Обыкновенные и полагающие аннуитеты

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 9Следующая ⇒

Текущую стоимость аннуитета Р определяют как сумму, эквивалентную всей серии платежей, на момент начала аннуитета. Итоговую стоимость S – как сумму, эквивалентную всей серии платежей, на конец аннуитета.

Для обыкновенного аннуитета:

, (5.1)

, (5.2)

где B – величина платежа; n – число периодов.

Поскольку (5.1) и (5.2) – это суммы возрастающей и убывающей геометрических прогрессий со знаменателем (1 + i), то формулы можно представить в виде:

, (5.3)

. (5.4)

Пример 5.1. Пусть величина платежа B равна 10 тыс. руб., i = 5 %, число периодов n = 12. Найти P и S в случае обыкновенного аннуитета.

руб.

Стоимости P и S являются эквивалентами суммами, связанными следующими соотношениями:

, . (5.5)

Эти стоимости заменяют всю серию платежей на начало срока и окончание срока соответственно. В примере (5.1) вместо суммы 120 тыс. руб., распределенной на 1 год, одноразовая эквивалентная плата на начало покупки составит 88 632 руб., а на момент окончания выплаты она будет 159 171 руб.

Если, кроме периодических платежей В, был осуществлен первоначальный взнос в сумме В₀, то получим:

, (5.6)

, (5.7)

поскольку цена денег на момент окончания выплат возрастает по формуле сложных процентов.

Пример 5.2. Работник делает ежеквартальные вклады по 10 тыс. руб. на депозит в банк с нормой процента 5 %, которые начисляются поквартально. Какую сумму он будет иметь через 5 лет?

По формуле (5.2) получим (n = 5 ∙ 4 = 20):

руб.

Если к началу аннуитета на счете работника уже было В₀ = 50 тыс. руб., то через 5 лет получим (n = 5 ∙ 4 = 20):

руб.

Иногда считают, что срок аннуитета исчисляется от даты первого платежа (полагающий аннуитет). В этом случае платежи производят в начале периода. Получаем:

, (5.8)

отсюда

. (5.9)

Аналогично

. (5.10)

Определение платежей аннуитета и процентной ставки

Уравнения (5.6) и (5.7) связывают текущую стоимость Р, итоговую стоимость S, платежи В и процентную ставку i. Разрешая эти уравнения относительно В или n, получают зависимости для определения величины платежей или числа периодов платежей.

; (5.11)

; (5.12)

; (5.13)

. (5.14)

Пример 5.3. Банк начисляет 5 % в год. Какой величины нужно делать ежеквартальные вклады, чтобы накопить через 5 лет 500 тыс. руб.

По формуле (5.12):

; ; руб.

Пример 5.4. Сколько раз нужно делать платежи, чтобы выплатить кредит в сумме 100 тыс. руб., делая ежемесячные взносы по 5000 руб. при ставке кредита 2 % в месяц?

По формуле (5.13):

i = 0, 02; P = 100000; B = 5000;

Решение уравнения обычно дает не целые значения для числа периодов n. В этом случае следует округлить результат до меньшего целого и определить величину последнего платежа. В примере 5.4 необходимо найти величину 26-го платежа B₂₆. Используя уравнение эквивалентности для конца 25-го периода, получим:

, (5.15)

откуда

. (5.16)

Тогда получим величину последнего платежа для примера 5.4:

руб.

В случае, если возникают задачи по определению необходимой процентной ставки i при известных платежах В и числе периодов n, то для достижения известного результата P или S можно воспользоваться уравнениями (5.6) и (5.7). Однако аналитического решения для i эти уравнения не имеют и могут быть решены лишь численно.

Пример 5.5. Какова должна быть процентная ставка для того, чтобы кредит в размере 100 тыс. руб. был оплачен за 20 платежей, каждый в размере 10000 руб.?

, или i = 7, 75 %.

Инвестиции

Инвестиция – расходование ресурсов в расчете на получение доходов в будущем по истечении достаточно длительного периода времени. Любая инвестиция подвержена риску в том смысле, что надежда на получение дохода может и не оправдаться. Различают 2 вида инвестиций: финансовые и реальные. Первые представляют собой вложения капитала в долгосрочные финансовые активы (акции, облигации); вторые – в развитие материально-технической базы предприятий производственной и непроизводственной сферы. В России реальные инвестиции называют капитальными вложениями [7, с. 28–37].

Чистый приведенный доход (ЧПД)

ЧПД – текущая стоимость денежных потоков за вычетом текущей стоимости денежных оттоков. Расчет данной величины предусматривает дисконтирование денежных потоков, т. е. все доходы и затраты приводятся к одному моменту времени. ЧПД – это обобщенный конечный результат инвестиционной деятельности в абсолютном измерении.

При разовой инвестиции ЧПД рассчитывается таким образом:

, (6.1)

где R_k – годовой доход в k-м году; n – число лет, в течение которых поступают доходы; i – процент дисконтирования; I – величина начальных инвестиций.

Выбор ставки дисконтирования – важный момент. Она должна отражать ожидаемый усредненный уровень ссудного процента на финансовом рынке. Для определения эффективности инвестиционного проекта отдельной фирмы в качестве ставки дисконтирования используют средневзвешенную цену капитала, используемого фирмой для финансирования данного инвестиционного проекта.

Если проект предполагает не разовую инвестицию, а последовательные инвестирования финансовых ресурсов течение m лет, то формула будет такой:

, (6.2)

где I_j – инвестиции в j-м году.

ЧПД оценивает, на сколько приведенный доход перекрывает приведенные затраты. Если D ≤ 0, то проект не имеет прибыли.

Одно из важных свойств ЧПД состоит в том, что ЧПД разных проектов можно суммировать, поскольку данный показатель аддитивен во времени. Это позволяет использовать его при анализе оптимальности инвестиционного портфеля.

Пример 6.1. Предприятие осуществляет инвестиционный проект на 5 лет при ежегодной инфляции 10 %. Затраты и доходы по годам прогнозируются в следующем виде:

Годы, j
Затраты, I_j, руб.	100 000	50 000	30 000	20 000	10 000
Доходы, R_k, руб.		50 000	100 000	100 000	50 000

Найти ЧПД.

руб.

Если просто суммировать доходы и инвестиции без учета дисконтирования то, расходы составят 210 тыс. руб., а доходы – 300 тыс. руб., прибыль – 90 тыс. руб.

Срок окупаемости

Срок окупаемости – минимальное целое число лет, необходимых для возмещения стартовых инвестиций. Найти его можно из формулы:

. (6.3)

Для данных из примера 6.1 срок окупаемости N_ок найдем следующим образом:

; ; .

Таким образом, N_ок = 4 года.

При необходимости более точного определения срока окупаемости можно воспользоваться линейной интерполяцией:

, (6.4)

где – первый положительный ЧПД; – доход в предшествующем году. Для примера 6.1 получим

года.

Если доходы можно представить в виде аннуитета, то

. (6.5)

Так как логарифма отрицательного числа не существует, то необходимо выполнение условия:

. (6.6)

Пример 6.2. Вложения I = 10 000 руб. принесут ежегодный доход R = 1000 руб. при инфляции 5 %. Найти срок окупаемости этих вложений.

лет.

Без учета инфляции срок окупаемости составил бы лет.

Функция риска

Если ожидаемый ЧПД удовлетворяет условию

, (6.7)

где – минимальная допустимая величина дохода, то проект может быть принят. Поскольку при расчете ЧПД всегда сталкиваются с неопределенностью, например, при нахождении ставки дисконтирования i и величины ожидаемого дохода R, то для оценки возможности того, что действительный доход окажется ниже критического , вводят функцию риска F_r.

Если известны вероятностные характеристики D, то функцию риска F_r можно определить как вероятность того, что доход D окажется меньше :

, (6.8)

где F(D) – функция распределения вероятностей случайной величины D. Эта функция является интегралом от функции плотности f(x) распределения вероятностей случайной величины:

. (6.9)

Для равномерно распределенной случайной величины на интервале , где – максимально возможный доход. Эта функция указывает на равную вероятность получения любого дохода из этого интервала. В данном случае функции риска будет:

, (6.10)

и риск возрастает линейно от 0 (при ожидании минимально возможного дохода) до 1 (при ожидании максимально возможного дохода).

Часто в реальных расчетах используют нормальное распределение с плотностью

. (6.11)

В этом случае вероятность того, что случайная величина X не превзойдет уровня , определяют по интегралу Лапласа:

. (6.12)

Этот интеграл вычисляется численно.

Можно определить величину , необходимую для достижения заданного риска, решив уравнение

, (6.13)

где R – величина допустимого риска.

Например, для m = 2 и R = 0, 1 получим = 0, 78 – величина среднеквадратического отклонения, обеспечивающая 10-процентный риск.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 789 Следующая ⇒