Математическое ожидание случайной величины и его свойства.

Рассмотрим сначала следующий пример. Пусть на завод поступила партия, состоящая из N подшипников. При этом:

m₁ - число подшипников с внешним диаметром х₁,

m₂ - число подшипников с внешним диаметром х₂,

m_n - число подшипников с внешним диаметром х_n,

Здесь m₁+m₂+...+m_n= N. Найдем среднее арифметическое значение x_ср внешнего диаметра подшипника. Очевидно,

Внешний диаметр вынутого наудачу подшипника можно рассматривать как случайную величину , принимающую значения х₁, х₂, ..., х_n, c соответствующими вероятностями p₁=m₁/N, p₂=m₂/N, ..., p_n=m_n/N, так как вероятность p_iпоявления подшипника с внешним диаметром x_iравна m_i/N. Таким образом, среднее арифметическое значение x_ср внешнего диаметра подшипника можно определить с помощью соотношения

Пусть - дискретная случайная величина с заданным законом распределения вероятностей

Значения	х1	х2	...	хn
Вероятности	p1	p2	...	pn

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности, т.е.

(39)

в случае, если множество возможных значений дискретной случайной величины образует бесконечную последовательность x₁, x₂, ..., x_n, ..., то математическое ожидание этой случайной величины определяется как сумма ряда причем требуется, чтобы этот ряд абсолютно сходился.

Возвращаясь к разобранному выше примеру, мы видим, что средний диаметр подшипника равен математическому ожиданию случайной величины - диаметру подшипника.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число, определяемое равенством

(40)

При этом предполагается, что несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (40) существует.

Рассмотрим свойства математического ожидания. При этом ограничимся доказательством только первых двух свойств, которое проведем для дискретных случайных величин.

1°. Математическое ожидание постоянной С равно этой постоянной.

Доказательство. Постоянную C можно рассматривать как случайную величину , которая может принимать только одно значение C c вероятностью равной единице. Поэтому

2°. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.

Доказательство. Используя соотношение (39), имеем

3°. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

(41)

4°. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин **:

Под суммой (произведением) двух случайных величин и понимают случайную величин , возможные значения которой состоят из сумм (произведений) каждого возможного значения величины и каждого возможного значения величины .

Дисперсия и ее свойства.

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания *:

(43)

Пусть - дискретная случайная величина, принимающая значения x₁, x₂, ..., x_n соответственно с вероятностями p₁, p₂, ..., p_n. Очевидно, случайная величина принимает значения

с теми же вероятностями p₁, p₂, ..., p_n. Следовательно, согласно определению математического ожидания дискретной случайной величины, имеем

(44)

Если же - случайная величина с плотностью распределения , то по определению

(45)

Принимая во внимание определение дисперсии и свойства математического ожидания, имеем

Так как и - постоянные, то используя свойства математического ожидания, получим

Следовательно,

Откуда окончательно находим

(46)

Рассмотрим теперь свойства дисперсии.

1°. Дисперсия постоянной равна нулю.

Доказательство: Пусть . По формуле (46) имеем .

Так как математическое ожидание постоянной есть эта постоянная:

2°. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

(47)

Доказательство: На основании соотношения (46), можно записать

Так как

И

То

3°. Если и - независимые случайные величины, то дисперсия суммы этих величин равна сумме их дисперсий:

(48)

Доказательство: По формуле (46) имеем

Но

Так как и - независимые случайные величины, то

Следовательно

Далее,

поэтому

Таким образом

Следовательно

Замечание. Свойство 3° распространяется на любое конечное число попарно независимых случайных величин:

Средним квадратичным отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

(49)

Среднее квадратичное отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина .

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I. Дети раннего возраста (до 3-х лет)
2. I. Отправление поезда с железнодорожной станции на перегон
3. I.II. Первый комплекс ГТО и дальнейшее его развитие
4. II. Виды мышления, стадии его развития.
5. II. Движение поездов на однопутных перегонах
6. II. Движение поездов по перегонам, имеющим путевые посты (блок-посты)
7. II. История настоящего заболевания
8. II. Основные расчетные величины индивидуального пожарного риска
9. III Организация рабочего места по приготовлению и приготовление сложной холодной кулинарной продукции.
10. III. ИСТОРИЯ НАСТОЯЩЕГО ЗАБОЛЕВАНИЯ
11. III. Мягкосердечие Пророка, да благословит его Аллах и приветствует, и его плач.
12. III. Нравственный облик, церковно-общественная деятельность, нестроения и злополучия Константинопольской патриархии (от конца XVI в. до настоящего времени).