Производная. Применение производных для исследования функций

Предел

	ВОПРОС		ОТВЕТ
	Функция y = f(x) имеет пределом		Функция y = f(x) имеет пределом число А при стремлении х к а, если для каждого числа е> 0 найдется такое число δ > 0, что |y— A|< е, при | х —a|< δ
	Математическая запись предела
	Предел постоянной величины		limА=А
	Предел суммы (разности) конечного числа функций
	Предел частного двух функций
	Предел произведений конечного числа функций		при lim φ (x)≠ 0
	Чему равен замечательный предел:
	Чему равен замечательный предел:

 

Производная. Применение производных для исследования функций

	ВОПРОС		ОТВЕТ
	Производной функции f(x)называется		Производной функции f(x)называется предел отношения приращения функции Δ у к приращению аргумента Δ х в точке хпри стремлении Δ х к нулю:
	Математическая запись производной
	Производная постоянной величины у=С:		ý =0;
	Производная степенной функции у = хμ :		ý =μ xμ -1
	Производная показательной функции у = аx: в частности, если у = ех		ý =axlna; ý = еx;
	Производная логарифмической функции y=logax
	Производная натурального логарифма у = lnх
	Производная тригонометрической функции y=sinx		y'=cosx;
	Производная тригонометрической функции y=cos x		ý =— sin x;
	Производная тригонометрической функцииy = tgx
	Производная тригонометрической функцииy = ctgx
	Производная обратной тригонометрии-ческой функции y=arcsinx
	Производная обратной тригонометрии-ческой функции y=arccosx
	Производная обратной тригонометрии-ческой функции y=arctgx
	Производная обратной тригонометрии-ческой функции y=arcctgx
	Производная суммы (разности) функций y = w±u		y' = u'±v'
	Производная произведения двух функций y=uv		y' = u'v + v'u.
	Производная частного двух функций y=u/v
	Производная сложной функции y = f1(u), если u = f2(x),		у'x = у'ии'x
	Условие возрастания функции y = f(x)на отрезке [а, b]		f'(x)> 0
	Условие убывания функции y=f(x)на отрезке [а, b]		f'(x)< 0
	Условие максимума функции y=f(x)при x= а		f'(a)=0 и f'' (a)< 0
	Условия функции экстремума		Если при х=а производные f'(а) = 0 и f" (а) = 0, то необходи­мо исследовать f'(x)в окрестностях точки x = а. Функция у=f(х)при х=а имеет максимум, если при переходе через точку х= а производная f'(x)меняет знак с «+» на «-», в случае минимума — с « - » на «+» Если f'(x)не меняет знака при переходе через точку х = а, то в этой точке у функ­ции экстремума нет

 

Дифференциал функции. Применение

Дифференциала в приближенных вычислениях

 

	ВОПРОС		ОТВЕТ
	Дифференциал независимой переменной равен		ее приращению: dx=Δ x
	Дифференциал функции y=f(x)		dy = у' Δ х
	Дифференциал суммы (разности) двух функций y=u±v		dy=du±dv
	Дифференциал произведения двух функций у=uv		dy = vdu+udv.
	Дифференциал частного двух функций y=u/v
	Приращение функции через дифференциал		Δ y = f(x + Δ x) - f(x) ≈ dy ≈ f'(x) • Δ x где Δ x: — приращение аргумента
	Приближенное вычисление значения функции:		f(x + Δ x) ≈ f(x) + f'(x) • Δ x
	Дифференциал применяется для вычисления абсолютной и отно­сительной погрешностей при косвенных измерениях u = f(x, у, z.). Абсолютная погрешность результата измерения
	Относительная погрешность результата измерения

 

 

Неопределенный интеграл

	ВОПРОС		ОТВЕТ
	первообразной данной функции f(x) называется		Функция F(x), имеющая данную функцию f(x)своей производной или f(x)dxсвоим дифференциалом, называется первообразной данной функции f(x).
	неопределенным интегра­лом называется		Совокупность всех первообразных функций для дифференциала f(x)dxназывается неопределенным интегра­лом и обозначается символом ∫ f(x)dx.
	Интеграл ∫ xμ dx равен		xμ +1/ (μ +1) +C (μ ≠ -1)
	Интеграл ∫ dx/x равен		ln|x|+C
	Интеграл ∫ axdx равен		ax/lna +C
	Интеграл ∫ exdx равен		ex+C
	Интеграл ∫ sin x dx равен		-cos x +C
	Интеграл ∫ cos xdx равен		sin x +C
	Интеграл ∫ dx/cos2x равен		tgx+C
	Интеграл ∫ dx/sin2x равен		-ctgx+C
	Интеграл ∫ dx равен		х+С
	Интеграл ∫ arc sinxdx равен
	Интеграл ∫ arc cosxdx равен		-
	Интеграл ∫ arc tgxdx равен
	Интеграл ∫ arc ctgxdx равен		-
	Интеграл ∫ tgxdx равен		Lncosx+C
	Интеграл ∫ ctgxdx равен		- Lnsinx+C
	Интегрирование по частям		∫ udv = uv—∫ vdu.
	Найти у = ∫ Ln хdх.		Полагаем и=Lпх, dv = dx, тогда , v = x Используя формулу интегрирования по частям, получаем   у = ∫ Ln xdx = x Ln х-∫ dх = xLnx-x+C
	Интегрирование методом замены переменных Найти у= ∫ (1+ 2x2)dx		Заменим l+2x=z, Тогда y=0, 5∫ z2dz Возвращаясь к прежней переменной х, окончательно имеем

 

 

Определенный интеграл

	ВОПРОС		ОТВЕТ
	Интегральная сумма		∑ f(ki)Δ xi ( от i=1 до n ) где ki — произвольная точка соответствующего отрезка
	Определенный интеграл функции f(x) на отрезке [а, b]
	Формула Ньютона — Лейбница		где F′ первообразная функцию f(x), т е F′ (x)=f(x)
	свойства определенного интеграла
	свойства определенного интеграла
	свойства определенного интеграла
	Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью абсцисс и прямыми х=а и х=b,
	Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми y=.f1(x)и у = f2(x) [ f'2(x)≥ f1(x)]и двумя прямыми х=а и х=b,

 

Дифференциальные уравнения

	ВОПРОС		ОТВЕТ
	Общий вид дифференциального уравнения		F(x, y, y′, y″, …yn) = О
	Общee решение дифференциального уравнения		y=f(x, C1, C2, , Сn)
	Общий вид дифференциального уравнения первого порядка		F(x, y, y') = 0
	Общее решение дифференциального уравнения первого порядка		y= f(x, C)
	Дифференциальное уравнение типа y'=f(x) , dy = f(x)dx Общее решение		y=∫ f(x)dx=F(x)+C
	2 Дифференциальное уравнение типа у' = f(y) , Общее решение
	Дифференциальное уравнение с разделенными переменными f(x) dx + φ (y)dy = 0 Общее решение		∫ f(x) dx + ∫ φ (y)dy = C, F(х) + Ф(у) = С
	Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными f(x)φ (y)dx+ψ (x)Ф(y)dy=0 Приведем это уравнение к уравнению с разделенными переменными Общее решение		F1(x)+F2(y)=C

 

 

МЕХАНИКА Кинематика

	ВОПРОС		ОТВЕТ
	Средняя скорость точки		определяется отношением пути, пройденного точкой, ко времени, в течение которого этот путь прой­ден:
	Физическая величина, характеризующая изменение скорости за единицу времени		на­зывается средним ускорением: , где V и V0 — конечная и начальная скорости движения.
	В общем случае мгновенная скорость прямолинейного движения
	В общем случае мгновенное ускорение прямолинейного движения
	В случае прямолинейного равноперемен­ного движения скорость равна		где V и V0 — конечная и начальная скорости движения.
	Путь, пройденный точкой при равнопере­менном движении равен
	При криволинейном движении точки абсолютная величина полного ускорения равна		где тангенциальное (касательное) ускорение; нормальное (центростремительное) ускорение, где V0 - скорость движения; R — радиус кривизны траектории.
	Простейшим видом криволинейного движения является		рав­номерное движение точки по окружности. При таком движении тангенциальное ускорение aτ = 0, нормальное ускорение, называе­мое в этом случае центростремительным, аn = const.
	Если точка движется по кругу радиуса R с линейной ско­ростью V, делая за время t n оборотов, то скорость равна		, где - угловая скорость
	Кинематическими характеристиками вращательного движения тел служат		угловое перемещение, угловая скорость и угловое ускорение
	Угловым перемещением φ		называется центральный угол, соответствующий дуге, пройденной движущейся точкой.
	Средняя угловая скорость ω ср и среднее угловое ускорение ε ср определяются		аналогично средней скорости и среднему ускоре­нию прямолинейного движения, т. е. и где ω и ω 0 — конечная и начальная скорости углового движения.
	В общем случае угловая скорость криволинейного движения равна
	В общем случае угловое ускорение криволинейного движения равна
	В случае вращательного равноперемен­ного движения угловая скорость равна
	Угловое перемещение, пройденное точкой при равнопере­менном вращательном движении равно
	тангенциальное (касательное) ускорение; нормальное (центростремительное) ускорение, где V0 - скорость движения; R — радиус кривизны траектории связаны с угловыми характеристиками соотношениями
	Изменение количества движения тела за определенный про­межуток времени равно		Импульсу действующей силы (второй закон Ньютона): dk = Fdt, где dk — изменение количества движения. F — равнодействующая всех сил, приложенных к телу массой т; dt — промежуток времени, в течение которого на тело действовала сила
	Количество движения равно		произведению массы тела на скорость его движения v, т. е. k = mv
	Если масса тела постоянна, то второй закон динамики можно представить в виде		где а — ускорение, приобретаемое телом массой m под действием силы F.
	Тело массой m, движущееся поступательно со скоростью V, обладает кинетической энергией
	Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли (потенциальная энергия тела, находящегося на поверхности Земли, принимается равной нулю)		, где h — высота поднятия тела над поверхностью Земли; g - ускорение свободного падения.
	Работу силы F при перемещении тела на пути s определяют по формуле
	Работа постоянной силы выражается произведением силы, действующей в направлении перемещения, на величину этого перемещения s:		А = Fs cos a, где а — угол между направлением действия силы и направле­нием перемещения
	Если тело массой m изменило свою скорость под действием силы от V1 до V2, то работа силы равна
	Мощность определяется по формуле
	в случае постоянной мощности, мощность определяется по формуле		где А — работа, совершаемая за время t
	Центростремительная сила, действующая на тело, движу­щееся по кривой равна		где R — радиус кривизны. В случае движения тела по окруж­ности он равен радиусу этой окружности.
	Момент силы относительно оси вращения равен		произведе­нию силы F на плечо I: , где l— кратчайшее расстояние от оси вращения до линии дейст­вия силы.
	Момент инерции J материальной точки равен		произведению массы m материальной точки на квадрат расстояния r этой точки от оси вращения: J=mr2
	Момент инерции твердого тела равен		где интегрирование должно проводиться по всему объему тела
	Если для какого-либо тела известен его момент инерции J0 от­носительно оси, проходящей через центр тяжести, то момент инерции J относительно любой оси, параллельной первой, может быть найден по формуле		J = J0 + mа2, где а — расстояние от центра тяжести тела до оси вращения; m — масса тела.
	Момент инерции однородного шара радиусом R, массой m относи­тельно оси, проходящей через центр массы:
	Момент инерции однородного цилиндра с внутренним радиусом r и внешним R (ось враще­ ния совпадает с геометрической осью цилиндра), массой m относи­тельно оси, проходящей через центр массы:
	момент инерции: тонкостенного цилиндра (R≈ г)		J=mR2
	момент инерции: сплошного цилиндра (г=0)
	момент инерции: тонкого стержня длиной l (ось вращения проходит перпенди­кулярно стержню через его середину)
	Изменение момента количества движения dL		пропорционально величине приложенного момента силы и времени его действия (основное уравнение динамики вращательного движения): dL = Mdt, где dL — изменение момента количества движения. М — момент силы, приложенной к телу; dt — промежуток времени, в течение ко­торого на тело действовала сила.
	Момент ко­личества движения L равен		произведению момента инерции / на угловую скорость вращения ω 0, т. е. L = Jω 0
	Момент импульса (момент количества движения) материальной точки		Li=miviri
	Момент импульса тела
	Если момент инерции тела постоянен, то основное уравне­ние динамики вращательного движения можно записать в виде		Jdω 0 = Mdt или М =Jε, где ε — угловое ускорение.
	Для изолированного тела, способного изменять момент инер­ции при вращении, закон сохранения момента количества дви­жения можно записать так		L = const или Jω 0 = const
	Кинетическая энергия вращающегося тела
	Кинетическая энергия тела, вращающегося с угловой ско­ростью ω вокруг оси, при поступательном движении оси со ско­ростью v равно
	Элементарная работа во вращательном движении равна		dA=Mdφ где М — момент силы, приложенной к телу.
	Работа силы при вращательном движении равна		где углы φ 1 и φ 2 соответствуют начальному и конечному положе­ниям радиуса-вектора любой точки твердого тела.
	Сила, действующая на частицу со стороны окружающей жидко­сти, при центрифугировании равна		F1 = ρ 0Vω 2r, где ρ 0 — плотность жидкости, V — объем частицы, ω — угловая скорость вращения, r — расстояние частицы от оси вращения.
	Сила, действующая на частицу при ее движении по окружности при центрифугировании равна		F = ρ 1Vω 2r, где ρ 1 — плотность вещества частицы.
	При центрифугировании если сила, действующая на частицу со стороны окружающей жидко­сти F1 не равна силе, действующей на частицу при ее движении по окружности F, т.е. F1> F то		происходит перемещение частицы в направлении к оси вращения
	При центрифугировании если сила, действующая на частицу со стороны окружающей жидко­сти F1 не равна силе, действующей на частицу при ее движении по окружности F, т.е. F1<.F то		происходит перемещение частицы в направлении от оси вращения

 

ТЕПЛОТА

Реальные газы и пары

 

	ВОПРОС		ОТВЕТ
	уравнение Ван-дер-Ваальса		Уравнение состояния реальных газов для одного киломоля где а и b — поправки Ван-дер-Ваальса, рассчитанные на кило-моль газа; V0 — объем одного киломоля газа.
	Уравнение состояния реальных газов для любой массы		где V — объем, занимаемый газом; m— масса газа, кг. Ненасыщенные пары подчиняются основным законам идеаль­ных газов.Параметры каждого состояния насыщенного пара связаны между собой уравнением Менделеева — Клапейрона. Масса насыщенного пара, входящего в это уравнение, зависит от температуры и для двух различных состояний не может иметь одинакового значения, поэтому зависимость давле­ния насыщенного пара от температуры выражается более слож­ным законом и обычно дается в виде таблицы упругости на­сыщенных паров.
	Согласно закону Дальтона, давление воздуха, содержащего водяной пар		складывается из давления сухого воздуха рс и давления паров воды рп, т. е. атмосферное давление Р = Рс + Рп.
	Относительной влажностью воздуха называется		отношение абсолютной влажности D к тому количеству пара D0, которое необходимо для насыщения 1 м3 воздуха при данной темпе­ратуре, или

 

 

Абсорбция газов жидкостью

 

	ВОПРОС			ОТВЕТ
	Объем физически растворенного газа в крови, как и в дру­гих жидкостях, определяется формулой			где α — абсорбционный коэффициент, который представляет собой объем газа (в мл), растворенного в 1 мл жидкости при соответствующей температуре и при парциальном давлении газа, равном 760 мм рт. ст.; этот коэффициент зависит от природы жидкости и газа, температуры (с ее повышением он уменьшается), но не зависит от давления; р — парциальное давление газа; Vж — объем жидкости, в которой растворен газ; р0 — нормальное атмосферное давление.

 

 

Электростатика

 

	ВОПРОС		ОТВЕТ
	Напряженность электрического поля в данной точке пространства		где F — сила, действующая на пробный за­ряд q0, помещенный в эту точку.
	Потенциал в точке электрического поля		где А — работа по перемещению пробного заряда q0 из данной точки поля в беско­нечность.
	Потенциал электрического поля, созда­ваемого точечным зарядом q на расстоянии r от него
	электрическое поле совершает над зарядом работу		При перемещении заряда q0 из точки поля с потенциалом φ 1 в точку поля с по­тенциалом φ 2 электрическое поле совершает над зарядом работу, не зависящую от формы пути, А = q (φ 1 – φ 2 ) = q0U
	В однородном электрическом поле на­пряженность связана		с разностью потенциалов уравнением , где d — расстояние между эквипотенциаль­ными поверхностями с потенциалами φ 1 и φ 2
	Емкость уединенного проводника		где q — заряд проводника; φ — потенциал проводника.
	Емкость плоского конденсатора		, где S — площадь одной пластины конденсатора, перекрываю­щаяся другой; ε — относительная диэлектрическая проницаемость среды разделяющей пластины; ε 0 — электрическая постоянная вакуума; d—расстояние между пластинами.
	Емкость проводящего шара радиуса г, находящегося в среде с относительной диэлектрической проницаемостью ε,		C=4π ε ε 0r
	Емкость цилиндрического конденсатора		, где l — длина конденсатора r1 и r2 — радиусы внутреннего и наружного цилиндров.
	При последовательном соединении конденсаторов напряжение на всей батарее равно алгебраической сумме напряжений на отдельных конденсаторах:		Заряд на каждом конденсаторе имеет одинаковую величину и равен заряду всей батареи q0=q1=q2=…=qn
	Емкость всей батареи последовательно соединенных конден­саторов определяется по формуле
	При параллельном соединении конденсаторов		общий заряд всей батареи Напряжение всей батареи равно напряжению на одном кон­денсаторе, т. е. U0=U1=U2=…=Un
	Емкость всей батареи параллельно соединенных конденса­торов определяется по формуле
	Энергия уединенного заряженного проводника
	Энергия заряженного конденсатора
	Объемная плотность энергии электрического поля
	Электрический (дипольный) момент диполя		p=ql, где q — электрический заряд, l — расстояние между зарядами.
	Момент силы, действующей на диполь в электрическом поле		M = pEsinα, где α — угол между электрическим моментом диполя и напря- женностью.
	Проекция силы, действующей на диполь в неоднородном элект- рическом поле, на ось Ох		, где рх, Ех — соответственно проекции р и Е на ось Ох.
	Потенциал электрического поля, созданного диполем. в некоторой точке А на расстоянии r (r> l)		где α - угол между р и направлением на точку А; ε r — относи­тельная диэлектрическая проницаемость среды; ε 0 — электриче­ская постоянная.
	Разность потенциалов двух точек, равноудаленных от диполя — источника поля		где γ — угол, под которым видны точки А и В от диполя, β — угол между р и прямой АВ.
	Соотношение между поверхностной плотностью связанных заря­дов и поляризованностью		σ cв=Pecosα, где α - угол между Ре и нормалью к поверхности диэлектрика. Поляризованность Ре=е0(ег-1)E.

Постоянный ток

 

	ВОПРОС		ОТВЕТ
	Сопротивление однородного проводника		, где ρ — удельное сопротивление материала; l — длина провод-ника; S — площадь поперечного сечения проводника.
	Для большинства металлов при небольших температурах удельное сопротивление р характеризуется законом		ρ =ρ 0(1+α t0) где ρ 0 — удельное сопротивление при О0 С; α — термический коэффициент сопротивления; t0 — температура в градусах Цельсия.
	Закон Ома для участка цепи		, где I— сила тока в цепи; U — напряжение на концах участка цепи сопротивлением R.
	Закон Ома для полной цепи		где Е — электродвижущая сила источника тока; R — сопротив­ление внешнего участка цепи; r — внутреннее сопротивление источника тока.
	Общее сопротивление проводников, соединенных последова­тельно
	Общая проводимость цепи при параллельном соединении про­водников равна сумме обратных величин их сопротивлений
	При последовательном соединении источников
	При параллельном соединении одинаковых источников
	При прохождении заряда q по участку цепи электрическое поле совершает работу		A = qU = IUt, где t — время
	Мощность электрического тока определяется по формуле		Р =IU.
	Плотность электрического тока		где S — площадь поперечного сечения проводника.
	Масса вещества, выделившегося на электроде при элек­тролизе,		m = kIt, где k — электрохимический эквивалент; I — сила тока; t — время.
	Плотность тока в электролите		j=qn0(u++u-)E где q — заряд иона; n0 — число пар ионов в единице объема электролита; и+ и и- — подвижности положительных и отри­цательных ионов; E — напряженность электрического поля.
	Подвижность численно равна отношению скорости v иона к напряженности поля Е, т. е.
	Число, указывающее, какая часть от общего тока в рас­творе электролита образуется ионами определенного знака, называется		числом переноса а. Сумма чисел переноса анионов а- и катионов a+ равняется единице: a_+ а+= 1.
	Для растворов слабой концентрации числа переноса анионов и катионов можно считать		прямо пропорциональными их подвижностям u+, и u-_:
	Зависимость термоэлектродвижущей силы от разности темпера­тур спаев		Ет=β Δ T где β — коэффициент, равный термо-э. д. с. при Δ T= 1 К.
	Зависимость удельного сопротивления полупроводника от тем­пературы		ρ =ρ ое , где Δ E — ширина запрещенной зоны; ρ 0 — коэффициент пропор­циональности, имеющий размерность удельного сопротивления; k — постоянная Больцмана.
	Термоэлектродвижущая сила		E=k(t10-t20) где k — постоянная термопары; t10 и t20 — температуры спаев

 

Магнитное поле. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях. Переменный ток

	ВОПРОС		ОТВЕТ
	Связь напряженности магнитного поля и магнитной индукции в однородной безграничной среде		B=μ 0 μ rH где μ 0 — магнитная постоянная, μ r — относительная магнитная проницаемость.
	Закон Био — Савара — Лапласа		или в векторной форме     где d H — вектор напряженности магнитного поля, созданного элементом тока Id l; г — радиус-вектор, проведенный от элемента тока в точку А, в которой определяется dH, r=| r |.   12345678Следующая ⇒ Поделиться: Популярное: CПИСОК ТЕМ ДЛЯ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ DOUBLE NEEDS PANG PANG ТУШЬ ДЛЯ РЕСНИЦ от TONY MOLY – 660 руб E) для факторов - капитал и земля I. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ I. Понятие и система криминалистического исследования оружия, взрывных устройств, взрывчатых веществ и следов их применения. II. ТЕКСТЫ ДЛЯ РАБОТЫ НАД ГОЛОСОМ. II. ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ II.2 Проблемы организации подросткового досуга и творческой деятельности (по результатам социологического исследования в КДЦ «Рассвет») III. Определите значимость для переводчика изучения особенностей литературного направления, к которому относится тот или иной автор. III. Разделы, изученные ранее и необходимые для данного занятия (базисные знания) IV. Здания для проживания людей IX.3. Прелестные девушки для странных парней

Последнее изменение этой страницы: 2016-04-11; Просмотров: 753; Нарушение авторского права страницы