Инерционно-форсирующее (упругое) звено

Это звено, у которого связь между выходным и входным сигналами выражается уравнением вида:

, (2.50)

где Т – постоянная времени;

k – коэффициент усиления.

Существенным параметром инерционно-форсирующего звена является коэффициент усиления. Если k< 1, то звено по своим свойствам приближается к интегрирующему и инерционному звеньям. Если k> 1, то звено ближе к дифференцирующему и инерционно-дифференцирующему звеньям.

Инерционно-форсирующее звено наряду с реальным дифференцирующим звеном применяется как средство для корректирования, улучшения переходных процессов.

Применяя к (2.50) преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, получим операторное уравнение

. (2.51)

Переходная функция звена

. (2.52)

Переходная характеристика инерционно-форсирующего звена построенная по (2.52) при единичном входном воздействии изображены на рисунке 2.16 при [k> 1 – а); при k< 1 – б)].

Рисунок 2.16 – Переходные характеристики а); б) и

изображение в) на структурных схемах

Передаточная функция инерционно-форсирующего звена на основании (2.51) запишется как

. (2.53)

Комплексный коэффициент передачи получится путём замены pна jω

, (2.54)

или

(2.55)

где

(2.56)

На рисунке 2.17 построены годографы W(jω ) и частотные характеристики инерционно-форсирующего звена при k> 1 (а, б, в) и k< 1 (г, д, в).

Рисунок 2.17

Логарифмическая амплитудно-фазовая характеристика описывается уравнением

(2.58)

Асимптотические характеристики в зависимости от величины k выражаются различно:

если k> 1

(2.59)

если k< 1

(2.60)

Логарифмические амплитудно – и фазо-частотные характеристики инерционно-форсирующего звена изображены на рисунке 2.18 (а при k > 1, б при k< 1).

Рисунок 2.18

Звенья второго порядка

Звеном второго порядка называется звено, связь между выходной и входной величиной которого определяется линейным дифференциальным уравнением второго порядка вида

, (2.60)

где Т – постоянная времени; ξ – относительный коэффициент затухания (демпфирования).

Применяя к (2.60) преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, получим операторное уравнение

. (2.61)

В зависимости от вида корней характеристического уравнения инерционное звено второго порядка может иметь различные переходные характеристики. Это позволяет установить три разновидности звена – апериодическое, колебательное и консервативное.

При единичном входном воздействии для случая вещественных различных корней р₁ и р₂ по уравнению (2.61) получим переходную функцию (ξ ≥ 1):

В случае вещественных корней апериодическое звено второго порядка эквивалентно последовательному соединению двух инерционных звеньев первого порядка, поэтому передаточная функция может быть записана в виде

По выражению W(p) после замены р на jω получим частотную функцию W(jω ) апериодического звена второго порядка, которая определяет частотные характеристики звена.

Колебательное звено

Если корни уравнения (2.61) будут комплексными, то инерционное звено второго порядка станет колебательным (ξ < 1).

, (2.62)

где.

График переходной функции колебательного звена показан на рисунке 2.19. Примерами колебательного звена могут служить упругая механическая система с существенным влиянием массы, электрический колебательный контур и т.д.

По уравнениям (2.61) определяется передаточная функция инерционного звена

(2.63)

На основании W(p) получим выражение для амплитудно-фазовой характеристики W(jω )

(2.64)

Рисунок 2.19

по которой при различных значениях коэффициента затухания можно построить серию частотных характеристик колебательного звена (рисунок 2.20). Как видно из рисунка, годограф частотной характеристики проходит через два квадранта – IY и III – пересекает мнимую ось при ω Т=1, когда в выражении (2.63) 1+(jω T)² =0. При этом .

С уменьшением ξ петля, очерченная годографом, увеличивается, и при ξ =0 характеристика вырождается в две полупрямые: 1 – от W(j ω T)=k до W(j ω T)→ ∞ при 0 < ω T< 1 до 2 – от W(j ω T)→ -∞ до W(j ω T)=0 при 1< ω T< ∞ .

Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики колебательного звена выражаются уравнениям

(2.65)

(2.66)

Логарифмическая амплитудно-фазовая характеристика колебательного звена описывается уравнением

(2.67)

Вблизи точки резонанса (ω T=1) эта характеристика сильно зависит от коэффициента затухания ξ . С удалением от резонансной частоты характеристика практически перестаёт зависеть от ξ .

Для колебательных звеньев пользуются асимптотическими характеристиками

(2.68)

Поправка к асимптотической характеристике

зависит от коэффициента затухания ξ . Графики L(ω ) и φ (ω ) для различных ξ показаны на рисунке 2.21. У колебательных звеньев возникает всплеск при .

Рисунок 2.21

Консервативное звено

Уравнение динамики консервативного вена имеет вид

(2.69)

где Т – постоянная времени;

k– коэффициент усиления (или передачи).

Переходный процесс такого звена показан на рисунке 2.22.

Рисунок 2.22

Рисунок 2.23

Консервативное звено – частный случай звена второго порядка, когда отсутствует демпфирование (ξ =0). Применяя к (2.69) преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, получим операторное уравнение

Передаточная функция консервативного звена

(2.70) На основании (2.70) получим частотную функцию

, (2.71)

где

(2.72)

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика имеет разрыв при ω =ω ₀(рисунок 2.23), что свидетельствует о возникновении незатухающих колебаний с этой частотой. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика может быть представлена в виде двух отрезков прямых линий. Одна линия уходит при lgω ₀≤ lgω < ∞ вправо от точки lgω ₀под углом -2 лог/дек; вторая линия при -∞ < lgω ≤ lgω ₀совпадает с линией lgkпраллельной оси абсцисс.

Фазо-частотная характеристика определяет скачкообразное изменение фазы при ω =ω ₀ от нуля до -180° (рисунок 2.23). Звено является минимально-фазовым.

Примером консервативного звена может служит идеальный пассивный четырёхполюсник, состоящий из Lи С (при отсутствии омического сопротивле- ния цепи), и другие элементы, если уравнения их динамики имеют вид уравнения (2.69).

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒