Апериодическое звено первого порядка

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 11Следующая ⇒

Апериодическое звено первого порядка называется также инерционным. Оно описывается дифференциальным уравнением первого порядка

Ty(t) + y(t) = kx(t). (8.1)

Постоянная времени характеризует инерционность звена.

Передаточная функция . (8.2)

Частотные характеристики представлены на рис. 8.1:

АФХ: ; (8.3)

АЧХ: ; (8.4)

ФЧХ: j(w) = –arctgTw. (8.5)

Рис. 8.1. Частотные характеристики апериодического звена первого порядка:

а) АЧХ; б) ФЧХ; в) АФХ

АЧХ апериодического звена первого порядка на нулевой частоте равна коэффициенту усиления k, с увеличением частоты она монотонно уменьшается, асимптотически стремясь к нулю. Фазочастотная характеристика при увеличении частоты от 0 до ∞ изменяется от 0 до –p/2. Следовательно, годограф АФХ для ω > 0 целиком лежит в четвертом квадранте и представляет собой полуокружность диаметром k с центром в точке k/2.

Временные характеристики изображены на рис. 8.2.

Рис. 8.2 Переходные характеристики апериодического звена первого порядка:

а) переходная функция; б) весовая функция

Переходная функция h(t) = k[1 – e^–^t^/^T]. (8.6)

Весовая функция . (8.7)

Инерционно-форсирующее звено

Инерционно-форсирующее звено называют также интегро-дифферен-цирующим или упругим звеном

Ty(t) + y(t) = k[T₀x'(t) + x(t)]. (8.8)

Существенным параметром звена является коэффициент t = T₀/T. Если τ < 1, то звено по своим свойствам приближается к интегрирующему и инерционному звеньям, если же τ > 1, то звено ближе к дифференцирующим звеньям. Передаточная функция звена

(8.9)

Частотные характеристики приведены на рис. 8.3 и 8.4:

АФХ: ; (8.10)

АЧХ: ; (8.11)

ФЧХ: j(w) = arctgT₀w – arctgTw. (8.12)

Рис. 8.3. Частотные характеристики инерционно-форсирующего звена для τ > 1:

а) АЧХ; б) ФЧХ; в) АФХ

Рис.8.4 Частотные характеристики инерционно-форсирующего звена для τ < 1:

а) АЧХ; б) ФЧХ; в) АФХ

Уравнения переходной и весовой функций, соответственно

, (8.13)

, (8.14)

их графики для τ > 1 и τ < 1 изображены на рис. 8.5.

Рис. 8.5. Переходные характеристики инерционно-форсирующего звена

для τ > 1: а) переходная функция, б) весовая функция;

для τ < 1: в) переходная функция, г) весовая функция

Апериодическое звено второго порядка

Уравнение апериодического звена второго порядка

T₁T₂y''(t) + (T₁ + T₂)y′ (t) + y(t) = kx(t). (8.15)

Передаточная функция звена равна

. (8.16)

Апериодическое звено второго порядка можно представить в виде последовательного соединения двух звеньев первого порядка с постоянными времени Т₁и T₂, поэтому оно не относится к числу элементарных. Корни характеристического уравнения действительные.

Частотные характеристики изображены на рис. 8.6:

АФХ: ; (8.17)

АЧХ: ; (8.18)

ФЧХ: j(w)= –(arctgT₁w + arctgT₂w). (8.19)

Пунктиром показаны частотные характеристики апериодического звена первого порядка. При сравнении частотных характеристик видно, что добавление второго апериодического звена первого порядка увеличивает инерционность объекта.

Рис. 8.6. Частотные характеристики апериодического звена второго порядка:

а) АЧХ; б) ФЧХ; в) АФХ

Переходные характеристики изображены на рис. 8.7.

Переходная функция

, (8.20)

где ,

представляет собой неколебательную кривую, имеющую одну точку перегиба и асимптотически стремящуюся к y(∞ ) = k. Весовая функция

. (8.21)

Рис. 8.7 Переходные характеристики апериодического звена второго порядка:

а) переходная функция; б) весовая функция

Колебательное звено

Колебательное звено является звеном второго порядка и описывается дифференциальным уравнением второго порядка

. (8.22)

Характеристическое уравнение звена должно иметь пару комплексно сопряженных корней, а это будет только в том случае, если Т_к/Т_д< 2. Если же Т_к/Т_д> 2, то корни уравнения – действительные и звено будет апериодическим звеном второго порядка.

Передаточная функция

. (8.23)

Частотные характеристики изображены на рис. 8.8:

АФХ: .(8.24)

АЧХ: ; (8.25)

ФЧХ: . (8.26)

Рис. 8.8 Частотные характеристики колебательного звена: а) АЧХ; б) ФЧХ; в) АФХ

При больших значениях Т_к/Т_д на графике АЧХ появляется максимум и при T_д ® 0 АЧХ терпит разрыв второго рода при значении w_р=1/Т_к

Графики переходных функций изображены на рис. 8.9.

Переходная функция h(t)=k[1+Ae⁻^a^tsin(wt− b)], (8.27)

где .

Весовая функция

w(t)=− Aα e⁻^{α t}sin(ω t− β )+Aω e⁻^{α t}cos(ω t− β )=Ae⁻^{α t}(cos(ω t− β )− α × sin(ω t− β )). (8.28)

Частным случаем колебательного звена является консервативное звено, у которого характеристическое уравнение имеет только мнимые корни. В этом случае передаточная функция звена преобразуется к виду

. (8.29)

Рис. 8.9. Переходные характеристики колебательного звена:

а - переходная функция; б - весовая функция

Частотные характеристики (рис. 8.10):

АФХ: ; (8.30)

АЧХ: ; (8.31)

ФЧХ: (8.32)

Годограф АФХ расположен на действительной полуоси комплексной плоскости.

Рис. 8.11. Частотные характеристики консервативного звена: а) АЧХ; б) ФЧХ; в) АФХ

Временные характеристики представляют собой гармонические колебания. Частота w_p=1/T называется резонансной частотой (рис. 8.12).

Переходная функция: . (8.33)

Весовая функция: . (8.34)

Рис. 8.12 Функции консервативного звена: а) переходная; б) весовая

Особые звенья

Рассмотренные звенья относятся к минимально-фазовым звеньям. Встречаются и неминимально-фазовые звенья, у которых полюса передаточной функции имеют положительную вещественную часть

Особенностью неминимально-фазовых звеньев является большое отставание по фазе, то есть такие звенья являются неустойчивыми.

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 678 9 10 11 Следующая ⇒