Частотные критерии устойчивости. Принцип аргумента

Впервые были использованы частотные методы определения устойчивости Найквистом при исследовании электронных усилителей с отрицательной обратной связью. Для САУ впервые обосновал и обобщил частотные методы в 1938 году А.В.Михайлов (статья «Метод гармонического баланса в теории регулирования», «Автоматика и телемеханика» №3, 1938 год).

В основе критерия Михайлова лежит известный в теории функций комплексного переменного принцип аргумента.

Пусть дано характеристическое уравнение

(5.14)

Если заменить в , то получится характеристический вектор При этом характеристический вектор может быть разложен на множители по теореме Виетта

(5.15)

Найдём аргумент комплексного числа

(5.16)

Изменение аргумента вектора при изменении равно

(5.17)

Согласно (5.17) для определения изменения аргумента необходимо подсчитать сумму изменений аргументов двучленов

В основу частотных критериев исследования устойчивости САУ положено следующее: если расположить корень р_i характеристического уравнения в комплексной плоскости и рассматривать вектор при изменении от до , то каждый вектор повернется на угол

, (5.18)

(рисунок 5.1, б), если корень р_i расположен в левой части комплексной полуплоскости; и на угол

, (5.19)

(рисунок 5.1, а), если корень р_i расположен в правой части комплексной полуплоскости.

 

Рисунок 5.1 – Принцип аргумента

 

Таким образом, если принять, что q корней характеристического уравнения n-порядка имеют положительную вещественную составляющую, а (n-q) – отрицательную, то характеристический вектор при изменении от до получит приращение аргумента:

. (5.20)

Для устойчивой системы при изменении от до

. (5.21)

Выражения (5.20) и (5.21) и представляют собой запись принципа аргумента для характеристического полинома А(р).

 

 

Частотный критерий устойчивости Михайлова

Заменим в полиноме А(р) на , тогда:

, (5.22)

где U(ω ) – вещественная часть полинома ,

V(ω )– мнимая часть полинома .

На комплексной плоскости он может быть представлен в виде вектора. При изменении от до вектор своим концом опишет в комплексной плоскости кривую, которая называется годографом Михайлова или характеристикой кривой. Поскольку функция является чётной функцией , а - нечётная, то годограф Михайлова симметричен относительно вещественной оси. Поэтому нет необходимости рассматривать весь годограф Михайлова, а достаточно рассмотреть лишь одну его часть, которая вычерчивает вектор при изменении от 0 до . Тогда из уравнения (5.21) следует, что для устойчивой системы приращение аргумента вектора при изменении от до должно быть

 

(5.23)

 

Полученное выражение и есть частотный критерий устойчивости Михайлова, в математической форме. Словами его можно выразить так

САУ устойчива тогда и только тогда, когда характеристический вектор при изменении от 0 до последовательно обходит число квадрантов, равное порядку характеристического уравнения, нигде не обращается в нуль.

На рисунке 5.2 показаны годографы Михайлова для устойчивых систем при различных значениях n. Все они начинаются при ω =0 со значением а₀ на положительной полуоси. Это означает, характеристические уравнения приведены к виду, при котором их коэффициенты положительны. Годографы, изображённые на рисунке 5.2 уходят в бесконечность при ω → ∞ и обходят соответствующее число квадрантов.

 

 

Пример 5.3.

Определить устойчивость системы, характеристическое уравнение которой

Заменим р на jω , получим

.

Составим таблицу

 

(ω )			-1
(ω )		0, 353

 

 

Рисунок 5.3

Построим годограф рисунок 5.3.

Система устойчива, поскольку годограф Михайлова огибает три квадранта (по числу равному порядку характеристического уравнения)

 

Пример 5.4.

Характеристическое уравнение системы .

.

Проделав аналогичные расчеты, построим график рисунок 5.4.Система стала не устойчивая, поскольку годограф Михайлова огибает всего два квадранта (что не равно порядку характеристического уравнения).

 

Пример 5.5.

Характеристическое уравнение системы .

. Построим график рисунок 5.5. Система находится на грани устойчивости, поскольку годограф Михайлова огибает два квадранта вместо трёх и проходит через начало координат.

 

 

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I. Этические принципы психолога
2. S: Какие принципы относятся к принципам религиоведения?
3. XI. 1.2. Принцип сознательности и активности
4. А-общий вид; б-принципиальная схема; 1-неоновая лампа; 2- шунтирующее сопротивление; 3-добавочное сопротивление; 4-корпус.
5. А. Принцип личной ответственности.
6. А.Лима-де-Фариа. Принципы автоэволюционизма
7. Автоматическая система сепарирования Алькап. Назначение, принцип действия.
8. Автотрансформатор — устройство, экономичность принципы работы и регулирования.
9. аконность: понятие, принципы, гарантии.
10. Аксиоматика теории потребительского выбора, принципы рационального поведения
11. Анализ принципов и последовательности разработки финансовой стратегии предприятия
12. Анализ финансовой устойчивости.