Дифференциальное исчисление функций

Рабочие учебные материалы

Рабочая программа

(объем дисциплины 255 часов)

Математика, I семестр

(объем дисциплины 135 часов)

2.1.1. Основы линейной алгебры (25 часов) [1]

Определители второго и третьего порядков, их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Определители n-го порядка. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу).

Матрицы, действия с ними. Понятие обратной матрицы.

Системы двух и трех линейных уравнений. Матричная запись системы линейных уравнений. Правило Крамера. Системы п линейных уравнений с п неизвестными.

2.1.2. Основы векторной алгебры (8 часов) [1], [2]

Системы координат на прямой, плоскости и в пространстве. Пространства R² и Я³. Векторы. Линейные операции над векторами. Проекции вскюра на ось. Направляющие косинусы и длина вектора. Понятие о векторных диаграммах в науке и технике (диаграмма сил, моментов сил, электрических токов, напряжений и т.п.). Координаты центра масс системы точек.

Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина вектора и угол между векторами в координатной форме. Условие ортогональности двух векторов. Механический смысл скалярного произведения.

Векторное произведение двух векторов, его свойства. Условие коллинеарности двух векторов. Геометрический смысл определителя второго порядка. Простейшие приложения векторного произведения в науке и технике: момент силы; сила, действующая на проводник с током в магнитном поле; скорость точки вращающегося тела; направление распространения электромагнитных волн; понятие о явлении гироскопии.

Смешанное произведение трех векторов. Геометрический смысл определителя третьего порядка.

2.1.3. Аналитическая геометрия (40 часов) [2]

Уравнения линий на плоскости. Различные формы уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Угол мсж; гу плоскостями. Угол между прямыми.

Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения. Технические приложения геометрических свойств кривых (использование фокальных свойств, математические модели формообразования биологических, технических и других объектов).

Уравнение поверхности в пространстве. Цилиндрические поверхности. Сфера. Конусы. Гиперболоиды. Параболоиды. Геометрические свойства этих поверхностей, исследование их форм методом сечений. Технические приложения геометрических свойств поверхностей (использование фокальных свойств, модели строительных конструкций, физические модели элементов и т.д.).

Полярные координаты на плоскости. Спираль Архимеда.

Цилиндрические и сферические координаты в пространстве. Различные способы задания линий и поверхностей в пространстве.

Пространство R". Линейные операции над векторами. Различные нормы в R" . Скалярное произведение в R".

Линейные и квадратичные формы в R" . Условие знакоопределенности квадратичной формы.

Понятие линейного (векторного) пространства. Вектор как элемент линейного пространства. Примеры. Линейные операторы. Примеры линейных операторов для моделирования различных процессов.

2 1.4. Введение в математический анализ (62 часа) [3] Элементы математической логики. Необходимое и достаточное условия Прямая и обратная теоремы. Символы математической логики, их использование. Бином Ньютона. Формулы сокращенного

умножения.

Множество вещественных чисел. Функция. Область ее определения. Способы задания. Понятие кривой. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

Сложные и обратные функции, их графики. Класс элементарных

функций.

Числовые последовательности, их роль в вычислительных
процессах Предел числовой последовательности. Стабилизация
десятичных знаков у членов последовательности, имеющей предел.
Существование предела монотонной ограниченной

последовательности.

Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности.

Предел монотонной функции.

Непрерывность функции в точке. Непрерывность основных

элементарных функций.

Бесконечно малые функции в точке, их свойства. Сравнение бесконечно малых функций. Символы 0 и о.

Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значении, существование промежуточных значений. Метод бисекции

Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Общее представление о методах

линеаризации.

Производная функции, ее смысл в различных задачах. Уравнение касательной к кривой в данной точке, Правила нахождения производной и дифференциала.

Производная сложной и обратной функции. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Математика, II семестр

(объем дисциплины 120 часов)

Практический блок Практические занятия

 

 

 

 

 

 

 

 

№тсмы Тема 12.	Г 1аимс1 юванис практических занятий	Кол-во часов по
дневной форме обуч. (56 часов)	очно-заочной форме обуч. (36 часов)	заочной форме обуч. (20 часов)
Решение систем линейных уравнений
Тема 1.3.	Матрицы и их применение к решению систем
Тема 3.3. Тема 3.4. Тема 3.5. ~Тема~43.	Уравнения плоскости и прямой в пространстве	4 '
Кривые второго порядка
11онсрхнос'1'и второго порядка
Способы вычисления пределов
Тема 4.4.	Непрерывность функции. Точки разрыва
Тема 4.5.	Производная функции
Тема 5.1.	Правило Лопиталя
Тема 5.2. Тема 7.1.	Применение производной для исследования функции
Первообразная. Неопределенный интеграл
Тема 7.3.	Определенный интеграл. Приложения
Тема 7.4.	Несобственный интеграл
Тема 8.1.	Функции нескольких переменных
Тема 82.	Экстремумы функций нескольких переменных

3. Информационные ресурсы дисциплины Библиографический список

Основной:

1. Лобунина, И.И. Линейная алгебра: учеб. пособие /И.И.Лобунина. - СПб.: изд-во СЗТУ, 2003, 2005.

2. Романова, Ю.С. Аналитическая геометрия: учеб. пособие /Ю.С.Романова. -СПб.: изд-во СЗТУ, 2007.

3. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.1, 2 /Н.С.Пискунов.-М.: 1985.

Дополнительный:

4.Шепелявая, Н.Б. Введение в математический анализ: учеб. пособие /Н.Б.Шепелявая. - СПб.: изд-во СЗТУ, 2005.

5. Волынская, И.А. Дифференциальное исчисление функций одной переменной: учеб. пособие /И.Л.Вольшская. - СПб.: изд-во СЗТУ, 2005.

6. Погаиснко, Л.Л. Иптиралыюе исчисление функций одной переменной: учеб. пособие /А.Л.11отанепко. - СПб.: изд-во СЗТУ, 2005.

7.Гаврилов, В. Л. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных: учеб. пособие /В.Л.Гаврилов. - СПб.: изд-во СЗТУ, 2005.

8.Данко, Н.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т.1 /Н.Е. Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. - М.: Высш. школа, 1980.

9.Задачи и упражнения но математическому анализу для втузов /под ред. Б.П.Дсмидовича. - М.: Паука, 1978.

10. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 4.1 /Д.Т.
Письменный - М.: Айрис-пресс, 2004.

4. Блок контроля освоения дисциплины

4.1. Методические указания но выполнению контрольной работы N1

Матрицы и операции над ними

[1], гл.2; [8|, гл.4, §2; [10]

Пример 3. Решить систему уравнений

'2x + 2y-z = 3

4x + 5z = 19

2x + ^ + z = 7

с помощью обратной матрицы.

Решение: Введем следующие матрицы:

А =

2 2	-1
4 0
2 1

- матрица составлена из коэффициентов при неизвестных (матрица

системы);

'лЛ

X

В

У

K^ZJ

fз^

- матрица-столбец из неизвестных;

матрица-столбец свободных членов. При' этом исходная

система может быть записана в матричной форме: А ■ X = В. Решим это уравнение. Для этого умножим слева обе части уравнения на матрицу А~¹, обратную матрице А (в предположении, что матрица А~¹ существует):

Л'¹ ■ Л- X = Л~^х В.

Так как по определению обратной матрицы А~^х ■ А = Е, где Е =

- единичная матрица, то матричное уравнение примет вид:

^/,; ■ ^х = А~^х ■ В или X = А~^х ■ #(так как ЕХ = х). Таким образом, матрица-столбец X находится по формуле X = А~^] ■ В. Обратная матрица А'¹ существует, если определитель исходной матрицы А отличен от нуля: D(A) * 0, и вычисляется по формуле:

Ч\

42

Ь2 4зз

•12

А~¹=-

D{A

■ 13

Чъ

К\2

где А, _к- алгебраические дополнения элементов a_ik. Матрицы А(1, к=1, 2, 3). Определитель матрицы А равен 1

D(A)

-2 (см. пример 2).

Таким образом, D(A) ф 0, следовательно А ' существует. Вычисляем

алгебраические дополнения элементов матрицы А:

А

А

'31

= (-0^: ■ Л-1?

: (-1)⁴

1 -1

1 -1

-5:

4₂=И)

Л₂₂=(-1)⁴

= -3:

= 10; Л₃2=(-1)"

.4

2 2

 

= 6;

Л

! 13

= ИУ

= 4; А₂₃ =(-1)-= -14; Л₃₃=(-1)⁶

4 2 2 2

= 4;

= 2:

Следует обратить внимание, что при нахождении обратной матрицы алгебраические дополнения элементов строк располагаются в качестве столбцов. Отсюда

-5-3 10 2, 5 1, 5 -i

А-1 =

6 4 -14 = -3-2 7 4 2-8 -2-14 Проверим, правильно ли найдена обратная матрица. Для этого убедимся, что Л -Л = Е. Произведите матриц А~^х ■ А найдем по правилу умножения магриц, согласно которому каждый элемент c_ik произведения С = А-В равен сумме произведений элементов /-ой строки матрицы А на соответствующие элементы к-ой строки матрицы В.

2, 5 -3 -2 5 + 6-10 5-5 -2, 5 + 7, 5-5 -6-8 + 14 -6 + 7 3-10 + 7 -4-4+8 -4+4 2-5+4 Следовательно, обратная матрица А~х неизвестную матрицу X: 1, 5 -5 Х = А~1-В =

	2 2	-1
	4 0
	2 1	-1

4-1

А =

1, 5 -5 -2 7 -1 4

	1 0 0
=	0 1 0
	0 0 1

= Е.

найдена верно. Найдем теперь

2, 5 3 -2 2 -1

7, 5 + 28, 5-35

-9-38 + 49

-6-19 + 28

зезультат: 1

2 О 1

2 + 4-3 4 + 15 2 + 2 + 3

Проверим полученный А-Х =

= В.

Матрица X найдена верно. Таким образом,

х 1

Х= у = 2 z

следовательно, решение системы уравнений имеет вид:

'х = \

у = 2

[z = 3.

2 2 7

х +у" -6х + [ = 0их + у = 5. Указать вид кривых. Сделать чертеж.

Решение: Определим вид кривых. Уравнение х² + у² -6х + 1 = 0;

х -6х + 9 + у +1 = 9; (х-3) + у² =8 определяет окружность с центром в

точке (3; 0) и радиусом Л = 2 V2.

Уравнению х + у² = 5 или у² = -(х - 5) соответствует парабола, симметричная относительно оси Ох, ветви которой направлены влево, а вершина находится в точке (5, 0). Координаты точек пересечения двух заданных линий являются решениями системы уравнений:

Jx²+/-6x+.l = 0

\х + у² =5

Подставляя у = 5 - х из второго уравнения в первое, получим х² -7х + 6 = 0, откуда х, = 1, х₂ = 6. Тогда при х_г=1, у² = 4, у = ±2. При х₂ = 6 уравнение у² = 5 - х решения не имеет. Таким образом, заданные окружность и парабола пересекаются в двух точках A/j(l; 2) и М₂(1; -2) (см.рис.2).

В декартовой системе координат в пространстве всякому уравнению первой степени относительно текущих координат соответствует плоскость, а уравнению второй степени в общем случае соответствует поверхность второго порядка (за исключением вырожденных случаев).

Пример 8. Тело в пространстве задано системой неравенств

х² +у² -(z-2)² < 0

2?

X +у < Z

z< 2

Определить вид поверхностей, его ограничивающих, и изобразить это тело.

Решение: Уравнение х² + у² - (z - 2)² = О задает в пространстве конус с осью Oz, смещенный вдоль оси Oz на 2 (рис.3). Он разбивает все пространство на три части. Объединение двух из них, содержащих точки оси Oz, задается неравенством х² + у² - (z - 2)² < 0. Параболоид, задаваемый уравнением х² + у² = z (рис.4), разбивает пространство на две части, одна из которых и задается неравенством х² + у² < z. Так как координаты точки А(0; 0; 2) удовлетворяют этому неравенству, то речь, очевидно, идет о части пространства, лежащей внутри параболоида.

Наконец, z < 2 задает то полупространство, которое лежит ниже плоскости z = 2. Поверхности х² + у² = z и х² + у² - (z - 2)² = 0 пересекаются в плоскости z = 1 по окружности х² + у² = 1.

Объединяя эти результаты, мы получим, что исследуемое тело имеет вид, указанный на рис.5.

Пример 9. Сделать схематический рисунок тела, заданного системой неравенств

f x² + v²< \6

[x²₊y²-z²> l2 Указать вид поверхностей, ограничивающих тело. Определить, по каким линиям и в каких плоскостях пересекаются эти поверхности.

Решение: Уравнение х² + у² = 16 задает цилиндр с осью Oz, направляющей которого является окружность радиуса 4 с центром в

V*

начале координат (рис.6). Уравнение х² + у² - _z² = _{12 З}адае-одиополостный гиперболоид (ось вращения - ось Oz), радиус " горла'¹ (сечение плоскостью z = 0) равенлЯ^Тз (рис.7). Очевидно что линиями пересечения поверхностей будут окружности того же радиуса что и направляющая цилиндра. Определим, в каких плоскостях пересекаются поверхности. Для этого из уравнений системы исключим хиу.х + у подставим в уравнение гиперболоида. Получим 16 - z² = Г или z- - 4, откуда z = ±2.

На рис.8 изображено тело, ограниченное снаружи цилиндром а изнутри однополостным гиперболоидом, которые пересекаются по двум окружностям с центрами на оси Oz, с одинаковыми радиусами R = 4 расположенными в плоскостях z = 2 и z = -2.

4.2. Методические указания но выполнению контрольной работы Л^ 2

Раскрытие неопределенностей

Если при формальной подстановке предельного значения аргумента получается выражение вида

-- — 0 • 00, 00 -СО, 0, СО, 1,

О' оо' то для нахождения пределов функций необходимо проводить

преобразования данных выражений.

х³-1

Пример 12. Найти hm-------- -•

^г х-> 1 х - Зх + 2

Решение: Непосредственная подстановка значения х = 1 приводит к

неопределенности вида £. Разложим на множители числитель и

знаменатель дроби, выделим общий множитель и сократим на него

дробь.

Для разложения числителя воспользуемся формулой.

(a> -b³)=(a-bia²₊ab ₊ b²) т.е. х³ -1 = (x-l\x² +x + l). В знаменателе дроби стоит квадратный трехчлен. Если квадратный трехчлен имеет корни х_ьх_2> то он раскладывается на множители следующим образом: ах² +Ъх + с = а\х-х_х\х-х₂)-

Данный квадратный трехчлен имеет корни х_х = 1, х₂ = 2, поэтому

с - Зх + 2 - (х - 1)(х - 2). Таким образом,

4.

1-2x^-1

lim -₂^±_ = lim ^ii^Lll) _{= lim} fl±f±l. з ^ix²-3x + 2 *-> i (x-l)(x-2) x-> i x-2

Пример 13. Найти lim

Решенис: 11сиосрсдствешю подставляя х = 0, получаем О _ЛГ неопределенность -. Умножим и разделим данную дробь на выражение,

сопряженное числителю, то есть на h/l - 2х² +1):

,. VI-2x^-1,. lim------------- = lim х-> 0 у- х-> 0

/b^-llVT^ _{+ 1}) ₌ ^ 1-2х²-1

2Vl-2x2+l

^°x²k/l^27 ₊ l

-2х^

-2

lim

= lim

■ = -1.

mil - / ------ -=----- -, = щц ---

^°x²(Vl-2x²+l) ^°Vi-2x²+l Замечание: Если в примере иррациональность имеется в числителе и знаменателе дроби, то дробь следует умножить и разделить на выражение, сопряженное числителю и на выражение, сопряженное знаменателю.

Пример 14. Найти lim 1*1~^{2х + 5}, *-> »7х²+Зх-8

Решение: В этом примере неопределенность вида —. Вынесем за

скобки в числителе х, а в знаменателе х² (наивысшую степень х для каждого

многочлена):

,. 3xJ-2x + 5,. lim —- = hm -7 x^lx + 3x-8 дс-> « 2' X V

- 2 5^ V x x )

= lim x

7 + --^2 x x1

7 ₊ l *

x x^L ) Величины 1/х, 1/х², 1/х³, обратные бесконечно большим, - бесконечно малые, и, значит, выражение в скобках стремится к 3/7. х - бесконечно большая величина, следовательно, произведение х ■ 3/7 также величина бесконечно большая, то есть

.. Зх³-2х + 5
lim —-------------------------------------- = оо.

*-> °° 7х² + Зх - 8 Аналогичный прием вычисления пределов можно использовать для

раскрытия неопределенностей в случае иррациональных функций.

J<

5х + 8 Пример 15. Найти lim

х-»+°о

\х¹ -3

Решение:

— = lim 3 ^ х-> +оо,

х2;

х 5 + -
5х + 8.. I. xj

^

hm -; =----=== hm

х24-

4х²-3 ^х'

х 5 + -

4_.

Так как х -> +оо, то х> 0 и, значит, |х| = х. Поэтому

lim

.г —»+°о

 

х 5 +

5 + -V х)

5 + 0 5

= = lim

5 + -
= lim ^x

Г~3~ V4^0 2
J.I4-, X.I4--J ^4-_?

Пример 16. Найти lim (л/х + 2х + х].

X—> -°0

Решение: Имеем неопределенность вида (оо-оо). Умножим и разделим
данное выражение на сопряженное:

lim h/x2 + 2х + хj

х + х/= lim Х-У-оо

л! х2 + 2х - х 2х

х² + 2х + хj[Vx² + 2х - х |

х-»-со

х²+2х-х²..
= hm . = hm

^х-^> -⁰⁰4х² +2х -х *-⁾" ⁰⁰4х² +2

X - X

Получим неопределенность вида —. Раскроем ее стандартным способом:

2х,. 2х.. 2х

lim --_=--------- = hm -=- --- = hm

|х| J1 + — х

*+«> 4х²+2х-х ^х^-^х Ы_{1 +} 2)__х ^х^-^с°¹ ' ^{L 2}

V V х)

Так как х -» -оо, то х< 0 и, значит, |х| = -х. Тогда

lim

lim Х-> -со,

2х.. 2х

|x|Jl + --x X

-xjl +------------------------------------------ х

X

lim

—x

2x

1X1

lim

1 + -+1

Производная и дифференциал

[41, §4; [3], т.1, гл.3, §§2-16; [8], гл.7, §1; [9], гл.2, §§1-6

Вычисление производных

Основные правила дифференцирования:

Если функция и(х) и v(x) дифференцируемы в точке х, то в этой точке:

1. (u + v) =u' + v' 2. (си) = си'(с = const)

 

Таблица производных:

1. (с)' = 0 2. (х^т) = тх^тЛ 3. (sin*)' = cos*

t ^ 1.-«

4. (cosx) = -sinx 5. (tgx) =-—-—- 6. (ctgx) =

cos x suTx

¹ о / \ 1 „ / 4' 1

7. (arcsinx) =-—= 8. (arccosx) =— 9. (arc^c) =------

Vl-x² _f Vl-x² 1 + x

10. (arcctgx)' = -^-j 11. (e^x) = e^x 12. (a^xj =a*lna

1 + ^X (e> 0, a*l)

13. (in*)'-¹ 14. (log, *)'--¹—

* x In a

(a> 0, a*l)

5 ²

Пример 21. Найти производную функции у = 2л/х 1 + 3

х² 2 Решение: Используем первое и второе правила дифференцирования

У ■ • 2 Далее используем формулу для нахождения производной степенной функции (табличная формула N 2): / = 2l(x)r, -5(-2)x-2" I+l2x2-1+0 = V%+i0x-3+x = -^ + H + x Пример 22.Найти производную функции у = (cosx + 5)ех. Решение: Используем правило дифференцирования произведения и табличные формулы N 4 и N 11:

VX

У - Ы -(-'J' ₊^f ₊ (ЗУ-2рП' -^-J ЛИ ₊Р)

у'= (cosx + 5^> )e^x+{cosx + 5\e^x) =

=-. (- sin x + ОУ + (cos x + 5)e^x = e^x (cos x - sin x + 5).

arcfgx Пример 23. Найти производную функции у = ~^Г

Решение: Используем правило дифференцирования частного и

табличные формулы N 9 и N 13:

> ----------------------------------- -\nx-arctgx--

, (arctgx)' In x - arc/_gx(ln x) ₌ l + x^z__________ * ₌

^У ~ " 1п²х 1п²х

_ xh^c-^^jarctgx^

" ^f+x^jln^x

О оо

О' оо' ° ^С°' ⁰⁰~^со' ° ' °° ^°■ Тогда вычисление заданного предела

называют раскрытием неопределенности соответствующего типа. Обычно

при этом используют- правило Лопиталя.

4.3.1. Раскрытие неопределенностей типа - и —

О ОС

Непосредственно применять правило Лопиталя можно только для

О 00

раскрытия неопределенностей типа -- или —. Согласно этому правилу,

предел отношения двух бесконечно малых (или двух бесконечно больших) существует и равен пределу отношения их производных:

 

hm^-^ = hm^-S

jr-> a g(x) x-> a g\x)

если выполнены условия:

1) функции f(x), g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки х = а и g'(x) Ф О в этой окрестности (кроме, может быть самой точки а);

2) lim f(x) = lim g(x) = 0 (или lim f(x) = lim g(x) = да);

лг-> а х-+а x-> a x-> a

fix)

3) существует lim -—- (конечный или бесконечный), при этом с

х-> а g'(x)

может быть как числом, так и одним из символов: да, +оо, -да.

1 — 2 cos х Пример 28. Найти lim —

x-> % sin(7r - Зх)

 

Решение: Поскольку lim (l-2cosx) = l-2cos—=

х^/_ъ 3

1 ( яЛ

= 1-2—= 0 и lim sin(; r-3x) = sinЬг-3-— = sinO = 0, то имеем

2 х^/₃ { 3J
неопределенность типа -. Функции (l-2cosx) и sin(; r-3x)

дифференцируемы па всей числовой оси. Найдем предел отношения их производных:

(l-2cosx),. 0-2(-sinx) 2sinx

lim -^----- '-у = lim----------------- —г = lim.—---- -, ---- —r =

~U(sin(*-3*)) ^eos(; r-3x)(, r-3x) *-^-3cos(; r-3x)

_2sin^_²^/_ Л

' -3cos0 -3-1 3 '

Так как этот предел существует, то согласно правилу Лопиталя:

l-2cosx,. (l-2cosx) V3

lim —-, ------------------- _s-= lim ^s '—-

x-> -

%sin(; r-3x) *-^(sin(^-3x))' ³

Замечание. Ьсли предел отношения производных hm вновь

*-*» g (х)

О да

представляет собой неопределенность типа - или —, то правило

Ода

Лопиталя применяется еще раз.

 

4.3.2. Раскрытие неопределенностей типа 0-да и да-да

Неопределенность типа 0-да или да-да следует вначале путем

тождественных преобразований привести к неопределенностям типа °

О или --, для раскрытия которых можно непосредственно применить правило Лопиталя.

Пример 29. Найти lim cosх 1п(тг - 2х).

х-> —о

Решение: При *-+^__о аргумент логарифмической функции (тг-2х)-+0 _{+ о}. Так как lim cosx = 0 и lim 1щ> - 2х) =-да

ТО

х^~о х-*--с

возникает неопределенность типа 0-да. Обычно в таких случаях один из
сомножителей записывают в знаменатель данного выражения-
lim ^£ 1п(^2х)₌ Ц^х)

л л: —> —о

1.. * 1

JC—> --------------------------------- О

2 ^Л 2 /COSX

Получена неопределенность типа ™, к которой применимо правило

да Лопиталя:

 

un, Jsfc^). _Iim M^l_{= Iim} ^Л±^1]

-„(cosx)-¹ ^|-₀^^ ^оЦ^хУЦ^х)

= -2 lim -^c™" -* lim -JL ₌ _2 _lim ^lf (поскольку lim sin x = 1). Здесь имеет место неопределенность типа

х-> —о

О

_о> для раскрытия которой снова применяем правило Лопиталя:

 

 

„,. cos² x.,. (cos²x) 2cosx(-sinx)
- 2 lim------------- = -2 lim ^л----- V = -2 hm-------------- - =

х-> ^п-о^л-^1х х-> ^п-о{тг-2х) xJL-o -2

2 2 ^v 2

-2

 

'1 1

Пример 30. Найти lim

шение: Выражение в скобках, представляющее собой неопределенность типа да-со, приводим к общему знаменателю:

 

^ „*

е*-1-х

lim

= lim—у------------------------------------ г.

x-> 0l х ех -1

*-> 0 x[e*-lj

Полученную неопределенность типа - раскроем по правилу Лопиталя

(в ходе вычислений это правило применено дважды):

,. е^х-\-х ,. (е^х-1-х),. е^х-0-\

lim —f--------- _г = hm V------- -f- = lim -t----- г----- =

*-o _x(e^x -1) *-o y_gX _ j J x-, 0 i(_e* _ i)_{+ xe}*

= hm —-^v --¹—-, - = hm------ = hm---------- = hm------ = -.

x-> o(_jX _, _x) x^o_e^x -0 + e^x +xe^x ^-> o_e^x(2 + x) *-> o2 + x 2

4.3.3. Раскрытие неопределенностей типа 1, 0, °о

При раскрытии указанных неопределенностей используются:

а)основное логарифмическое тождество a ^ogo = Ь (в частности, е ^п = Ь); б) непрерывность показательной функции, в силу чего:

hme^{M ;} =e^v< "

х—> а

(

\c(g3x 2-е*/

X-+U+0

Решение: Поскольку lim [2-е^х)= 2-1 = 1, lim c? g3x = +oo,

х-^0+о х-> 0+о

x-»0+o V ) x-»0+o

имеем неопределенность типа 1^е0. Найдем вначале предел логарифма
заданной функции: lim In (2-е* Г = lim ctg3xln(2-e^x). Здесь

возникла неопределенность типа 0 • оо. Если учесть, что ctgix =, то

tg3x'

О переидем к неопределенности типа -, которую можно раскрыть по

правилу Лопиталя:

lim cfe3*ln(2-_e*)=- lim ^^ = lim ^Л.₌

x-> 0+o

x-> 0+o fg3x x-^0+o (tg3x)'

-(-«•)

_ , ■ 2-e*_J_ ' 1.. e*cos²3x 1 Ы² 1

= hm------------- = -- lim ----------- =---------- = —

x-> 0+_o 1 ₃ 3x-*0+_o 2-е* 3- 2-1 3

cos 3x Теперь используем основное логарифмическое тождество и свойство непрерывности показательной функции:

lim 12-e Г = hm e\ ) =e" ^0+o =_e^/3=-~

*-> 0+o x-^O+o 3fe'

Таким образом, для вычисления lim i/(x)^v(x) в случае

х—> а

неопределенностей 1°°, 0°, °о°, применяем правило: limw^v=e^? , где

х-*а q = lim vlnw. jc—> a

Lb-

наиденных критических точек проверяют на наличие экстремума с помощью одного из достаточных признаков существования экстремума (по первой или второй производной).

Пример 32. Найти промежутки монотонности и точки экстремума

функции, у = —.

х -1 Решение: Прежде всего отметим, что данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки х = 1. Продифференцируем эт\ функцию

' _ ⁴*³(*³ -l)-*⁴3x² ₌ х³(х³-4)

^У" V4 " («'-if "

Очевидно, что точка х₀ -1 не является критической, поскольку не

принадлежит множеству определения функции. Имеем две

критические точки, в которых У = 0: 3™*! =0их₂ =v4«l, 58. Чтобы

найти промежутки возрастания функции у(х), надо решить

хЦх³-4)
неравенство у' > 0, или -—• гг-¹> 0. Оно выполняется при

(*³ -if

; +оо[ - это промежутки возрастания функции

Соответственно, у' < О при х е ]0; l[U f', V4[ - промежутки убывания

данной функции.

В критических точках х_х - 0; hx₂=V4 проверим выполнение

достаточного условия существования экстремума с использованием первой производной. При переходе через точку х = 0 первая производная у' меняет знак с (+) на (-), значит, х = 0 - точка

максимума. Аналогично, точка х₂ = v4 - точка минимума, потом} что при переходе через нее первая производная у' меняет знак с (-) на

(+)•

Найдем экстремальные значения функции:

max y(x) = y(0) = 0; min у(х) = у^Я) = - Ш « 2, 1

X l

= lim --— = lim------- — = 0.

x-*+co x — l x-> +co - l^

x² Аналогично находим, что при х -> -со по-прежнему А: = I; 6 = 0.

Таким образом, график функции У = —_ъ имеет одну и ту же

х -I наклонную асимптоту при х -» +со и х -> -со; это прямая у = х.

4.3.7. Общий план исследования функции

Чтобы составить достаточно полное представление о характере поведения функции и построить ее график, удобно проводить ее исследование по следующему плану:

I. Установшъ множество определения функции; при наличии точек разрыва найти в них односторонние пределы данной функции;

2.а) Найти точки пересечения графика функции с осями координат б) О шстить особенности графика заданной функции, не связанные с производными, например, симметрию, периодичность.

3. Установить промежутки возрастания и убывания функции, найти ее экстремумы.

4. Установить промежутки выпуклости и вогнутости график функции, найти точки перегиба.

5 Найти асимптоты графика функции.

х⁴ Пример 36. Исследовать функцию у = --— и сделать схематический

х³-1

чертеж ее графика.

Решение: Как отмечалось в примере 32, множество определения данной функции - вся числовая ось Ох, исключая точку х = 1: X = (-oo; 1)(J(1; +oo)l График функции пересекается с осями

= х

(-*)<

координат в единственной точке 0(0, 0). Функция не является ни четной, ни нечетной,

*У(х)

поскольку у(-х)=

-х³-1

Рис.13

у(-х)*-у(х), поэтому график функции не обладает свойствами симметрии. Дальнейшее исследование этой функции фактически уже проведено в примерах 32 -35. По данным, полученным в этих примерах, сделан схематический чертеж графика заданной

функции, который представлен на рис.13

 

Пример 37. Исследовать функцию схематический чертеж ее графика.

Решение: 1. Множество определения данной функции - вся числовая ось Ох, кроме точки х = 0: X = (-оо; 0) U (0; +оо). Найдем

односторонние пределы функции при х-> 0. Предел слева
У 1/

lim хе^/х = 0, так как lim х = 0 и lim e^/x = lim e^y = 0 При

х> 0< > х-> 0-о *-> 0-о у-> -< я

вычислении предела справа возникает неопределенность вида 0-оо;

приводим ее к неопределенности вида —, к которой применяем правило

Лопиталя:

и сделать

у = хе^/

 

2. а) Точки пересечения графика функции с осью Ох определяютс

из условия у = 0. В данном случае уравнение хе'^х =0 не имее решений, так как х = 0 не входит в множество определения функциЕ Точки пересечения графика функции с осью Оу можно найти, положи-х = 0. Для заданной функции это значение не входит в множество е: определения. Следовательно, график исследуемой функции не имее-точск пересечения с осями координат.

б) Поскольку у(-х) = -хе~^х *у(х)иу(-х)*-у(х), то функция н является ни четной, ни нечетной.

3. Находим

( у хе'у

У УГ ■ е/х +хе'

У =

-(х-1).

v х;

Производная у' существует и конечна на всем множеств: определения заданной функции X = (-оо; 0) U (0; +оо). Поскольку точк^ разрыва первой производной х = 0 не принадлежит множеств) определения функции, то все критические точки функции у{х

1/

 

Функция у{х) возрастает, если у'(х)> 0, то есть при -оо< х< 0 и 1 < х < +оо.

Функция у(х) убывает, если у'< 0, в данном случае при 0< х< 1. Таким образом, при переходе через точку х=1 первая производная меняет знак с (-) на (+), то есть х = \ - точка минимума; y(l) = min у(х) = е.

1/

1 Y. П V 1

4. Находим у" =

1-

2 V х У

1-------------------------------------------- \ + е^/

 

Вторая производная существует и конечна во всех точках множества определения данной функции. Тогда все точки перегиба находим из

V

р/ X

условия: у" - О, то есть ----- = 0. Поскольку это уравнение не имеет

х
решения, то точек перегиба нет. График функции - выпуклый, если у"
< 0; в данном случае при х < 0. График функции вогнутый при х> 0- > 0
где.у" > 0. j v, ,

5. Как было установлено в пункте 1, в точке х = 0 функция

у = хе^/х имеет бесконечный разрыв, поэтому прямая х = 0 является вертикальной асимптотой ее графика. Для определения наклонных асимптот найдем:

к= lim & = lim _еУ* = е° = 1

ДГ-»±0О

X—> ±оо X

 

b= lim (y(x)-kx)= lim xe^-xj = lim x

X—> ±0О

- lim —-

Х-> ±оо 1

 

ш

^: -1 I е'^х I -

= lim

= lim eA = е° х—> ±оо

- = lim

(X) — -л»

Значит, прямая у - х+\ является наклонной асимптотой графика функции при х -> +оо и х -> -оо. Схематический чертеж графика функции приведен на рис. 14.

Пример 38. Исследовать функцию у = Ц\х²-\f _и сделать схематический чертеж графика.

Решение: 1). Данная функция определена на всей числовой оси Ох: X = (-оо; +оо).

123456Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Анатомо-морфологическая база высших психических функций
2. Аппаратура для проведения исследований проприорецептивных функций
3. Вопрос №10 Понятие, виды и характеристика внешних функций государства
4. Глава 4. Нарушения нормальных функций желудочно-кишечного тракта
5. Государство: понятие и его функции, формы осуществления государственных функций
6. Государство: понятие и его функции, формы осуществления государственных функций.
7. Действие функций слабых каналов
8. Дифференциальное включение ОУ
9. Дифференциальное уравнение теплопроводности
10. И инверсных логических функций
11. Использование метода штрафных функций для решения задач математического программирования