По характеру изменения заданного воздействия

Характер переходных процессов в результате приложенного к системе воздействия зависит главным образом от структуры и свойств системы, а также от закона изменения воздействия во времени. Для исследуемых динамических свойств системы пользуются типовым воздействием, которое выбирается близким к наиболее неблагоприятному из всего разнообразия возможных реальных воздействий конкретной САУ. К типовым воздействиям относятся:

а) единичный скачок (единичное ступенчатое воздействие) - замыкание или размыкание цепи, приложенное напряжение U(t), I(t) (рисунок 1, а);

б) гармоническое воздействие – изменение по синусоидальному или косинусоидальномузакону во времени (рисунок 1, б), используется при анализе динамических свойств САУ частотными методами;

в) воздействие в виде скачка скорости или ускорения – используется для исследования динамических свойств следящих систем, (рисунок 1, в);

г) импульсное воздействие d(t) – используется при исследовании переходных процессов импульсных САУ (t_И → 0, S= const ; S→ ¥ ; ; – импульс), рисунок 1, г.

а) б) в) г)

Рисунок – 1 Типовые воздействия

Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие называется переходной функцией, реакция системы на - импульс – импульсной переходной функцией.

Обратные связи

Как было сказано выше, САУ есть процесс поддержания или изменения по заданному закону значений показателей какого-либо процесса за счет подачи на регулятор сигналов, определяемых действительным ходом этого процесса. Такая подача сигналов осуществляется при помощи средств обратной связи.

Если же функции управления системы не ставится в зависимость от действительного хода производственного процесса и выполняются по разомкнутому циклу, то такие системы называются разомкнутыми (рисунок 2, а), в отличие от САУ, называемыми замкнутыми (рисунок 2, б)системами.

Примером разомкнутой системы могут служить схемы пуска асинхронного двигателя с помощью магнитного пускателя, системы СМУ-Д; Г-Д; ТП-Д без обратных связей.

а)

Рисунок 2 - Разомкнутая (а) и замкнутая (б) системы

б)

Р – регулятор:

УУ – управляющее устройство;

У - усилитель; СП – силовой преобразователь;

ОУ - объект управления:

М(Д) – машина (двигатель);

Мех – механизм:

Ω - скорость;

СЛИ – средство логической информации (технической информации):

ТГ – тахогенератор;

Y – задающее воздействие;

Δ М_С – основное возмущающее воздействие;

Δ U_УУ, Δ U_СП, Δ U_ТГ – второстепенные возмущающие воздействия.

Рисунок 2 (продолжение) – Разомкнутая ( а ) и замкнутая ( б ) системы

Функциональная схема САУ с разомкнутой цепью воздействия (из-за отсутствия характеристики действительного хода процесса точность выполнения заданного режима в такой системе относительно мала).

Основным назначением обратной связи (ОС) является передача информации о действительном значении показателей хода процесса для формирования управляющего воздействия, направленного на поддержание заданного режима объекта управления. Обратные связи САУ служат для формирования статистических и динамических характеристик систем.

Обратная связь, служащая для сравнения действительного и заданного значений управляемой величины, т.е. соединяющая выход системы с ее входом и охватывающая все основные элементы системы, называется главной. Системы, имеющие одну главную обратную связь, называются одноконтурными. Некоторые САУ, помимо главных ОС, число которых определяется числом регулируемых величин, имеют еще несколько дополнительных (местных). Последние соединяют выход и вход одного или нескольких элементов системы. САУ, имеющие, кроме главной, еще одну или несколько дополнительных обратных связей, называются многоконтурными. В ЭП используется до четырёх контуров: по пути, скорости, по напряжению или э.д.с., по току.

В зависимости от характера передаваемого воздействия О.С. подразделяются на жесткие и гибкие. Жесткие обратные связи действуют как в установившемся, так и в переходном режиме системы. Средства жесткой ОС - различные датчики (измеряющие устройства), передающие сигнал на узел сравнения. Гибкие ОС (ГОС) действуют только в период переходного процесса. Они передают воздействия, являющиеся - или ∫ -ми величин, меняющихся во времени с целью корректирования переходных процессов в нужном направлении. Средства ГОС – устройства дифференцирования (емкостные и индукционные дифференцирующие контуры, стабилизирующие трансформаторы и др.) и интегрирования (емкостные и индукционные интегрирующие контуры и др.) в сочетании с усилителями или без них.

По оказываемому на систему действию ОС делятся на положительные и отрицательные. ОС называется положительной (рисунок 3, а), если с увеличением сигнала на выходе управляющий сигнал на входе увеличился и отрицательной (рисунок 3, б), если он при этом уменьшается.

а) б)

Рисунок 3 – Положительная и отрицательная ОС

Классификация САУ

Принципы построения САУ

При регулировании по отклонению: отклонение регулируемой величины от заданного значения через регулятор оказывает воздействие на объект регулирования, направленное на устранение отклонения. При этом совершенно безразлично, по какой причине произошло отклонение регулируемой величины. Например, поддержание скорости в системе Г-Д.

Принципиальная, полная и упрощенная структурные схемы приведены на рисунке 5.

Рисунок 5 – Принципиальная (а), полная (б) и упрощённая (в) структурная схемы системы Г-Д

При регулировании по отклонению влияние возмущающих воздействий (изменение U_СТ, U, U₀, температурное изменение сопротивления) на регулирующую величину Х(п) значительно ослабляется, но не устраняется.

При регулировании по возмущению: измеренное возмущение преобразуется в воздействие, оказываемое на объект регулирования с целью компенсации (предотвращения) влияния данного возмущения на регулируемую величину (рисунок 6). При полной компенсации САУ является инвариантной (независимой) к данному воздействию. Условие инвариантности может реализоваться полностью или с точностью до некоторой малой величины .

Могут ставиться два условия:

1. Устранение статической ошибки (отклонение регулируемой величины от заданной после приложения возмущения в установившемся режиме).

2. Устранение как статической, так и динамической ошибки (в установившемся и в переходном режиме).

Рисунок 6 – Поддержание скорости в системе СМУ-Д с регулированием по возмущению и функциональная схема.

Для ограничения действия данных возмущающих воздействий на САУ применяют комбинированные САУ, в которых регулирование по возмущению сочетается с регулированием по отклонению.

Регулирование по отклонению имеет как достоинства, так и недостатки.

К достоинствам можно отнести:

1. Возможность получения высокой точности поддержания заданного значения регулируемой величины.

2. Схема осуществляет поддержание управляемой величины, не зависимо от причины возникновения отклонения.

К недостаткам – вследствие инерционности реальных элементов САР построение системы по замкнутому циклу способствует возникновению колебаний в такой системе.

К достоинствам регулирования по возмущению относятся:

1. Простота построения схем.

2. В силу самого процесса инвариантности исключаются причины возникновения колебаний в такой системе, (система уподобляется разомкнутой).

А недостатки:

1. Трудно получить высокую точность компенсации возмущения (она не превышает 1 – 2 %), особенно при наличии нелинейных элементов.

2. При наличии нескольких возмущений возникает задача компенсации всех возмущений, что ведет к усложнению схемы.

Устойчивость звена

Из рассмотрения выражения (1.8) следует, что устойчивость системы зависит от того, в какой области лежат корни p_i.. Для линейных систем определение устойчивости объекта или звена может быть сформулировано более жёстко, чем для общего случая. Линейное звено является устойчивым, если после окончания внешнего воздействия его состояние с течением времени возвратится к исходному.

Единичный импульс может быть рассмотрен как кратковременное воздействие. В таком случае об устойчивости линейного звена можно судить по значению х_ВЫХ(t) при t→ ∞ : звено устойчиво, если

; (1.21)

звено неустойчиво, если

; (1.22)

звено нейтрально, если

. (1.23)

Если х_ВЫХ(t) при t→ ∞ является периодической функцией времени, т.е.

, (1.24)

где Т – период колебаний, то звено называется консервативным.

Каждому вещественному значению р_i в выражении (1.8) соответствует слагаемое вида

, (1.25)

где

.

Комплексной паре корней характеристического уравнения

p_i=α _i+jω _i; p_i=α _i-jω _i

соответствует слагаемое вида

(1.26)

Следует различать три случая расположения корней, когда вещественная часть корня: 1) отрицательна (α _i< 0); 2) положительна (α _i> 0); 3) равна нулю (α _i=0).

В первом случае корень лежит в левой полуплоскости корней, т.е. левее мнимой оси (см. р₁, р₂, р₃ на рисунке 1.8), во втором случае – в правой полуплоскости, т.е. правее мнимой оси (см. р₄, р₅ , р₆ на рисунке 1.8); в третьем случае – на мнимой оси (см. р₇, р₈, р₉ на рисунке 1.8).

Рисунок 1.8 – Расположение корней характеристического уравнения

В зависимости от расположения корней относительно мнимой оси характер изменения составляющих х_iВЫХ(t) во времени различен. Если α _i> 0, то соответствующая составляющая при t→ ∞ стремится к бесконечности и, следовательно, х_ВЫХ(t)→ ∞ , т.е. звено неустойчиво.

Если α _i< 0, то соответствующая составляющая при t→ ∞ стремится к нулю; следовательно, если все составляющие, число которых конечно, удовлетворяют этому условию, то х_ВЫХ(t)→ 0, т.е. звено асимптотически устойчиво.

Если α _i=0 при t→ ∞ , то составляющая остаётся конечной и не равна нулю, т.е. звено нейтрально ил консервативно. Оно относится также к устойчивым, но неасимптотическим звеньям.

На рисунке 1.9 для каждого случая расположения корней показаны графики при вещественном корне (а, б, в) и при паре сопряжённых комплексных корней (г, д, е).

а) б) в)

г) д) е)

Рисунок 1.9 – Графики x_iВЫХ при различных корнях р_i

Таким образом, необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости линейного звена является отрицательное значение вещественной части всех полюсов функции W(p), т.е. все полюсы должны лежать в левой полуплоскости р.

Типовые динамические звенья

Характер переходных процессов в САУ зависит от динамических свойств элементов, из которых она состоит. Эти элементы могут быть самыми разнообразными по назначению, конструктивному исполнению, принципу работы и т.д. Однако, независимо от назначения и конструктивного исполнения, все элементы САУ могут быть подразделены на небольшое число звеньев, обладающих определенными динамическими свойствами, т.е. описываемых определенными дифференциальными уравнениями. Такие звенья носят название типовых динамических звеньев.

Дифференцирующее звено

На практике не существует реального элементе, в котором на выходе точно воспроизводилась бы производная от любого входного сигнала. Однако, составляя структурную схему системы, её можно так разделить на звенья, что введение понятия дифференцирующего звена будет вполне обосновано. В этом случае выходная величина х_ВЫХ(t) зависит от входной величины х_ВХ(t) как производная (идеальное дифференцирующее звено)

, (2.12)

Переходя к изображениям, получим

, (2.13)

Передаточная функция звена

, 2.14)

На структурных схемах изображается (рисунок 2.7)

Рисунок 2.7 – Дифференцирующее звено

Изображение выходной величины равняется

, (2.15)

тогда переходная функция равна

(2.16)

и представлена на рисунке 2.8, а.

Перейдём к частотным характеристикам, заменим р на jω . Комплексный коэффициент передачи

. (2.17)

Частотный годограф и частотные характеристики показаны на рисунке 2.8, б, в и г. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) имеет положительный наклон +1 лог/дек (рисунок 2.8, г). Логарифмическая фазо-частотная характеристика (ЛФЧХ) проходит параллельно оси абсцисс и отстоит от неё на +90° (рисунок 2.8, г).

а) б) в)

г)

Рисунок 2.8 – Переходная функция (а), годограф (б),

частотные характеристики (в), ЛАЧХ и ЛФЧХ (г) дифференцирующего звена

Звенья первого порядка

Звенья второго порядка

Звеном второго порядка называется звено, связь между выходной и входной величиной которого определяется линейным дифференциальным уравнением второго порядка вида

, (2.60)

где Т – постоянная времени; ξ – относительный коэффициент затухания (демпфирования).

Применяя к (2.60) преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, получим операторное уравнение

. (2.61)

В зависимости от вида корней характеристического уравнения инерционное звено второго порядка может иметь различные переходные характеристики. Это позволяет установить три разновидности звена – апериодическое, колебательное и консервативное.

При единичном входном воздействии для случая вещественных различных корней р₁ и р₂ по уравнению (2.61) получим переходную функцию (ξ ≥ 1):

В случае вещественных корней апериодическое звено второго порядка эквивалентно последовательному соединению двух инерционных звеньев первого порядка, поэтому передаточная функция может быть записана в виде

По выражению W(p) после замены р на jω получим частотную функцию W(jω ) апериодического звена второго порядка, которая определяет частотные характеристики звена.

Колебательное звено

Если корни уравнения (2.61) будут комплексными, то инерционное звено второго порядка станет колебательным (ξ < 1).

, (2.62)

где.

График переходной функции колебательного звена показан на рисунке 2.19. Примерами колебательного звена могут служить упругая механическая система с существенным влиянием массы, электрический колебательный контур и т.д.

По уравнениям (2.61) определяется передаточная функция инерционного звена

(2.63)

На основании W(p) получим выражение для амплитудно-фазовой характеристики W(jω )

(2.64)

Рисунок 2.19

по которой при различных значениях коэффициента затухания можно построить серию частотных характеристик колебательного звена (рисунок 2.20). Как видно из рисунка, годограф частотной характеристики проходит через два квадранта – IY и III – пересекает мнимую ось при ω Т=1, когда в выражении (2.63) 1+(jω T)² =0. При этом .

С уменьшением ξ петля, очерченная годографом, увеличивается, и при ξ =0 характеристика вырождается в две полупрямые: 1 – от W(j ω T)=k до W(j ω T)→ ∞ при 0 < ω T< 1 до 2 – от W(j ω T)→ -∞ до W(j ω T)=0 при 1< ω T< ∞ .

Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики колебательного звена выражаются уравнениям

(2.65)

(2.66)

Логарифмическая амплитудно-фазовая характеристика колебательного звена описывается уравнением

(2.67)

Вблизи точки резонанса (ω T=1) эта характеристика сильно зависит от коэффициента затухания ξ . С удалением от резонансной частоты характеристика практически перестаёт зависеть от ξ .

Для колебательных звеньев пользуются асимптотическими характеристиками

(2.68)

Поправка к асимптотической характеристике

зависит от коэффициента затухания ξ . Графики L(ω ) и φ (ω ) для различных ξ показаны на рисунке 2.21. У колебательных звеньев возникает всплеск при .

Рисунок 2.21

Консервативное звено

Уравнение динамики консервативного вена имеет вид

(2.69)

где Т – постоянная времени;

k– коэффициент усиления (или передачи).

Переходный процесс такого звена показан на рисунке 2.22.

Рисунок 2.22

Рисунок 2.23

Консервативное звено – частный случай звена второго порядка, когда отсутствует демпфирование (ξ =0). Применяя к (2.69) преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, получим операторное уравнение

.

Передаточная функция консервативного звена

(2.70) На основании (2.70) получим частотную функцию

, (2.71)

где

(2.72)

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика имеет разрыв при ω =ω ₀ (рисунок 2.23), что свидетельствует о возникновении незатухающих колебаний с этой частотой. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика может быть представлена в виде двух отрезков прямых линий. Одна линия уходит при lgω ₀≤ lgω < ∞ вправо от точки lgω ₀под углом -2 лог/дек; вторая линия при -∞ < lgω ≤ lgω ₀ совпадает с линией lgkпраллельной оси абсцисс.

Фазо-частотная характеристика определяет скачкообразное изменение фазы при ω =ω ₀ от нуля до -180° (рисунок 2.23). Звено является минимально-фазовым.

Примером консервативного звена может служит идеальный пассивный четырёхполюсник, состоящий из Lи С (при отсутствии омического сопротивле- ния цепи), и другие элементы, если уравнения их динамики имеют вид уравнения (2.69).

Непрерывных линейных систем

Условная схема, представленная в виде динамических типовых звеньев, определённым образом соединённых между собой, называется структурной схемой системы. Структурная схема используется для расчёта динамики системы.

Типовое динамическое звено обозначается на структурной схеме условно в виде прямоугольника с указанием передаточной функции внутри него. Необходимость разветвления и суммирования при осуществлении обратных связей также требует определённого отображения на структурной схеме. При разветвлении сигнала предполагается, что к каждому звену поступает один и тот сигнал. Так как сигнал не обладает массой или энергией, то в месте разветвления он не делится; в этом месте на структурной схеме ставится точка. Суммирование сигналов обозначается кружком с указанием знака сигнала.

Структурную схему составляют на основании функциональной схемы, причём вначале определяют связи, по которым сигналы могут распространяться только в одном (прямом) направлении. Звенья при этом соединяют определённым образом, указывая стрелками направление распространения сигналов. Затем находят связи обратного прохождения сигналов и также наносят их на структурную схему. После этого в схему вводят возмущающие воздействия.

Соединения звеньев бывают трёх видов: последовательное, параллельное согласное и параллельное встречное. Рассмотрим каждый из видов соединения звеньев.

Рисунок 4.3 – Динамическая линеаризация

Разложим функцию в степенной ряд Тейлора в рабочей точке А

(4.3)

.

При рассмотрении изменения x в окрестностях точки А в неболь­шом диапазоне возможно ограничиться рассмотрением 2-х первых членов ряда Тейлора

(4.4)

 

 

где x – x_A = Δ x – отклонение x от исходного значения;

y – y_A = Δ y – отклонение y от исходного значения.

Тогда ,

где – коэффициент связи между y и x в окрестностях точки А или коэффициент усиления элемента в окрестности исходной точки.

 

На структурной схеме последнее уравнение изобразится рисунок 4.4.

Рисунок 4.4

 

Пример 4.1. Дано уравнение y=x²+x+1 линеаризовать его в точке х_А=1..

Находим производную

Тогда k(А)=3.

 

 

б) Функция двух переменных.

Пусть дана статическая характеристика в виде непрерывной дифференцируемой функции двух переменных (рисунок 4.5)

z = f(x, y).(4.5)

 

Точкой основного режима работы является точка А.

Рисунок 4.5 – Функция двух переменных

 

 

\

Разложим функция в степенной ряд Тейлора в точке А:

.

(4.6)

При небольшом отклонении x, y от рабочей точки А также допустимо ограничение двумя членами ряда Тейлора

. (4.7)

Обозначим

,

тогда уравнение (4.7) запишется в виде

. (4.8)

Обозначим .

На структурной схеме это уравнение отобразится (рисунок 4.6)

Рисунок 4.6

 

Пример 4.2. Дана функция z=2x²+y+3, линеаризовать её в точке х_А=1; у_А=2.

Найдём частные производные

тогда k_x=4; k_y=2.

 

4.3 Передаточная функция в установившемся режиме

Структурная схема для установившегося режима составляется на основе уравнений элементов САУ в статике или на основе линеаризованной структурной схемы САУ формальным путём приравнивания опе­ратора p к нулю.

Пример 4.3. Дана структурная схема САУ. Вычислить общий коэффициент усиления (передаточную функцию в установившемся режиме).

 

Поведение системы в переходном процессе (в динамике) происходит в соответствии передаточной функцией

 

Общий коэффициент усиления (установившийся режим) получим, заменяя р на нуль.

 

Устойчивость САУ

Основной динамической характеристикой автоматической системы является её устойчивость.