Количественные модели олигополии: модель Курно, модель Чемберлина, модель Штакельберга

⇐ ПредыдущаяСтр 14 из 21Следующая ⇒

Лучше понять закономерности поведения фирмы на олигополистическом рынке позволяет анализ дуополии, т. е. простейшей олигополистической ситуации, когда на рынке действуют только две конкурирующие между собой фирмы. Главная особенность моделей дуополий состоит в том, что выручка и, следовательно, прибыль, которую получит фирма, зависит не только от ее решений, но и от решений фирмы-конкурента, заинтересованной в максимизации своей прибыли. Процесс принятия решения о своих действиях на рынке напоминает домашний анализ отложенной шахматной партии, где игрок ищет самые сильные ответы на возможные варианты хода своего противника.

Впервые модель дуополии была предложена французским математиком, экономистом и философом Антуаном-Огюстеном Курно в 1838 г. Центральным моментом теории Курно явилось понятие равновесия на дуополистическом рынке. Под равновесным понимается такое сочетание объемов выпуска каждой из фирм, при котором ни у одной из них нет стимулов для изменения своего решения: прибыль каждой фирмы максимальна при условии, что конкурент сохранит данный объем выпуска (равновесие Курно).

Положим, что каждый дуополист (во всех отношениях идентичный сопернику) стремится к максимизации своей прибыли, исходя из предположения, что другой дуополист не будет изменять выпуска, каким бы ни был его собственный выпуск. Иными словами, примем, что предположительные вариации каждого имеют нулевую оценку.

Допустим, что обратная функция рыночного спроса линейна:

P = a - bQ, (11.6)

где

Q = q1 + q2.(11.7)

Подставив (11.7) в (11.6), получим

P = a - b(q1 + q2).(11.6*)

Тогда прибыли дуополистов можно представить как разности между выручкой и затратами на выпуск каждого из них:

p₁ = TR1 - cq1 = Pq1 - cq1, (11.8)

p₂ = TR2 - cq2 = Pq2 - cq2

Подставив в правые части (11.8) значение Р из (11.6*), получим

p₁ = aq1 - bq12 - bq1q2 - cq1, (11.9)

p₂ = aq2 - bq22 - bq1q2 - cq2.(11.9*)

Условием максимизации прибылей дуополистов будет равенство нулю первых производных уравнений (11.9), (11.9*):

∂ p₁ /∂ q1 = a - 2bq1 - bq2 - c = 0, (11.10)

∂ p₂ /∂ q2 = a - 2bq2 - bq1 - c = 0.(11.10*)

Уравнения (11.10), (11.10*) могут быть переписаны так:

2bq1 + bq2 + c = a, (11.11)

2bq2 + bq1 + c = a.(11.11*)

Откуда после несложных преобразований получим

q1 = (a - c)/2b - 1/2 q2, (11.12)

q2 = (a - c)/2b - 1/2 q1.(11.12*)

Это и есть уравнения кривых реагирования дуополистов

Им на рис. 11.3 соответствуют линии R1(q2) и R2(q1). Равновесные выпуски Курно определяются подстановкой (11.12*) в (11.12) для определения q*1 и соответственно (11.12) в (11.12*) для определения q*2 (или с использованием правила Крамера). После подстановки имеем

q*1 = (a - c)/3b, (11.13)

q*2 = (a - c)/3b,

и следовательно,

Q* = (q*1 + q*2) = 2(a - c)/3b.(11.14)

Равновесные выпуски дуополистов (11.13) и являются координатами точки равновесия выпусков Курно - Нэша (точка C-N на рис. 11.3).

Говорят, что рынок находится в состоянии равновесия Нэша, если каждое предприятие придерживается стратегии, являющейся лучшим ответом на стратегии, которым следуют другие предприятия отрасли. Или, иначе, рынок находится в состоянии равновесия Нэша, если ни одно предприятие не хочет изменить своего поведения в одностороннем порядке. Такой тип равновесия назван равновесием Нэша в честь американского математика и экономиста, нобелевского лауреата по экономике (1994) Джона Нэша. Равновесие Курно - частный случай равновесия Нэша, а именно это такой вид равновесия Нэша, когда стратегия каждого предприятия заключается в выборе им своего объема выпуска.

Подставив теперь значения равновесных выпусков из (11.13) в (11.6*), найдем значение равновесной цены дуополии Курно:

P* = a - b ∙ 2(a - c)/3 = a/3 + 2c/3.(11.16)

Следовательно, равновесные цены и объемы выпуска дуополистов Курно одинаковы, что объясняется однородностью их продуктов (близостью товаров-субститутов) и равенством их затрат на производство.

МОДЕЛЬ ЧЕМБЕРЛИНА

Модель дуополии Чемберлина предполагает, что дуополисты не столь наивны, как в модели Курно, что они способны сделать определенные выводы из собственного опыта. Они не будут, в частности, придерживаться предположения о заданности объемов выпуска друг друга, если видят, что выпуск соперника изменяется в ответ на их собственные решения. И, в конце концов, они поймут, что в интересах каждого из них действовать так, чтобы их совместная прибыль была бы максимальной.

Таким образом, не вступая в сговор, они придут к желательности установления монопольной цены на свою (однородную) продукцию. Сходство рис. 11.5 и 11.1 указывает на известную близость моделей Чемберлина и Курно. Исход олигополии Чемберлина аналогичен решению Курно для монополии (11.17), (11.18), в чем нетрудно убедиться. Очевидно, что общий выпуск обоих дуополистов составит

Q = 2qi = (a - c)/2b.(11.41)

Подставив (11.41) в (11.36), найдем значение цены:

Pm = (a + c)/2.(11.42)

Результаты (11.41) и (11.42) аналогичны (11.17) и (11.18).

Модели дуополии Курно и Чемберлина различаются предположениями продавцов о поведении друг друга. В модели Курно дуополисты при определении своих прибылемаксимизирующих выпусков рассматривают выпуски друг друга как некие заданные параметры, константы. В модели Чемберлина каждый дуополист исходит из предположения о том, что выпуск соперника будет меняться некоторым согласующимся с его собственными, интересами образом. Такое предположение в принципе представляется более реалистичным. Ведь при однородности выпускаемой продукции оба дуополиста оказываются, если можно так сказать, " в одной лодке" и действия каждого из них объективно должны быть направлены на то, чтобы удержать " лодку" на плаву и не сбиться с курса. И как любая пара гребцов, они стремятся действовать в унисон.

Однако это предположение отнюдь не бесспорно. Максимизация общей (совокупной) прибыли олигополии (дуополии), как мы увидим в разделе 11.3, весьма проблематична даже при наличии сговора. Тем более она маловероятна в его отсутствии, когда предприятия действуют на свой страх и риск. Ведь для максимизации общей прибыли продавцы должны иметь представление о кривой рыночного спроса и кривых затрат (которые в действительности не являются нулевыми) друг друга. Иметь одинаковые представления о них при отсутствии сговора вряд ли возможно. Кроме того, как и модель Курно, модель Чемберлина закрыта в том смысле, что она не учитывает возможности входа в отрасль других продавцов. А ведь монопольная цена в дуополии Чемберлина является отличной приманкой для вторжения на ее рынок предприятий-новичков (англ. entrants), а тогда равновесие в модели Чемберлина окажется нестабильным.

Если вход в отрасль свободен, необходимы дополнительные предпосылки относительно поведения (и взаимоотношений) изначально укоренившихся в отрасли дуополистов и новичков.

МОДЕЛЬ ШТАКЕЛЬБЕРГА

Модель асимметричной дуополии, предложенная Г. фон Шта-кельбергом в 1934 г., представляет развитие моделей количественной дуополии Курно и Чемберлина. Асимметрия дуополии Штакельберга заключается в том, что дуополисты могут придерживаться разных типов поведения - стремиться быть лидером (англ. leader) или оставаться последователем (англ, follower). Последователь Штакельберга придерживается предположений Курно, он следует своей кривой реагирования и принимает решения о прибылемаксимизирующем выпуске, полагая выпуск соперника заданным. Лидер Штакельберга, напротив, не столь наивен, как обыкновенный дуополист Курно, Он настолько изощрен в понимании рыночной ситуации, что не только знает кривую реагирования соперника, но и инкорпорирует ее в свою функцию прибыли, так что последняя принимает вид

p_i = f(q_i, R_j, (q_i)). (11.43)

А затем он максимизирует свою прибыль, действуя подобно монополисту.

Ясно, что в случае дуополии возможны четыре комбинации двух типов поведения.

1. Дуополист 1 - лидер, дуополист 2 - последователь.

2. Дуополист 2 - лидер, дуополист 1 - ∙ последователь.

3. Оба дуополиста ведут себя как последователи.

4. Оба дуополиста ведут себя как лидеры.

В случаях 1 и 2 поведение дуополистов совместимо, один ведет себя как лидер, другой - как последователь. Здесь не возникает конфликта и исход их взаимодействия стабилен. Случай 3 по сути представляет ситуацию дуополии Курно, оба дуополиста руководствуются своими кривыми реагирования, и исход их взаимодействия стабилен. Нередко поэтому говорят, что модель Курно - это частный случай модели Штакельберга.

А вот в последнем случае, когда оба дуополиста стремятся стать лидерами, каждый из них предполагает, что соперник будет вести себя в соответствии со своей кривой реагирования, т. е. как монополист Курно, тогда как на деле ни один из них не придерживается такого типа поведения. Исходом подобного взаимодействия становится неравновесие Штакельберга, ведущее к развязыванию ценовой войны. Она будет продолжаться до тех пор, пока один из дуополистов не откажется от своих притязаний на лидерство либо дуополисты вступят в сговор. Сам Штакельберг считал именно случай 4 наиболее обычным исходом дуополии. Рассмотрим возможные исходы подробнее.

Последователь Штакельберга, как уже было сказано, придерживается своей функции реагирования вида (11.11), (11.11*) или (11.12), (11.12*), а затем при определенном количественном решении соперника, представляющегося последователю лидером, приспосабливает свой выпуск к прибылемаксимизирующему уровню. Лидер понимает, что его соперник ведет себя как последователь, и при данной его функции реагирования определяет свой прибылемаксимизирующий выпуск. Поэтому в случае 4 каждый дуополист определяет максимум своей прибыли исходя из предположения, что он является лидером, а соперник - последователем. Если в результате прибыль лидера окажется выше прибыли последователя, дуополист выберет положение лидера, независимо от того, что решит соперник. В противном случае он выберет положение последователя.

Исходя из аналитической версии модели Курно (раздел 11.2.1.1.2), представим функцию прибыли лидера (11.43) для дуополиста 1, подставив в уравнение его прибыли (11.9) функцию реагирования дуополиста 2 (11.12*). Тогда (11.9) примет вид

p₁ = aq₁ - bq₁² - bq₁[(a - c)/2b – q₁/2] - cq₁, (11.44)

что после преобразований и перестановок дает

p₁ = ((a - c)/2)q₁ - (b/2)q₁².(11.45)

Приравнивая производную (11.45) по q₁ нулю, имеем

∂ π ₁/∂ q₁ = (a - c)/2 - bq₁ = 0,

откуда

q_l¹ = (a - c)/2b.(11.46)

Это и есть оптимальный выпуск лидера Штакельберга. Он обеспечивает максимум его прибыли, поскольку условие второго порядка также выполняется b > 0 по предположению). В силу симметричности ситуации, возникающей в случае 4, прибылемаксимизирующий выпуск дуополиста 2, тоже претендующего на роль лидера, также составит

Q₂¹ = (a - c)/2b.(11.46*)

(Верхний индекс I в (11.46) и (11.46*) означает прибылемаксимизирующий выпуск лидера).

Определим теперь прибылемаксимизирующий выпуск последователя Штакельберга, подставив (11.46*) в (11.12) и соответственно (11.46) в (11.12*):

qf1 = [(a - c)/2b] √ [1/2 (a - c)/2b] = (a - c)/4b/i< >, (11.47)

qf2 = [(a - c)/2b] √ [1/2 (a - c)/2b] = (a - c)/4b/i< >.(11.47*)

(Верхний индекс /" в (11.47) и (11.47*) означает прибылемаксимизирующий выпуск последователя).

Таким образом, прибылемаксимизирующий выпуск последователя, qfi, вдвое ниже прибылемаксимизирующего выпуска лидера, qli (i = 1, 2). Сравнив (11.46), (11.46*), (11.47) и (11.47*) с (11.17), заметим, что прибылемаксимизирующий выпуск лидера Штакельберга тот же, что и у дуополиста Курно, а последователя вдвое меньше, чем у последнего.

В случаях 1 и 2, когда один дуополист, неважно какой именно, ведет себя как лидер, а другой как последователь, их общий выпуск будет равен сумме либо (11.46) и (11.47*), либо (11.46*) и (11.47), т. е.

Q = (a - c)/2b + (a - c)/4b = 3(a - c)/4b.(11.48)

Подставив (11.48) в функцию рыночного спроса (11.6), найдем равновесную цену олигополии Штакельберга в ситуациях 1, 2. Она будет равна

P = a - b ∙ 3(a - c)/4b = (a + 3c)/4.(11.49)

(11.48) и (11.49) - параметры равновесия Штакельберга.

Для того чтобы от равновесия перейти к неравновесию Штакельберга (от случаев 1 и 2 к случаю 4), определим сначала прибыли лидера и последователя. Это, между прочим, поможет нам понять стремление олигополистов Штакельберга именно к неравновесию. Подставим сначала значение ql1 из (11-46) в (11.45). Прибыль лидера, если им окажется дуополист 1, составит

 l1 = [(a - c)/2][(a - c)/2b] √ (b/2) [(a - c)2/4b2] = [(a - c)2/4b] √ [(a - c)2/8b] = (a - c)2/8b.(11.50)

Симметрично прибыль дуополиста 2, если тот окажется лидером, будет

 l1 = (a - c)2/8b.(11.50*)

Определим теперь прибыль последователя, подставив значения qf и ql в (11.9) и (11.9*). Если им окажется дуополист 1, то

 f1 = a(a - c)/4b - b[(a - c)/4b]2 - b[(a - c)/4b][(a - c)/2b] - c(a - c)/4b = [(a - c)2/4b] √ [a(a - c)2/16b] √ [a(a - c)2/8b],

откуда после упрощений и перестановок получим

 f1 = (a - c)2/16b.(11.51)

Симметрично прибыль дуополиста 2, если он окажется последователем, будет

 f2 = (a - c)2/16b.(11.51*)

Сопоставив теперь (11.51) с (11.50), а (11.51*) с (11.50*), мы заметим, что прибыль лидера вдвое превышает прибыль последователя, будь то дуополист 1 или 2. Поэтому-то и тот и другой предпочтут оказаться лидерами. Но тогда их прибыли окажутся не максимальными, а, напротив, минимальными. Действительно, подставив значения прибылемаксимизирующих выпусков обоих стремящихся стать лидерами дуополистов, т. е. (11.46) и (11.46*), в уравнение линейной функции спроса (11.6*), получим

P = a - b[(a - c)/2b + (a - c)/2b].(11.52)

Это равенство цены предельным (и средним) затратам ( р = с = МС = АС) означает, что прибыль дуополистов равна нулю, а это несовместимо со стабильным исходом. Таким образом, ситуация, разрешающаяся стабильным решением в модели Курно, обращается в неравновесие Штакельберга при некотором изменении предположений о поведении дуополистов. Ниже приведены основные параметры равновесия Штакельберга:

⇐ Предыдущая 9 10 11 12 131415 16 17 18 Следующая ⇒