Алгебраичность и трансцендентность

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 69Следующая ⇒

Пусть E — расширение поля K. Элемент E называется алгебраическим над K, если он является корнем ненулевого многочлена с коэффициентами в K. Элементы, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными. Например, для расширения \mathbb C\supset \mathbb R мнимая единица является алгебраическим числом, так как удовлетворяет уравнению x^2+1=0.

Особенно важен частный случай расширений \mathbb C\supset \mathbb Q: термины алгебраическое число и трансцендентное число (без указания основного поля) употребляют именно для случая данного расширения.

Если каждый элемент расширения E\supset K является алгебраическим над K, E\supset K называется алгебраическим расширением. Неалгебраические расширения называются трансцендентными.

Подмножество S поля E называется алгебраически независимым над K, если не существует ненулевого многочлена (от конечного числа переменных) с коэффициентами в K, такого, что при подстановке в него конечного подмножества чисел из S получится ноль. Наибольшая мощность алгебраически независимого множества называется степенью трансцендентности данного расширения. Для любого расширения можно найти алгебраически независимое множество S, такое что E\supset K(S) является алгебраическим расширением. Множество S, удовлетворяющее этому условию, называется базисом трансцендентности данного расширения. Все базисы трансцендентности имеют одинаковую мощность, равную степени транцендентности расширения.

Простое расширение является конечным, если порождается алгебраическим элементом. В противном случае единственные элементы E\supset K, являющиеся алгебраическими над K — это сами элементы K.

Алгебраи́ ческое расшире́ ние — расширение поля , каждый элемент α которого алгебраичен над K, то есть существует многочленf(x) с коэффициентами из K для которого α является корнем.

Свойства:

• все конечные расширения алгебраичны.

Пусть KÌ EÌ F. Если EÌ K и FÌ Eалгебраичны, то и FÉ Kалгебраично. Обратно, если FÉ Kалгебраично, то и EÉ K и FÉ Kалгебраичны.

В самом деле, если α — какой-нибудь элемент F, то он по определению является корнем некоторого многочлена f(x) с коэффициентами a₁, …a_n из E. Так как все эти a_iалгебраичны над K, то расширение K(a₁, …a_n) является конечным над K, а так как α алгебраично над L=K(a₁, …a_n), то имеем по свойству башни конечных расширений, что L(α )конечно над K, а элемент α алгебраичен над K. Обратное утверждение очевидно.

Если α и β алгебраичны над K, то из предыдущего следует, что K(α, β )=K(α )(β )алгебраично над K, а значит, α +β, α -β, α β, α /β тоже алгебраичны. Отсюда следует, что если KÌ E, то множество элементов K^*Ì E, алгебраических над К образуют поле. Если E является алгебраически замкнутым, то и K^* алгебраически замкнуто. Если взять за Kполерациональных чисел R, а за E алгебраически замкнутое по основной теореме алгебры поле комплексных чисел C, то получим поле алгебраических чисел A.

Если EÌ Kалгебраично, то для любого расширения FÌ K то (если F и E содержатся в каком-нибудь поле) композит полей EF является алгебраическим расширением F). Это легко следует из предыдущего.

Коне́ чное расшире́ ние - расширение поля , такое, что E конечномерно над K как векторное пространство. Размерность векторного пространстваE над Kназывается степенью расширения и обозначается [E: K].

Свойства конечных расширений:

Конечное расширение всегда алгебраично. В самом деле пусть [E: K]=n, так как для любого элемента n+1 элемент 1, α, α ²,...α ⁿ не может быть линейно независимым, значит существует многочлен над K степени не выше n, такой, что α является его корнем.

Простое алгебраическое расширение E=K(α ) является конечным. Если неприводимый многочленα над K имеет степень n, то [E: K]=n

В башне полей , поле F конечно над K тогда и только тогда, когда F конечно над E и E конечно над K. Это легко следует из основных свойств векторных пространств. В этом случае если e₁,...e_n - базис E над K и f₁,...f_m - базис F над E то f₁e₁, f₁e₂,... f₁e_n, f₂e₁,...f_me₁,...f_me_n - базис F над K, отсюда [F: E][E: K]=[F: K]

Конечное расширение E является конечно порождённым. В качестве порождающих элементов можно взять элементы любого базиса E=K(e₁,...e_n). Обратно, любое конечно порождённое алгебраическое расширение является конечным. В самом деле, K(α ₁, α ₂,...α _n)=K(α ₁)(α ₂)...(α _n). Элементы α _i будучи алгебраическими над K остаются таковыми и над бо́ льшим полем K(α ₁)...(α _i_-1). Далее применяем теоремы о конечности простых алгебраических расширений и башне конечных расширений.

Если конечно, то для любого расширения то, (если F и E содержатся в каком-нибудь поле) композит полей EF является конечным расширением F)

Норма́ льное расшире́ ние — алгебраическое расширение поляEÉ K для которого каждый неприводимый многочленf(x) над K, имеющий хотя бы один корень в E, разлагается в E на линейные множители.

Равносильное определение: Если KÌ EÌ K^*, где K^* — алгебраическое замыкание поля К, то E нормально если любой изоморфизм σ E в алгебраическое замыкание K^* над Kявляется автоморфизмом поля E.

Нормальное расширение как поле разложения

Всякое расширение EÉ K является нормальным тогда и только тогда, когда E является полем разложения некоторого множества многочленов из K[x]

Нормальные расширения в соответствии Галуа

Если F — расширениеГалуа поля K, а E — какое-нибудь промежуточное подполе KÌ EÌ F, тогруппаГалуаGal(F/E) по определению состоит из всех автоморфизмов F, оставляющих элементы E неподвижными. Если σ — какой-нибудь автоморфизм полной группы Галуа Gal(F/K), отображающий E на σ (E) то, очевидно, что

Gal(F/σ E)=σ Gal(F/E)σ ^-1

Поэтому расширение E нормально тогда и только тогда, когда подгруппа Gal(F/E) является нормальной подгруппой в Gal(F/K) (отсюда и терминология).

Сепара́ бельное расшире́ ние — алгебраическое расширение поля , состоящее из сепарабельных элементов то есть таких элементов α , минимальный аннуляторf(x)над K для которых не имеет кратных корней. Производная f'(x) должна быть по вышеуказанному ненулевым многочленом. По определению все поля характеристики 0 сепарабельны, поэтому понятие сепарабельности нетривиально лишь для полей ненулевой характеристики p.

Для конечных расширений имеем следующую теорему:

Если KÌ EÌ K^*, где K^* — алгебраическое замыкание поля К, то E сепарабельно тогда и только тогда, когда число различных изоморфизмов σ E в алгебраическое замыкание K^*над K равно степени [E: K]. В случае несепарабельных расширений это число является делителем [E: K] и называется сепарабельной степенью [E: K]_s (частное равно некоторой степени характеристики).

Свойства сепарабельных расширений

Пусть KÌ EÌ F. Если EÉ K и FÉ E сепарабельны, то и FÉ K сепарабельно. Обратно, если FÉ K сепарабельно, то и EÉ K и FÉ E сепарабельны.

Если EÉ K сепарабельно, то для любого расширения FÉ K (если F и E содержатся в каком-нибудь поле) композит полей EF является сепарабельным расширением K.

Теорема о примитивном элементе:

Если E=K(α ₁, α ₂…α _n), где α ₁алгебраичен (хотя и не обязательно сепарабелен) над K, а α ₂…α _n — алгебраичны и сепарабельны, то существует такой элемент θ , что E=K(θ ) (т. н. примитивный элемент).

Обобщение сепарабельности на неалгебраические расширения

Вначале введём понятие линейной свободы двух расширений EÉ K и LÉ K. E называется линейно свободным от L над K, если любое конечное множество элементов Eлинейно независимое над K остаётся линейно независимым и над L. Легко доказывается симметричность этого определения: если E линейно свободно от L над K, то и наоборот, L линейно свободно от E над K.

Обозначим — расширение поля, порождённое присоединением всех корней степени p^m из элементов K. Расширение E над K называется сепарабельным, если E для некоторого натурального m линейно свободно от над K. Для алгебраических расширений это определение эквивалентно обычному. Можно доказать, что от числа mданное определение не зависит и равносильно линейной свободе E и — композиту всех (т. н. критерий Маклейна)

Расшире́ ние Галуа́ — алгебраическое расширение поля EÉ K, являющееся нормальным и сепарабельным. При этих условиях E будет иметь наибольшее количество автоморфизмов над K (если E - конечно, то количество автоморфизмов также конечно и равно степени расширения [E: K]).

Группа автоморфизмов E над K называется группой Галуа и обозначается Gal(E/K) (или G(E/K)).

Если Gal(E/K)абелева, циклическая и т.д., то расширение Галуа называется соответственно абелевым, циклическим и т.д. соответственно.

Иногда рассматривают группу Галуа для расширения E, которое сепарабельно, но необязательно нормально. В этом случае под группой Галуа E/K понимают группу Gal(Ē /K), где Ē — минимальное нормальное расширение K, содержащее E (в конечном случае, когда сепарабельное расширение является простым E=K(α ) для некоторого α , являющегося корнем неприводимого над K многочлена f(x), Ē является полем разложения этого многочлена).

Расширения Галуа

Алгебраическое расширение E\supset K называется нормальным, если каждый неприводимый многочлен f(x) над K, имеющий хотя бы один корень в E, разлагается в E на линейные множители.

Алгебраическое расширение E\supset K называется сепарабельным, если каждый элемент E является сепарабельным, то есть его минимальный многочлен не имеет кратных корней. В частности, теорема о примитивном элементе утверждает, что любое конечное сепарабельное расширение имеет примитивный элемент (то есть является простым расширением). Расширение Галуа — это расширение, являющееся одновременно сепарабельным и нормальным.

Для любого расширения E\supset K можно рассмотреть группу автоморфизмов поля E, действующих тождественно на поле K. Когда расширение является расширением Галуа, эта группа называется группой Галуа данного расширения.

Для расширения E\supset K часто бывает полезно описать промежуточные поля (то есть подполя E, содержащие K). Основная теорема теории Галуа утверждает, что существует биекция между множеством промежуточных полей и множеством подгрупп группы Галуа, обращающая порядок по включению.

Поле разложения многочлена

По́ ле разложе́ ния многочленаp над полемK наименьшее расширениеполя, над которым p разлагается в произведение линейных множителей:

При этом , поэтому о поле L разложения говорят как расширении, полученном присоединением к K всех корней данного многочлена.

Аналогично вводится понятие поля разложения семейства многочленов — такого расширения L, что каждый p_i разлагается в L[x] на линейные множители и Lпорождается над K всеми корнями p_i. Поле разложения конечного множества многочленов p₁, p₂,...p_n, будет, очевидно, полем разложения их произведения p=p₁p₂...p_n

Поля разложения — это в точности то же, что и нормальные расширения

Свойства

• Поле разложения конечного семейства многочленов является конечным алгебраическим расширением поля K.

• Поле разложения многочлена существует для любого семейства многочлена p_i и определено однозначно с точностью до изоморфизма, тождественного на K.

Примеры

§ Если степень многочлена p не превосходит 1, то L = K.

§ Поле комплексных чисе служит полем разложения многочлена x² + 1 над полем вещественных чисел.

§ Любое конечноеполеGF(q), где q = pⁿ, есть поле разложения многочлена многочленаx^q − x над простым подполем .

Конечные поля и их свойства

Конечное поле или поле Галуа — поле, состоящее из конечного числа элементов.

Конечное поле обычно обозначается или GF(q), где q — число элементов поля.

Простейшим примером конечного поля является — кольцо вычетов по модулю простого числаp.

Свойства

§ Характеристика конечного поля является простым числом.

§ Число элементов любого конечного поля есть его характеристика в натуральной степени: .

§ Для каждого простого числа p и натуральногоn существует конечное поле из q = pⁿ элементов, единственное с точностью до изоморфизма. Это поле изоморфно полюразложениямногочлена .

§ Мультипликативная группа конечного поля является циклическойгруппой порядка q − 1.

§ В частности, в конечном поле всегда существует примитивный элемент α, порядок которого равен q − 1, то есть α ^q^{− 1} = 1 и для 0 < i< q − 1.

§ Любой ненулевой элемент β является некоторой степенью примитивного элемента:

§ Поле содержит в себе в качестве подполя тогда и только тогда, когда k является делителем n.

Примеры

§ , где p — простое: и так далее.

§ , где — главныйидеал кольца , порожденный неприводимым многочленом степени n.

Построение

Построение поля GF(pⁿ), где p — простое число, n — натуральное число, начинается с построения его простого подполяGF(p) (которое совпадает со всем полем при n=1).

§ Простое поле GF(p) строится как кольцо вычетов по модулю p, которое в виду простоты p не имеет делителей нуля и является полем.

Элементы — числа . Операции проводятся как с обычными целыми числами с приведением результата по модулюp.

§ Поле GF(pⁿ) при n> 1 строится как факторкольцо , где f(x) — неприводимый многочлен степени n над полем . Таким образом, для построения поля из pⁿ элементов достаточно отыскать многочлен степени n, неприводимый над полем .

§ Элементами поля являются все многочлены степени меньшей n с коэффициентами из . Арифметические операции (сложение и умножение) проводятся по модулю многочлена f(x), то есть, результат соответствующей операции — это остаток от деления на f(x) с приведением коэффициентов по модулюp.

Пример построения поля GF(9 Смотри раздел 7 вопрос 7

4. Линейное пространство над полем, линейно зависимые и независимые системы векторов, базис и размерность линейного пространства. Решение систем линейных уравнений над полем

Определение

Линейное, или векторное пространство над полем — это упорядоченная четвёрка , где

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 10 Следующая ⇒