Системы линейных уравнений над полем.

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 69Следующая ⇒

Рассмотрим один из наиболее распространенных на практике методов решения систем линейных уравнений над полем_; называемый методом Гаусса.

Пусть дана система уравнений над произвольным полем. Если А = Оmхn, то система совместна только при β ^↓= 0^↓. При выполнении этого условия любой вектор из Р⁽ⁿ⁾ является ее решением. Далее считаем, что А - ненулевая матрица. Приведем расширенную матрицу В = (А, β ^↓) к специальному ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. Пусть при этом получилась матрица С = (с_ij)_m_x₍_n₊₁₎типа S(i₁,..., i_r). Тогда система равносильна системе уравнений

C'x^↓ = γ ^↓, (1)

где С' = (с_ij)_m_х_n, a γ ^↓ —последний столбец матрицы С. В зависимости от значений параметров r, i₁,..., i_r возможны следующие три принципиально различных случая.

1) i_r = п + 1. В этом случае столбец β ^↓матрицы В не выражается линейно через столбцы матрицы А, и система уравнений несовместна.

2) i_r ≤ n, r= п.В этом случае матрица С имеет тип S(1, 2,..., n), а тогда имеем: β ^↓ = A₁^↓c₁_n₊₁ +... + A_n^↓c_nn₊₁ и система столбцов A₁^↓, ..., A_n^↓линейно независима. Отсюда и следует, что столбецγ ^↓ является единственным решением системы уравнений. Следовательно, в рассматриваемом случае система совместна и определенна.

3) i_r ≤ п, r< п. Рассмотрим в этом случае подробнее систему уравнений (1). Удалив из нее все уравнения вида

0x₁ +... + 0x_n = 0, (2)

(если такие есть) и перенеся в оставшихся уравнениях все слагаемые, кромеx_i₁, ..., x_ir в правую часть, получим систему уравнений

x_i1 = c_1n+1 - c_1ir+1x_ir+1 -... - c_1inx_in,

... (3)

x_i1 = c_{r n+1} - c_{r ir+1}x_ir+1 -... - c_rinx_in,

которая, очевидно, равносильна системе (1), Подставляя в (3) вместо х_ir₊₁,..., x_i_ппроизвольные элементы air+l, ..., a_inполя P, мы однозначно определим значения а_i₁,..., а_ir остальных неизвестных x_i₁,..., x_ir так, что набор (a₁,..., a_n) будет решением системы (3). Нетрудно заметить, что каждое решение системы (3) можно получить указанным способом. Так как r< n, то система (3) имеет в рассматриваемом случае более одного решения.

Анализируя случаи 1) — 3), нетрудно заметить, что они характери-зуются следующими условиями:

1) rang С'< rang C,

2) rang С' = rang С = n,

3) rangС' = rangС< n.

Так как матрицы С', С строчно эквивалентны соответственно матрицам A, B= (A, β ^↓), можно сделать следующий вывод. При решении системы уравнений методом Гаусса логически возможны следующие взаимно исключающие случаи:

1) rangA ≠ rangВ, система несовместна;

2) rangА = rangВ= п, система совместна и определенна;

3) rangA = rangВ< n, система совместна и неопределенна (при этом все ее решения однозначно определяются наборами значений лишь некоторых п - rфиксированных неизвестных).

Отсюда получаем ответы на все основные вопросы, связанные с исследованием систем линейных уравнений над полем Р.

Теорема (критерий совместности). Система линейных уравнений над полем совместна тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Эту теорему называют теоремой Кронекера-Капеллив честь немецкого математика Л. Кронекера (1823—1891) и итальянского математика А. Капелли (1855-1910).

Пояснение . Система уравнений Ax=b разрешима тогда и только тогда, когда \operatorname{rang} A = \operatorname{rang}(A, b), где (A, b) — расширенная матрица, полученная из матрицы A приписыванием столбца b.

ДОК-ВО

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа x_1, \dots, x_n\in\mathbb R такие, что b=x_1 a_1+\dots+x_n a_n. Следовательно, столбец b является линейной комбинацией столбцов a_1, \dots, a_n матрицы A. Из того что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что \operatorname{rang} A = \operatorname{rang} B.

Достаточность

Пусть \operatorname{rang} A = \operatorname{rang} B = r. Возьмём в матрице A какой-нибудь базисный минор. Так как \operatorname{rang} B = r, то он же будет базисным минором и матрицы B. Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец матрицы B будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы A. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы A.

Следствия

· Количество главных переменных системы равно рангу системы.

· Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Теорема (критерий определенности). Система линейных уравнении над полем имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ранги основной и расширенной матриц системы равны числу её неизвестных.

Теорема.Совместная и неопределенная система линейных уравнений над полем Р имеет бесконечно много решений при бесконечном поле Р и qⁿ^-^r решений при |Р| = q, где п - число неизвестных, аr — ранг основной (и расширенной) матрицы системы.

Рассмотрим еще метод решения систем линейных уравнений над полем, основанный на использовании ранговых подматриц матриц этих систем.

Пусть дана система с основной матрицей А и расширенной матрицей В = (A, β ^↓)и известно, что rangA = rangВ = r. Выберем в матрице А произвольную ранговую подматрицу

Так как rangB = r и А есть подматрица матрицы В, то А' является ранговой подматрицей и для матрицы В, Отсюда и легко получить, что система строк является базисом системы всех строк матрицы В. Поэтому матрицу В элементарными преобразованиями строк можно привести к матрице вида:

Также равносильна системе уравнений

A'x^↓ = β '^↓, (4)

где β '^↓ - последний столбец матрицы B', а А' получена из В' удалением столбца β '^↓. Удалив из системы (4) последние m-r уравнений и перенеся в оставшихся уравнениях в правые части все слагаемые, не содержащие неизвестных x_j₁, ..., x_jrполучим систему из r уравнений, равносильную системе:

(5)

в которой { j_r₊₁, …, j_n } = 1, n√ {j₁, …, j_r}.

Подставив в (5) вместо x_jr₊₁, ..., x_jnпроизвольные элементы из Р, мы получим систему rуравнений с r неизвестными x_j₁, ..., x_jr, которая по теореме Крамера имеет единственное решение x_j₁= a_j₁, ..., x_jr= а_jr. В итоге мы найдем решение (a₁, ..., a_n) системы (5). Легко видеть, что таким образом можно получить все решения системы (5). Действительно, если γ = (с₁, ..., c_n) - любое решение системы (5), то, заменив в (5) х_i на с_i при всех i Є , получим систему верных равенств, которая свидетельствует о том, что c_j₁,..., c_jrесть решение системы, полученной из (5) заменой x_jr+1, ..., x_jnсоответственно элементами c_jr₊₁,..., c_jn.

Замечание 1. Вместо того чтобы решать методом Крамера все системы уравнений, получаемые из (5) заменой xjr+1, ..., xjn всевозможными элементами поля Р, можно решить методом Крамера саму систему (5), считаяx_jr₊₁,..., x_jn параметрами со значениями из поля Р. В итоге неизвестные x_j₁, ..., x_jrбудут представлены в виде аффинных функций от переменных x_jr₊₁, ..., x_jn. Придавая последним произвольные значения из Р и вычисляя соответствующие значения неизвестных x_j₁,..., x_j_rполучим все решения системы (5).

Замечание 2. Набор неизвестных x_jr₊₁, ..., x_jnиз правых частей уравнений системы (5) называют системой свободных неизвестных системы уравнений В общем случае система свободных неизвестных для системы находится неоднозначно, а определяется выбором ранговой подматрицы в матрице A.

3. Поле частных коммутативного кольца без делителей нуля. Простые поля. Расширения полей. Поле разложения многочлена. Конечные поля и их свойства

По́ ле в общей алгебре — алгебра, для элементов которой определены операции сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на нуль), причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле рациональных чисел (дробей). Хотя названия операций поля взяты из арифметики, следует иметь в виду, что элементы поля не обязательно являются числами, и определения операций могут быть далеки от арифметических.

По́ лем называется множество F с двумя бинарными операциями + (аддитивная операция или сложение) и \cdot (мультипликативная операция или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует коммутативное ассоциативное кольцо c единицей, все ненулевые элементы которого обратимы.

Иными словами, множество F с двумя бинарными операциями + (сложение) и \cdot (умножение) называется полем, если оно образует коммутативную группу по сложению, все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению, и выполняется свойство дистрибутивности.

Примеры полей

{Q} — рациональные числа,

{R} — вещественные числа,

{C} — комплексные числа,

{A} — алгебраические числа над полем рациональных чисел (подполе в поле {C}).

Числа вида a + b\sqrt{2}, a, b\in\ {Q}, относительно обычных операций сложения и умножения. Это один из примеров квадратичного поля, которое образует подполе в {R}.

{Z}_p — поле вычетов по модулю p, где p — простое число.

{F}_q — конечное поле из q=p^k элементов, где p — простое число, k — натуральное. Все конечные поля имеют такой вид.

{F}(x) — поле рациональных функций вида f(x)/g(x), где f и g — многочлены над некоторым полем {F} (при этом g \ne 0, а f и g не имеют общих делителей, кроме констант).

Определение. Элементы a и b кольца, для которых , , но ab = 0, называются делителями нуля. Кольцо без делителей нуля называется также областью целостности.

Теорема 1. Из ab = ac следует b = c, если только и не является делителем нуля.

Доказательство. Из ab = ac следует ab - ac = 0 или a(b - c) = 0. Но так как и не делитель нуля, то b - c = 0, b = c.

В дальнейшем нам придется иметь дело исключительно с кольцами без делителей нуля. Для них из ab = ac и следует b = c.

При умножении справедливы обычные правила знаков, а именно:

a(-b) = -ab, (-a)b = -ab, (-a)(-b) = ab. (3)

Теорема 2. Поле не имеет делителя нуля, т. е. если ab = 0, то либо a = 0, либо b = 0.

Доказательство. Если ab = 0 и a ≠ 0, то, умножая обе части равенства на a^-1, найдем 1 · b = a^-1 · 0, т. е. b = 0.

Итак, поле является кольцом без делителей нуля. Утверждение, обратное этому, вообще неверно: существуют кольца без делителей нуля (например, кольцо целых чисел), не являющиеся полями. Однако для конечных колец обратная теорема также верна. А именно:

Теорема 3. Всякое конечное кольцо без делителей нуля, содержащее более одного элемента, является полем.

Доказательство. Достаточно проверить свойство VII. Пусть a ≠ 0. Каждому элементу x кольца поставим в соответствие элемент y =ax. Если x₁ ≠ x₂, то также y₁ ≠ x_y, т. к. иначе ax₁ = ax₂ и x₁ = x₂( Теорема1 ).Значит, x → y есть взаимно однозначное отображение всего кольца R на некоторое его подмножество M, т. е. R ~ M. Но по основнай теореме о конечных множествах (Конечное множество не равномощно никакому его собственному подмножеству и собственному надмножеству) конечное множество R не равномощно своему собственному подмножеству. Поэтому R = M, т. е. для любого элемента существует в R элемент q такой, что q → b, т. е. aq = b, что и доказывает VII.

Так как все элементы поля, отличные от нуля, образуют по умножению коммутативную группу, то для любого элемента a ≠ 0 степень aⁿ определена при любом целом показателе n.

Для частного элементов любого поля верны те же правила оперирования, что и для обыкновенных дробей.

Простые поля

Подполе. Простое поле. Множество M поля P называется подполем P, если оно само является полем при тех же операциях сложения и умножения, которые заданы в поле P. Тогда P называется надполем или расширением поля M.

Так, поле рациональных чисел является подполем поля действительных чисел, а последнее - подполем поля комплексных чисел.

Теорема 1. Для того чтобы множество M поля P, содержащее не менее двух элементов, было подполем, необходимо и достаточно, чтобы сумма, разность, произведение и частное (если только оно существует в P) любых элементов из M снова принадлежали к M.

Доказательство вполне аналогично проведенному для соответствующей теоремы о кольцах (теорема о кольцах: Для того чтобы непустое подмножество M кольца R было его подкольцом, необходимо и достаточно, чтобы сумма, разность и произведение любых двух элементов из M снова принадлежали M.).

Всякое подполе M поля P содержит 0 как разность a - a, где , и единицу как частное , где , a ≠ 0.

Теорема 2. Пересечение (в смысле пересечения множеств) любого множества надполей поля P опять является подполем поля P.

Соответствующая теорема верна и для колец, т. е. пересечение любого множества подколец кольца R есть подкольцо кольца R. Доказательство ее вполне аналогично данному здесь для полей.

Доказательство. Пусть {M_s} есть некоторое множество подполей, где индексы s образуют множество S и - пересечение всех подполей M_s данного множества; 0 и 1 входят в каждое подполе M_s и, значит, в D. Итак, D содержит не менее двух элементов. Если aиb - элементы D, то они входят в каждое M_s и по теореме 5 a + b, a - b, ab, а при b ≠ 0 и также входят в M_s, а значит, и в D. В силу теоремы 5 D - подполе поля P.

Поле, не имеющее подполей, отличных от него самого, называется простым.

Примерами простых полей могут служить поле рациональных чисел и поля вычетов по простому модулю p.

Любое подполе M поля P рациональных чисел содержит число 1, а значит, и все его кратные n · 1 = n, т. е. все целые числа, а значит, и все их частные, т. е. все рациональные числа. Итак, M = P, т. е. P - простое поле. Точно так же любое подполе M поля C_pвычетов по простому модулю p содержит класс (1), служащий единицей C_p, а значит, любой класс (r) как r-кратное класса (1). Итак, M= C_p, т. е. C_p - простое поле.

Можно доказать, что этими полями в некотором смысле исчерпываются все простые поля.

Теорема 3. Любое поле содержит простое подполе и притом только одно.

Доказательство. Поле P вообще содержит подполя (например, само P). Пусть D есть пересечение всех подполей поля P. По теореме 6 D является подполем P и по самому определению входит в любое подполе. Пусть M - подполе D, отличное от D.

Из определения подполя следует, очевидно, что M будет подполем и для P, и D не входит в M, что невозможно. Итак, D - простое подполе P. Если D' - также простое подполе поля P, то пересечение будет опять подполем поля P, причем и . Но из определения подполя следует, что в таком случае D" будет подполем как для D, так и для D', а так как D и D' - простые подполя, то D = D" = D', чем доказана единственность простого подполя.

Расширения полей

Расшире́ ние по́ ля K — поле E, содержащее данное поле K в качестве подполя. Исследование расширений является важной задачей теории полей, так как любой гомоморфизм полей является расширением.

Базовые определения

Если E — поле, его подполе — это его подмножество K, замкнутое относительно сложения и умножения, взятия обратного и противоположного элементов и содержащее единицу, на котором введены те же операции, что и в поле E. В этом случае E называется расширением поля K, заданное расширение обычно обозначают E\supset K (также используются обозначения E/K и K\subset E). Любой гомоморфизм полей инъективен, то есть является вложением. Из этого следует, что задание конкретного расширения E\supset K эквивалентно заданию гомоморфизма f: K\to E.

Если задано расширение E\supset K и подмножество S поля E, то наименьшее подполе E, содержащее K и S, обозначается K(S) и называется полем, порождённым множеством S над полем K. Расширения, порождённые одним элементом, называются простыми расширениями, а расширения, порождённые конечным множеством — конечно порождёнными расширениями.

Для любого расширения E\supset K E является векторным пространством над полем K. В этой ситуации элементы E можно понимать как «векторы», а элементы K — как «скаляры», умножение вектора на скаляр задаётся операцией умножения в поле E. Размерность этого векторного пространства называется степенью расширения и обозначается [E: K]. Расширение степени 1 называется тривиальным, расширения степени 2 и 3 — квадратичными и кубическими соответственно. Расширение конечной степени называют конечным, в противном случае — бесконечным.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒