация газа соответственно.

Решение. Направим ось X перпендикулярно бесконечно малой площадке dS, расположенной на стенке сосуда. При ударе одной молекулы о площадку dS стенка получает импульс силы равный

где – проекция на ось X силы, действующей на стенку молекулой массой и скоростью в течение времени dt.

Очевидно, к моменту времени t + dt о площадку dS ударятся все молекулы, которые в момент времени t находились в цилиндре с объемом и имели скорости в интервале от до . Число таких молекул равно

Суммарный импульс силы и давление, создаваемое этими молекулами, соответственно равны:

Полное давление получим, если просуммируем последнее выражение по всем проекциям от нуля до бесконечности:

3. Определить наиболее вероятное значение кинетической энергии молекул газа, которые имеют одинаковые массы и находятся при температуре T.

Решение. Найдем прежде всего распределение молекул по кинетическим энергиям , используя распределение по величине скорости (1.10.35). Так как кинетическая энергия является монотонно возрастающей функцией величины скорости, то для нахождения распределения можно воспользоваться формулой (А.71) приложения А:

Подставляя сюда вместо его выражение (1.10.35), получим

Учитывая, что в левой части последнего соотношения

найдем, что

Наиболее вероятное значение кинетической энергии находится из уравнения . Дифференцирование дает:

Откуда

Кинетическая же энергия, соответствующая наиболее вероятной скорости , равна

т. е. в два раза больше наиболее вероятного значения кинетической энергии.

4. Найти распределение молекул по дебройлевским длинам волн. Вычислить наиболее вероятную дебройлевскую длину волны для газа, состоящего из атомов аргона при температуре Т = 293 K. (Волна де Бройля отображает корпускулярно-волновой дуализм, присущий всем без исключения видам материи электронам, протонам, атомам, молекулам и т. д., а также квантовую природу этих частиц. Длина волны де Бройля определяется по формуле , где и – масса и скорость частицы соответственно, а – постоянная Планка).

Решение. Переход от максвелловского распределения по скоростям к распределению по дебройлевским длинам волн осуществляется с помощью соотношения (А.73) приложения А:

Подставляя в это соотношение из (1.10.35) и учитывая, что

найдем

где .

Наиболее вероятную дебройлевскую длину волны находим из уравнения Это дает

5. Доказать, что распределение интенсивности по частотам излучаемого света атомами массой , находящихся в газообразном состоянии при температуре T, имеет вид: , где – интенсивность света, соответст-вующая собственной частоте излучаемого атомами света, , c – скорость света. Найти относительную ширину данной спектральной линии, т. е. ширину линии на половине ее высоты.

Решение. Будем считать, что наблюдатель света, излучаемого атомами, покоится относительно монохроматора, с которым связана система координат. Положительное направление оси X направим к наблюдателю. Если атом покоится относительно выбранной системы координат и излучает свет, то наблюдатель фиксирует собственную частоту . Если же атом, излучая свет, приближается к наблюдателю со скоростью , то он фиксирует увеличение частоты; если же атом, излучая свет, удаляется со скоростью , то наблюдатель отмечает уменьшение частоты света. Этот эффект, называемый эффектом Доплера, описывается количественно формулой

где v – частота, воспринимаемая движущимся со скоростью наблюдателем, – проекция на ось X скорости атома, c – скорость света. Так как в нашем случае скорость наблюдателя , то

Умножив числитель и знаменатель последнего равенства на и пренебрегая величиной по сравнению с единицей, получим

Из последнего соотношения видно, что при частота, воспринимаемая наблюдателем, ; при частота . Учитывая, что , а также что распределение Максвелла

из равенства находим распределение излучаемого света по частотам

Интенсивность излучаемого атомами света, очевидно, пропорциональна , т. е.

где Величина A является коэффициентом пропорциональности между и .

Найдем ширину полосы частот принимаемого света. Эту полосу определим из уравнения , т. е.

После логарифмирования, находим

Откуда

6. В опыте французского физика Ж. Перрена частицы эмульсии органической краски гуммигута, имеющие диаметр d =0, 6 мкми плотность образовывали в воде взвесь, распределенную по высоте по закону Больцмана. Сделав с помощью микроскопа большое число микрофотограмм частиц гуммигута, находящихся в очень тонких слоях, отстоящих друг от друга на , Ж. Перрен обнаружил, что в среднем их число в этих слоях отличаются в l = 2 раза. Температура воды, при которой производился опыт T = 290 K. Определить из опытных данных Ж. Перрена постоянную Больцмана.

Решение. На частицу гуммигута массы действуют сила тяжести и сила Архимеда , где – масса вытесненной частицей воды, g – ускорение свободного падения. Результирующая сила постоянна, поэтому потенциальная энергия в поле этой силы

Частицы гуммигута, благодаря своему весу, существенно уменьшенному силой Архимеда, стремятся занять положение с минимумом потенциальной энергии однако тепловое движение препятствует этому тяготению и распределяет их с экспоненциально убывающей с высотой концентрацией (1.13.18):

Так как по условию задачи то

где . Логарифмируя, находим постоянную Больцмана

Учитывая, что где получим

где , – плотность воды при T = 290K. Вычисления дают

1.16. Флуктуации. Теорема об относительной флуктуации

Флуктуацией называют случайное отклонение физических величин от их средних значений. За количественную меру флуктуации принимают среднеквадратическое значение случайной величины свойства которой рассмотрены в параграфе А.7 приложения А.

Флуктуации макроскопических величин вызываются беспорядочным тепловым движением молекул, образующих рассматриваемую систему.

Даже в состоянии равновесия наблюдаемые физические величины испытывают флуктуации около своих средних значений. Это легко заметить на опыте при измерении, например, величины давления равновесного состояния газа двумя разными манометрами: быстродействующим (чувствительным) и инерционным (грубым) (рис. 19).

Р и с. 19

Из рис. 19 видно, что инерционный манометр показывает постоянное, равное среднему, давление, тогда как быстродействующий, успевая реагировать на малые изменения действующей на него силы, обнаруживает колебания около среднего значения.

Появляется законный вопрос, в какой мере вычисленное теоретически среднее значение заменяет истинное, меняющееся во времени давление. Такой же вопрос можно задать относительно любой другой макроскопической величины, например, энергии системы молекул: насколько хорошо средняя энергия характеризует фактическую или истинную энергию.

Ответ на поставленную проблему дает следующая теорема: если система состоит из N невзаимодействующих молекул, то относительная флуктуация любой аддитивной физической величины Ф, значение которой для всей системы в целом равно сумме ее значений φ _i для всех молекул, убывает обратно пропорционально корню квадратному из числа молекул в системе. Докажем это утверждение.

Рассмотрим аддитивную величину Ф, например, суммарную кинетическую энергию хаотического теплового движения N молекул. Тогда

где – кинетическая энергия i-й молекулы. Среднее значение

(1.16.1)

так как в состоянии равновесия для одинаковых молекул их средние равны, т. е.

При вычислении дисперсии величины Фучтем, что дисперсия суммы независимых (невзаимодействующих) величин равна сумме их дисперсий (см.свойства дисперсии в приложении А), т. е.

. (1.16.2)

Извлекая корень квадратный из обеих частей (1.16.2), получим соотношение для среднеквадратических величин, т. е.

. (1.16.3)

Таким образом, абсолютная флуктуация аддитивной величины Ф растет пропорционально . Однако важна не абсолютная флуктуация величины Ф, существенным является во сколько раз она меньше среднего значения Ф, возле которого происходят эти флуктуации, т. е. имеет значение относительная флуктуация:

. (1.16.4)

Подставляя (1.16.1) и (1.16.3) в (1.16.4), получим

(1.16.5)

Из соотношения (1.16.5) следует, что относительные флуктуации всех физических величин, значения которых для всей системы равно сумме значений их для всех молекул, обратно пропорционально корню из числа частиц в системе. Так как число молекул в макроскопической системе обычно порядка числа Авогадро ( ), то , что является ничтожно малой величиной. Это означает, что величина флуктуации меньше среднего значения примерно в 1012 раз. Если обратиться к рис. 19, то такие флуктуации давления невозможно изобразить ни в каком линейном масштабе: они просто сольются с прямой, соответствующей . Поэтому можно утверждать, что средние значения макроскопи-ческих величин Ф при большом числе молекул в рассматриваемой системе совпадают с их истинными (измеримыми на опыте) значениями. Однако, если число молекул в рассматриваемой системе невелико, то истинное значение Ф будет существенно отличаться от среднего значения Ф.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8910 Следующая ⇒