Линейное (Векторное) пространство над полем

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 69Следующая ⇒

Определение 1. Множество элементов произвольной природы называется линейным пространством над полем действительных чисел , если

А) любым поставлен в соответствие элемент , называемый суммой элементов .

Б) любому и любому поставлен в соответствие элемент , называемый произведением числа на элемент .

Эти операции должны удовлетворять следующим аксиомам.

1. Аксиомы сложения:

А) (коммутативность);

Б) (ассоциативность);

В) существует элемент такой, что для любого . Элемент называется нулевым;

Г) для любого существует элемент , называется противоположным, такой, что .

2. Аксиомы умножения на число:

А) (дистрибутивность);

Б) (дистрибутивность);

В) (ассоциативность);

Г)

Элементы линейного пространства будем называть векторами.

Примеры линейных пространств.

1) - множество действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения.

2) - множество упорядоченных наборов из чисел. Положим:

При таком определении сложения и умножения на число аксиомы, очевидно, выполнены.

Линейно зависимые и независимые системы векторов.

Пример

В векторы , и линейно независимы, так как уравнение

имеет только одно — тривиальное — решение.
Векторы и являются линейно зависимыми, так как

а, значит,

Если , то выражение называется линейной комбинацией векторов .

Определение 2. Векторы называются линейно независимыми, если линейная комбинация только для . Если среди есть ненулевые, то векторы называются линейно зависимыми.

Свойства линейной зависимости векторов:

1) векторы линейно зависимы:

2) если линейно зависимы, , то - линейно зависимы.

3) если - линейно зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.

Доказательство: - линейно зависимы, следовательно, и, например, , поэтому

4) если - линейно независимы, а - линейно зависимы, то - является линейной комбинацией .

Доказательство: - линейно зависимы, следовательно, .Если , то и не все коэффициенты равны нулю, что противоречитнезависимости .Поэтому и .

Размерность и базис.

Определение 7. Если в линейном пространстве существует линейно независимых векторов, а любые векторов линейно зависимы, то линейное пространство называется мерным. Число называется размерностью пространства и обозначается .

Определение 8. Если , то система из линейно независимых векторов , заданных в определенном порядке, называется базисом пространства .

Числа называются координатами вектора в базисе . Будем писать .

Если , , то

1) ;

2) ;

3) .

Набор из координат можем считать вектором арифметического пространства .

Рассмотрим методы решения систем линейных уравнений.

Метод Крамера

Описание метода

Для системы линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы , отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

В этой форме метод Крамера справедлив без предположения, что отличен от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементамицелостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы и , либо набор состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

Пример

Система линейных уравнений с вещественными коэффициентами:

Определители:

В определителях столбец коэффициентов при соответствующей неизвестной заменяется столбцом свободных членов системы.

Решение:

Пример:

Определители:

Теорема. Система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы отличен от нуля. Неизвестные системы находятся по формулам Крамера где - главный определитель системы, т.е. определитель основной матрицы A, определитель неизвестного x_k, который получается при замене столбца с номером k в главном определителе на столбец свободных членов B, k=1, 2, … n.

Итак, методом Крамера можно решать системы с одинаковым числом уравнений и неизвестных и отличным от нуля определителем.

Замечание. При решении методом Крамера системы 3-х уравнений с тремя неизвестными потребовалось вычислить 4 определителя 3-го порядка. При решении систем, например, 4-го порядка уже потребуется вычислять пять определителей 4-го порядка, что громоздко и нерационально. Поэтому целесообразно решать методом Крамера системы не выше 3-го порядка.

Матричный метод

Система линейных уравнений может быть кратко записана в виде матричного уравнения A*X=B.

В этом нетрудно убедиться, перемножив матрицы A и X системы и приравняв к матрице B. (Матрицы равны, если равны их соответствующие элементы.)

Решение системы имеет следующий вид:

X=A^-1*B

Таким образом, решение системы состоит из двух этапов.

1. Нахождение матрицы, обратной основной матрице системы;

2. Умножение полученной обратной матрицы на матрицу-столбец свободных членов.

Так как нахождение обратной матрицы связано с вычислением определителя, то матричным методом можно решать системы, имеющие невырожденную основную матрицу.

Замечание. Решение систем матричным методом нецелесообразно проводить для случая n> 3, так как при нахождении обратной матрицы, уже для матрицы 4-го порядка, придется вычислять 16 определителей 3-го порядка. Кроме того, система должна иметь одинаковое число уравнений и неизвестных и отличный от нуля определитель основной матрицы. Т.е. матричный метод имеет те же преимущества (простота решения систем невысокого порядка) и те же недостатки, что и метод Крамера.

Рассмотрим метод решения линейных систем с любым числом уравнений и неизвестных (который является универсальным)- метод последовательного исключения неизвестных или

Метод Гаусса.

Описание метода

Пусть исходная система выглядит следующим образом.

Матрица называется основной матрицей системы, — столбцом свободных членов.

Тогда, согласно свойству элементарных преобразований над строками, основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду (эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных ^[4].

Тогда переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если хотя бы одно число , где , то рассматриваемая система несовместна, т.е. у неё нет ни одного решения.

Пусть для любых .

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом ( , где — номер строки):

,
где

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

Пример

Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:

Обнулим коэффициенты при во второй и третьей строчках. Для этого прибавим к ним первую строчку, умноженную на и , соответственно:

Теперь обнулим коэффициент при в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на :

В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончим первый этап алгоритма.

На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:

из третьего;

из второго, подставив полученное

из первого, подставив полученные и .

Таким образом исходная система решена.

В случае, если число уравнений в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, то тогда ответ будет записываться в виде фундаментальной системы решений.

Суть метода состоит в том, что путем элементарных преобразований из всех уравнений системы, кроме первого, исключаем неизвестное x₁, далее из всех уравнений, кроме первого и второго, исключаем неизвестное x₂, и т.д. На практике принято все эти действия проводить не над уравнениями системы, а над строками расширенной матрицы. К элементарным относятся следующие преобразования:

1) умножение (деление) на число, отличное от нуля, элементов какой-либо строки;

2) сложение элементов какой-либо строки с соответствующими элементами другой строки, предварительно умноженными на ненулевое число;

3) перестановка строк матрицы;

4) вычеркивание из матрицы нулевых строк, одной из двух одинаковых строк, одной из двух пропорциональных строк, вычеркиваются строки, линейно-зависимые от других строк.

В результате элементарных преобразований получается матрица, эквивалентная исходной, т.е. матрица, имеющая такой же ранг. На ее основе составляется система, эквивалентная исходной, но более простая в решении и анализе, так как в последнем уравнении останется только одно неизвестное, в предпоследнем два и т.д. Этот процесс называется прямым ходом метода Гаусса. Отметим, что параллельно при этом решается вопрос о совместности системы и количестве решений (единственное или бесконечное множество.)

Обратный ход состоит в следующем: из последнего уравнения находим единственное входящее в него неизвестное, подставляем полученное значение в предпоследнее уравнение и находим второе неизвестное и т.д. пока не дойдем до первого уравнения, в котором уже найдены все неизвестные, кроме одного. Таким образом получим совокупность значений неизвестных, образующих решение системы.

5. Линейные преобразования линейного пространства над полем, характеристический и минимальный многочлены линейных преобразований. Собственные значения и собственные вектора линейного преобразования. Нормальные формы матрицы, с помощью которой задано линейное преобразование линейного пространства над полем. Граф линейного преобразования. Евклидово пространство и его свойства. Ортонормированный базис.

Линейные преобразования линейного пространства над полем

Пусть V линейное пространство над полем P.

Пусть дано n-мерное действительное линейное пространство, которое обозначим через V_п. Рассмотрим преобразование этого пространства, т. е. отображение, переводящее каждый вектор а пространства V_п в некоторый вектор а ’ этого же пространства. Вектор а ' называется образом вектора а при рассматриваемом преобразовании.

Если преобразование обозначено через j, то образ вектора а условимся записывать не через j(а) или j а, что читателю было бы привычнее, а через a j. Таким образом,

а ' = а j.

Преобразование j линейного пространства V_п называется линейным преобразованием этого пространства, если сумму любых двух векторов а, b оно переводит в сумму образов этих векторов,

( a + b ) j = a j + b j (1)

а произведение любого вектора а на любое число а переводит в произведение образа вектора а на это же число а,

(a a ) j=a( a j) (2)

Из этого определения немедленно вытекает, что линейное преобразование линейного пространства переводит любую линейную комбинацию данных векторов а ₁, а ₂, …, а _n, в линейную комбинацию (с теми же коэффициентами) образов этих векторов

(a₁ а ₁+ a₂ а ₁+… a_n а ₁)j = a₁( а ₁j) +a₂( а ₂j) + …+a_n( а _nj) (3)

Утверждение:

При любом линейном преобразовании j линейного пространства V_n нулевой вектор 0 остается неподвижным

0 j= 0

а образом вектора, противоположного для данного вектора a , служит вектор, противоположный для образа вектора а,

Примеры линейных преобразований – тождественное и линейное преобразование

Пусть e =( е ₁, е ₂, …, е _n)^т- базис линейного пространства Vn. Так как всякий вектор этого пространства представляется в виде линейной комбинации векторов базы (4), то, ввиду (3), образ вектора а с теми же коэффициентами выражается через образы векторов (4). Иными словами, всякое линейное преобразование j пространства V_n однозначно определяется заданием образов е ₁j, е ₂j, ..., е _nj всех векторов фиксированной базы (4).

Какова бы ни была упорядоченная система из n векторов пространства

е ₁, е ₂, ..., е _n (5)

существует, притом единственное, такое линейное преобразование j этого пространства, что (5) служит системой образов векторов базы (4) при этом преобразовании,

e _ij= c _i i=1, 2, …, n (6)

Единственность преобразования j уже доказана выше и нужно доказать лишь его существование. Определим преобразование j следующим образом: если а – произвольный вектор пространства и

- его запись в базе (4), то положим

(7)

Докажем линейность этого преобразования. Если

- любой другой вектор пространства, то

Если же g — любое число, то

Что же касается справедливости равенств (6), то она вытекает из определения (7) преобразования j, так как все координаты вектора е ₁в базе (4) равны нулю, кроме i-и координаты, равной единице.

Нами установлено, следовательно, взаимно однозначное соответствие между всеми линейными преобразованиями линейного пространства V_n и всеми упорядоченными системами (5) из n векторов этого пространства.

Всякий вектор с₁ обладает, однако, определенной записью в базе(4),

(8)

Из координат вектора с₁ в базе (4) можно составить квадратную матрицу

А = (a_ij), (9)

беря в качестве ее i-й строки строку координат вектора с _i, i = 1, 2, ......, n. Так как система (5) была произвольной, то матрица A будет произвольной квадратной матрицей порядка n с действительными элементами.

Мы имеем, таким образом, взаимно однозначное соответствие между всеми линейными, преобразованиями пространства V_nи всеми квадратными матрицами порядка n; это соответствие зависит, конечно, от выбора базы (4).

Будем говорить, что матрица А задает линейное преобразование j в базе (4), или, короче, что А есть матрица линейного преобразования j в базе (4). Если через е j мы обозначим столбец, составленный из образов векторов базы (4), то из (6), (8) и (9) вытекает следующее матричное равенство, полностью описывающее связи, существующие между линейным преобразованием j, базой е и матрицей А, задающей это линейное преобразование в этой базе:

еj = А е. (10)

Покажем, как, зная матрицу А линейного преобразования j в базе (4), по координатам вектора а в этой базе найти координаты его образа а j. Если

то что равносильно матричному равенству

a j= (a₁, a₂, …, a_n) ( е j).

Используя (10) и учитывая, что ассоциативность умножения матриц легко проверяется и в том случае, когда одна из матриц является столбцом, составленным из векторов, мы получаем: a j= [(a₁, a₂, …, a_n)A] е j.

Отсюда следует, что строка координат вектора а j равна строке координат вектора а, умноженной справа на матрицу А линейного преобразования j, все в базе (4).

Пример. Пусть в базе е ₁, е ₂, е ₃ трехмерного линейного пространства линейное преобразование j задается матрицей

Если a =5 е ₁+ е ₂-2 е ₃то

т. е. a j = - 9 e ₁+16 e ₂

Связь между матрицами линейного преобразования в разных базах.

Разумеется, что матрица, задающая линейное преобразование, зависит от выбора базы. Покажем, какова связь между матрицами, задающими в разных базах одно и то же линейное преобразование.

Пусть даны базы е к е ' с матрицей перехода Т,

е '= Tе (11)

и пусть линейное преобразование j задается в этих базах соответственно матрицами А и А',

(12)

Второе из равенств (12) приводит, ввиду (11), к равенству

Однако

Действительно, если (t_i₁, t_i₂, …, t_in) — i-я строка матрицы T, то (t_i₁ e ₁+ t_i₂ e ₂+…+ t_in e _n)j= t_i₁( e ₁j)+ t_i₂( e ₂j)+…+ t_in( e _nj). Таким образом, ввиду (12), (T e )j= T( e j)= T(A e )= (TA) e

A¢ (T e )= (A¢ T) e т. е. (ТА) е = (А'Т) е.

Если хотя бы для одного i, 1£ i £ n, i -я строка матрицы ТА будет отлична от i-й строки матрицы А'Т, то две различные линейные комбинации векторов е ₁, е ₂, ..., е _n окажутся равными друг другу, что противоречит линейной независимости базы е. Таким образом,

TA= А'Т откуда, ввиду невырожденности матрицы перехода Т,

А'=T АТ^-1, А=T^-1АТ (13)

Заметим, что квадратные матрицы В и С называются подобными, если они связаны равенством C=Q^-1BQ где Q — некоторая невырожденная матрица. При этом говорят, что матрица С получена из матрицы В трансформированием матрицей Q.

Доказанные выше равенства (13) можно сформулировать, таким образом, в виде следующей важней теоремы:

Матрицы, задающие одно и то же линейное преобразование в разных базах, подобны между собой. При этом матрица линейного преобразования j в базе е ' получается трансформированием матрицы этого преобразования в базе е матрицей перехода от базы е ' к базе е. Подчеркнем, что если матрица А задает линейное преобразование j в базе е, то любая матрица В, подобная матрице А, B=Q^-1AQ также задает преобразование j в некоторой базе, а именно в базе, получающейся из базы е при помощи матрицы перехода Q^-1.

Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования. Характеристический многочлен линейного пространства

Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число, что выполняется равенство: A.

При этом число λ называется собственным значением ( характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .

Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе , , …, имеет матрицу А = , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни λ ₁, λ ₂, …, λ _n уравнения:

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть - характеристическим многочленом линейного преобразования А.

Следует отметить, что характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

Рассмотрим частный случай. Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна . Тогда преобразование А может быть задано формулами:

; в некотором базисе .

Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением λ , то А.

или

Т.к. собственный вектор ненулевой, то х₁ и х₂ не равны нулю одновременно. Т.к. данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение – нулевое, что невозможно.

Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования А.

Таким образом, можно найти собственный вектор (х₁, х₂) линейного преобразования А с собственным значением λ , где λ - корень характеристического уравнения, а х₁ и х₂ – корни системы уравнений при подстановке в нее значения λ .

Понятно, что если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов.

Следует отметить, что если - собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным значением λ .

Действительно, . Если учесть, что векторы имеют одно начало, то эти векторы образуют так называемое собственное направление или собственную прямую.

Т.к. характеристическое уравнение может иметь два различных действительных корня λ ₁ и λ ₂, то в этом случае при подстановке их в систему уравнений получим бесконечное количество решений. (Т.к. уравнения линейно зависимы). Это множество решений определяет две собственные прямые.

Если характеристическое уравнение имеет два равных корня λ ₁ = λ ₂ = λ , то либо имеется лишь одна собственная прямая, либо, если при подстановке в систему она превращается в систему вида: . Эта система удовлетворяет любым значениям х₁ и х₂. Тогда все векторы будут собственными, и такое преобразование называется преобразованием подобия.

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = .

Составим характеристическое уравнение:

(1 - λ )((5 - λ )(1 - λ ) - 1) - (1 - λ - 3) + 3(1 - 15 + 3λ ) = 0

(1 - λ )(5 - 5λ - λ + λ ²- 1) + 2 + λ - 42 + 9λ = 0

(1 - λ )(4 - 6λ + λ ²) + 10λ - 40 = 0

4 - 6λ + λ ²- 4λ + 6λ ²- λ ³+ 10λ - 40 = 0

-λ ³ + 7λ ² – 36 = 0

-λ ³ + 9λ ² - 2λ ² – 36 = 0

-λ ²(λ + 2) + 9(λ ² – 4) = 0

(λ + 2)(- λ ² + 9λ - 18) = 0

Собственные значения: λ ₁ = -2; λ ₂ = 3; λ ₃ = 6;

1) Для λ ₁ = -2:

Если принять х₁ = 1, то х₂ = 0; x₃ = -1;

Собственные векторы:

2) Для λ ₂ = 3:

Если принять х₁ = 1, то х₂ = -1; x₃ = 1;

Собственные векторы:

3) Для λ ₃ = 6:

Если принять х₁ = 1, то х₂ = 2; x₃ = 1;

Собственные векторы:

Минимальный многочлен

Минимальный многочлен линейного преобразования. Докажем сначала следующее утнержденне:

Если матрицы А 'и В подобны и если многочлен аннулируется матрицей А, то он аннулируется и матрицей В.

Действительно, пусть

Трансформируй обе части этого равенства матрицей С, получаем

Отсюла следует, что подобные матрицы обладают одним и тем же минимальным многочленом.

Пусть теперь будет линейное преобразование n-мерного линейного пространства над полем P. Матрицы, задающие это преобразование в разных базах пространства, подобны между собой. Общий минимальный многочлен этих матриц называется минимальным многочленом линейного преобразования .

Используя операции над линейными преобразованиями, можно ввести понятие значении многочлена

из кольца P[λ ] при λ , равном линейному преобразованию : это будет линейное преобразование

, где -тождественное преобразование.

Мы скажем, далее, что многочлен аннулируется линейным преобразованием , если

где — нулевое преобразование.

Учитывая связь между операциями нал линейными преобразованиями и над матрицами, читатель без труда докажет, что минимальный многочлен линейного преобразования является тем однозначно определенным многочленом наименьшей степени со старшим коэффициентом 1, который аннулируется преобразованием . После этого результаты, полученные выше, в частности теорема Гамильтона — Кэли, могут быть переформулированы на языке линейных преобразований.

Нормальная форма матрицы.

Предположим сначала, что рассматриваются проклюльиыекомПЛексные квадратичные формы и, вместе с тем, допускается употребление невырожденных линейных преобразований также с произвольными комплексными коэффициентами. Мы знаем, что всякая квадратичная форма fот n неизвестных, имеющая ранг r, приводится к каноническому виду

, где все коэффициенты c₁, c₂, .... c_rотличны от нуля. Пользуясь тем, что из всякого комплексного числа извлекается квадратный корень, выполним следующее невырожденное линейное преобразование:

Оно приводит форму f к виду , называемому нормальным , это—просто сумма квадратов rнеизвестных с коэффициентами, равными единице.

Граф.

1. Наглядно граф можно представить как некоторое множество точек плоскости

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 678 9 10 11 Следующая ⇒