Основные свойства неопределенного интеграла

1. (Jf(x)dx) = f{x); d \f{x)dx = f(x)dx;

2- \[C_xf_} (x) + C₂f₂ (x)]dx =C_X f/i (x)dx +C₂ \h (x)dx

3. Если \f(x)dx = F(x) + C, то jf[< p(x)}i[< p(x)] = F[< p{xj\ + C

(инвариантность формул интегрирования)

4. \dF(x) = F(x) + C

Таблица основных интегралов

 

„m+1

\.\Odx = C 3.J—= In|jc|+C x

2.\x^mdx = ------------------ + С; тФ-\

m + \

^J In a

в частности, Je*ax = e^x + С 5.fcosxdx = sinx + C 6.Jsinxu? x = -cosx + C

 

dx

tgx + C 8. J 2 = -cfgx + С

sin2x

10-J-

J

arcsin--------- \-C \a\ -arccos---------- hC lal

1 X _,

Л

C&

12.J.

— arctg — + C
a a

2 2 a +x

/~2 2 Va — x t/x

1 x _

---------------------------------------------------- arcctg — + C

a a

+ C 14.}^^ = —In ^Jx²-a² 2a

+ C

: + yjx2 ± (

13.J-

■ = ln

V7±^

x + a

x-a

Основная трудность при интегрировании состоит в приведении подынтегрального выражения к виду, позволяющему использовать таблицу интегралов. Для некоторых видов подынтегральных функций можно указать ряд приемов, позволяющих это сделать.

Метод замены переменной интегрирования (метод подстановки)

VT

2х

9у е cos 5x

Суть этого метода состоит в преобразовании данного подынтегрального выражения к подынтегральному выражению уже известной формулы интегрирования с помощью замены переменной по формуле х = < p(t) или / = у/(х) (причем функции < p(t) или у/(х) должны иметь обратную функцию и быть непрерывно дифференцируемыми).

■ Зе

dx.

2х

Пример 40. Найти / = J-

Решение: Разделив почленно числитель подынтегральной дроби на выражение, стоящее в знаменателе, и, применив свойство 2, получим сумму трех интефалов

_т г е^х г e^2xdx г

^ ⁼ < " + j —р=^=г- cos5xdx.

В первом из них введем новую переменную t = e, тогда dt = e^xdx \

xdx i,

j_^ = J~r=Y = arcsin/ + С = arcsine* + С (использована формула ^;

Vl-e VI-Г

из таблицы интегралов). Вычисляя второй интеграл, введеу переменную z = \-e^2x, при этом dz = -2e^2xdx, тогда

е'Vx 1 r c/z l, -i/, lz/2

г е ffl l {az 1 г -К, z7/ г- /

_2

1-е/х+С.

1/

(применена формула 2 из таблицы интегралов, причем m = -1/2). Пр;: нахождении последнего интеграла можно не вводить новую переменнук t, а использовать прием, называемый подведением под зназ дифференциала: умножим и разделим подынтегральную функцию на: ' и учтем, что 5dx =■ d(5x).

jcos5xdx = Jcos5x-5dx = - Jcos(5x)u? (5x) = -sin5x + C.

На последнем шаге здесь использовано свойство инвариантности н формула 5 из таблицы интегралов. Окончательно

/ = arcsin е^х - 3 VI - е^2х - - sin 5x + С.

5

Метод интегрирования но частям

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле производят по формуле:

\udv = от - \vdu. Чтобы вновь полученный интеграл jvdu был проще исходного \udv,

нужно удачно выбрать выражения и и dv n заданном интеграле. Часто при этом удобно пользоваться правилами:

-если под интегралом стоит произведение многочлена на синус. косинус или экспоненту, то в качестве и берем многочлен;

-если подынтегральное выражение является произведением многочлена па какую-либо функцию от логарифма, арктангенса юн; арксинуса, то за и следует брать именно эту функцию.

Пример 42. Найти f(4x³ +2\wctgxdx.

Решение: Обозначим и = arctgx; dv = (Чх³ + 2xjdx; тогда

du = arctgx'dx = -; v= f(4x³ + 2x)dx = x⁴ + x². Подставляя эти

1 + jT = (х4 + x2)arctgx- j 2 a*=(x4-f x2 jarctgx- \x2dx-

выражения в формулу интегрирования по частям, получим:
f(4x³ +2x)arctgxdx = (x⁴ + x²}arctgx- Г----------------- —dx =

= f x⁴ + x²) arctgx vC.

Иногда предварительно сделанная замена переменной упрощает задачу интегрирования по частям. Возможны ситуации, когда интегрирование по частям следует применить несколько раз.

4.3.10. Интегрирование дробно-рациональных функций от различных выражений

Чтобы проинтегрировать рациональную дробь от аргумента х, ее следует предварительно разложить на сумму простейших дробей. Дробно-рациональная функция от тригонометрических выражений может быть сведена к алгебраической дробно-рациональной функции от нового аргумента t с помощью одной из подстановок:

X

I = sin x; I = cosx; 1 = tgx; t = tg-~

(«универсальная» тригонометрическая подстановка).

Пример 43. Найти I- |------- dx.

^J1 - sin х

Решение: Применим универсальную тригонометрическую

х. Ъ \-t², 2dt

подстановку i-tg--; при этом sinx = -; cosx =----- -; dx =---- -.

2 \ + t² \ + t² \ + t²

Тогда

r= f sin* rl + f2 l + t2 _ г *dt 41-Sinx-J Х_Ъ_ -\l + S)(t-lf 1 + / Разложим дробь, получившуюся под интегралом, на сумму простейших дробей:

It 2dt

D

At

At + B С

+

\ ₊ t²\t-\)² \ + t² t-\ (_f-l)²' Приведем выражение в правой части к общему знаменателю и учтем. что числители обеих дробей равны:

4l = (At + BJt²-2t + l)+c(\ + t²lt-\) + D(l + t²)

или

41={А + СУ +{-2A + B-C + D)t²+{A-2B + C)t + {B-C + D\ Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях / в правой и левой частях данного выражения:

/³: 0 = Л + С

t2: 0 = -2A + B-C + D /' : 4 = Л-2В + С t°: 0 = B-C + D

Исключим переменную С, учитывая, что С = -А:

-A+B+D = 0
-2В =4

A+B+D = 0

Теперь из второго уравнения В = -2, из первого и третьего уравнений: А = 0, тогда и С = 0, D = -В = 2. Итак,

J

-2

1 + '² if-if)

dt = -2\ - +

2f(r-l)²rf(/-l) =

 

■ + C =

*5-i

= -2arctgt + 2

Г лЛ 1

+ С = -2arctg tg- - 2

V 2J. *

2cos- 2cos-

= -2^x------------------ ²- - + C = -x----------- 2— + C.

2.x x.x x

sin — cos- sin — cos —

2 2 2 2

Определенный интеграл

[6], гл.2; [7], гл.2, §§1-5; [3], т.1, гл.9, §§1-6; [8], гл.10, §1; [9|, гл.5, §§2, 4, 5, [10]

Определенный интеграл вычисляют но формуле Ньютона-Лейбница:

\f{x)dx = F(x)^b_a=F{b)-F(a),

где F(x) - первообразная i\mf(x), F'(x) =f(x).

Если в определенном интеграле производится замена переменной, то надо найти пределы интегрирования для новой переменной. При вычислении определенного интеграла может также использоваться

ba~\vdu.

формула интегрирования по частям: \udv = uv

dx

а 41

Пример 44. Вычислить 1=1

(Jlx-l + lVlx-l Решение: Введем новую переменную t по формуле: t = $]2x-\ или t = 2х -1, откуда At dt = 2dx (показатель степени у новой переменной выбирается как наименьшее общее кратное показателей корней: в данном случае 4 - наименьшее общее кратное чисел 2 и 4). Из этой же формулы видно, что если х = \, то t = л/2-1 = 1, а при х = 4\: t = л/82-1 = 3. Поэтому

41, 3

2t3dt

dx

V -9 + 9

'=/■

= 4

{ л/2х-1 + 31/2

4+3V

f + 3

*-1 lit

= 2

L

Г₃2

 

p

+9/, " з-1/< '-^+»/т

1 - — J \ ? +91nU + 3|

^ГЗ(/-ЗХ' + 3)А₁₀³_ГЛ1_А, , 'rrf(f ₊ 3^

Vi

3-1 + 91n|3 + 3|-91n|l + 3l

■ 3-3

= 2\ -2 + 91n"

Методические указания по выполнению контрольной работы N4

Несобственные интегралы

[61, гл.2, §6; [7], гл.2, §6; [3], т.1, гл.9, §7; [8], гл.10, §2; [9], гл.5, §3, [10]

Интеграл называется несобственным в одном из двух случаев: а) хотя бы один из пределов интегрирования бесконечен;

б) подынтегральная функция имеет бесконечные разрывы внутри промежутка интегрирования или на его концах.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Delphi. Основные характеристики и терминология
2. I. Основные профессиональные способности людей (Уровень 4)
3. II. ОСНОВНЫЕ ЖАЛОБЫ БОЛЬНОГО
4. II. Основные расчетные величины индивидуального пожарного риска
5. VIII. Основные направления просветительской, популяризаторской и коммуникативной деятельности библиотек
6. XVI. Основные правовые системы современности.
7. А. Жизненный цикл продукта и его основные стадии. Оценка конкурентоспособности продукта
8. Авторитарный режим: основные черты и виды
9. АДАПТАЦИИ К ПАРАЗИТИЧЕСКОМУ ОБРАЗУ ЖИЗНИ. ОСНОВНЫЕ ТЕНДЕНЦИИ
10. Анатомо-физиологические особенности кроветворения, классификация, основные синдромы.
11. Анатомо-физиологические особенности, основные синдромы и классификация
12. Архитектура Возрождения. Классические традиции. Центрические храмы, базилики. Городские дворцы и виллы. Основные мастера. Скульптура эпохи Возрождения.