Биномиальный закон распределения

Закон распределения, который имеет вид

x				...	n
p				...

где вероятность Pn(k) рассчитывается по формуле Бернулли , называется биномиальным. Найдем численные характеристики этого закона распределения: формула Бернулли используется для нахождения вероятности появления события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления этого события одинакова и равна р. Из свойств закона распределения следует, что . .

Пусть n=1 (проведено 1 испытание). Возможные значения X: 0; 1.

X
	p	q

=> ; .

-число появления события в n испытаниях. Обозначим - число появления события в k-том испытании. . Для случайной величины . Так как испытания независимые, то все Х_k имеют одинаковый закон распределения с числовыми характеристиками.

Для случайной величины Х с бинарным законом распределения ;

Закон распределения Пуассона

Закон распределения случайной величины Х называется законом распределения Пуассона, если он имеет вид:

x				...	k	...
p	p(0)	p(1)	p(2)	...	p(k)	...

k=0; 1;...

Вероятности P(k) рассчитываются по формуле Пуассона:

- параметр распределения;

Из закона распределения:

Найдем ;

;

Среднее квадратичное отклонение: .

Для непрерывных случайных величин:

Равномерное распределение:

Случайная величина Х имеет равномерное распределение, если ее плотность распределения постоянна на интервале (a; b) и равна 0 вне этого интервала. Найдем постоянную С из условия

=> c(b-a)=1=>

Тогда

Найдем числовые характеристики М(х) и D(x):

Среднеквадратичное отклонение:

, так как b> a.

Показательное распределение

Случайная величина имеет показательный закон распределения, если ее плотность распределения имеет вид:

, .

Найдем числовые характеристики М(Х) и D(X):

5. Виды сходимости последовательностей случайных величин. Закон больших чисел. Теорема Чебышева

1) Сходимость по вероятности;

Пусть - вероятностное пространство с определёнными на нём случайными величинами .

Говорят, что сходится по вероятности к , если : .

Обозначение: .

Данное свойство означает, что если взять величину с достаточно большим номером, то вероятность значительного отклонения от предельной величины будет небольшой. Однако важно понимать, что если одновременно (т.е. для одного и того же элементарного исхода ) рассмотреть последовательность , то она не обязана сходиться к значению , вообще говоря, ни при каком . Т.е. сколь угодно далеко могут находиться сильно отклоняющиеся значения, просто их " не очень много", поэтому вероятность того, что такое сильное отклонение попадет в заданном эксперименте на конкретно заданный номер , мала.

В качестве примера рассмотрим вероятностное пространство , вероятность - мера Лебега (т.е. вероятность любого интервала равна его длине). Случайные величины зададим следующим образом: для первых двух разбиваем на два интервала и и определяем равной 1 на первом интервале и 0 на втором, а - наоборот, 0 на первом интервале и 1 на втором. Далее берем следующие четыре величины , делим на четыре непересекающихся интервала длины и задаем каждую величину равной 1 на своем интервале и 0 на остальных. Затем рассматриваем следующие 8 величин, делим на 8 интервалов и т.д.

В результате для каждого элементарного исхода последовательность значений имеет вид:

последовательность состоит из серий длин , причем в каждой серии на каком-либо одном месте (зависящем от выбранного элементарного исхода) стоит значение 1, а на остальных местах - нули.

Случайные величины, входящие в серию с номером (длины ) принимают значение 1 с вероятностью и значение 0 с вероятностью . Из основного определения следует, что данная последовательность сходится по вероятности к случайной величине . При этом ни при одном значении последовательность значений не сходится к , так как в любой последовательности значений сколь угодно далеко обязательно находятся отстоящие от 0 значения. Однако поскольку длины серий неограниченно возрастают, то вероятность " попасть" на это значение становится сколь угодно малой при выборе элемента последовательности с достаточно большим номером.

Заметим, что вместо значения 1 можно выбрать любое другое (в том числе как угодно быстро возрастающее с ростом ), и тем самым сделать последовательность математических ожиданий произвольной (в том числе неограниченной). Данный пример показывает, что сходимость по вероятности не влечет сходимости математических ожиданий (равно как и любых других моментов).

Более сильный вид сходимости, который обеспечивает сходимость последовательностей значений к предельному - сходимость почти всюду.

2) Сходимость " почти наверное";

Сходимость " Почти наверное" - это сходимость с вероятностью единица, - сходимость последовательности случайных величин X₁, Х₂, ..., Х _п...., заданных на некотором вероятностном пространстве к случайной величине X, определяемая следующим образом: (или -п. н.), если

В математич. анализе этот вид сходимости называют сходимостью почти всюду. Из С. п. н. вытекает сходимость по вероятности.

3) Сходимость " в среднем";

Говорят, что последовательность случайных величин сходится в среднем порядка p> 0 к случайной величине , если при . При p=2 говорят о сходимости в среднем квадратичном.

4) Сходимость по распределению;

Пусть дано вероятностное пространство и определённые на нём случайные величины . Каждая случайная величина индуцирует вероятностную меру на , называемую её распределением.

Случайные величины X_n сходятся по распределению к случайной величине X, если распределения слабо сходятся к распределению , то есть

для любой ограниченной борелевской функции .

Пользуясь теоремой о замене меры в интеграле Лебега, последнее равенство может быть переписано следующим образом:

Предел по распределению не единственен. Если распределения двух случайных величин идентичны, то они одновременно являются или не являются пределом по распределению последовательности случайных величин.

Свойства распределения:

1) Случайные величины X_n сходятся по распределению к X, если их функции распределения сходятся к функции распределения предела F_X во всех точках непрерывности последней:

2) Если все случайные величины в определении дискретны, то тогда и только тогда, когда имеется сходимость функций вероятности:

3) Если все случайные величины в определении абсолютно непрерывны, и их плотности сходятся:

почти всюду, то . Обратное, вообще говоря, неверно!

4) Сходимость по вероятности (а следовательно и сходимости почти наверное и в L^p) влечёт сходимость по распределению:

. Обратное, вообще говоря, неверно.

Закон больших чисел:

Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти наверное.

Cлабый закон больших чисел

Пусть есть бесконечная последовательность одинаково распределённых и некоррелированных случайных величин , определённых на одном вероятностном пространстве . То есть . Пусть . Обозначим S_n выборочное среднее первых n членов:

Тогда .

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒