Дифференциальное уравнение теплопроводности

 

В учебниках по теплопередаче, в том числе и в [1], приводится вывод дифференциального уравнения температурного поля движущейся жидкости, уравнение энергии

(1.12)

где с_р – изобарная теплоемкость, Дж/(кг· К); ρ – плотность, кг/м³; λ – коэффициент теплопроводности, Вт/(м· К); ω _x, ω _у, ω _z - проекции вектора скорости движения жидкости; q_v - объемная плотность внутреннего тепловыделения жидкости, Вт/м³.

Уравнение (1.12) записано для случая λ = const.

Дифференциальное уравнение температурного поля для твердых тел называется дифференциальным уравнением теплопроводности и может быть получено из (1.12) при условии ω _x = ω _y = ω _z = 0, c_p = c_v = c:

где – коэффициент температуропроводности, он характеризует скорость изменения температуры в теле. Значения а = f(t) для различных тел приводятся в справочниках.

Дифференциальное уравнение теплопроводности

(1.13)

описывает нестационарное температурное поле твердых тел с внутренним тепловыделением (с внутренними источниками тепла). Такими источниками тепла могут быть: джоулева теплота, выделяемая при прохождении электрического тока по проводникам; теплота, выделяемая ТВЭЛами ядерных реакторов, теплота химических реакций и т.д.

Дифференциальное уравнение теплопроводности (1.13), записанное в декартовых координатах, можно представить в цилиндрических (г, z, φ ) и сферических (г, φ, ψ ).

В частности, в цилиндрических координатах (г – радиус; φ – полярный угол; z – аппликата) дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид

(1.14)

Условия однозначности

Дифференциальное уравнение описывает множество процессов теплопроводности. Чтобы выделить из этого множества конкретный процесс, необходимо сформулировать особенности этого процесса, которые называются условиями однозначности и включают в себя:

– геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела;

– физические условия, характеризующие свойства участвующих в теплообмене тел;

– граничные условия, характеризующие условия протекания процесса на границе тела;

– начальные условия, характеризующие начальное состояние системы при нестационарных процессах.

При решении задач теплопроводности различают:

– граничные условия первого рода, задается распределение температуры на поверхности тела:

tc ⁼ f(x, у, z, τ ) или t_c = const;

– граничные условия второго рода, задается плотность теплового потока на поверхности тела:

q_c = f(x, у, z, τ ) или q_c = const;

– граничные условия третьего рода, задаются температура среды t_Ж и коэффициент теплоотдачи между поверхностью и средой.

В соответствии с законом Ньютона-Рихмана тепловой поток, передаваемый с 1 м² поверхности в среду с температурой t_Ж:

q = α (t_c - t_ж).

В то же время этот тепловой поток подводится к 1м² поверхности из глубинных слоев тела теплопроводностью

Тогда уравнение теплового баланса для поверхности тела запишется в виде

(1.15)

Уравнение (1.15) является математической формулировкой граничных условий третьего рода.

Система дифференциальных уравнений совместно с условиями однозначности представляет собой математическую формулировку задачи. Решения дифференциальных уравнений содержат константы интегрирования, которые определяются с помощью условий однозначности.

Контрольные вопросы и задания

1. Какими способами передается теплота от горячей воды к воздуху через стенку радиатора отопления: от воды к внутренней поверхности, через стенку, от наружной поверхности к воздуху.

2. Поясните минус в правой части уравнения (1.3)?

3. Проанализируйте с помощью справочной литературы зависимость λ (t) для металлов, сплавов, теплоизоляционных материалов, газов, жидкостей и ответьте на вопрос: как изменяется коэффициент теплопроводности с изменением температуры для этих материалов?

4. Как определяется тепловой поток (Q, Вт) при конвективной теплоотдаче, теплопроводности, тепловом излучении?

5. Запишите дифференциальное уравнение теплопроводности в декартовых координатах, описывающее двумерное стационарное температурное поле без внутренних источников теплоты.

6. Запишите дифференциальное уравнение температурного поля для проволоки, которая находится под напряжением при постоянной электрической нагрузке.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Дифференциальное включение ОУ
2. Дифференциальное исчисление функций
3. Е.5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
4. Макроскопическая система, макроскопические параметры. Идеальный газ, уравнение состояния идеального газа.
5. Напишите уравнение согласно первому закону Кирхгофа для узла.
6. Пользуясь уравнением электромеханической характеристики ДПТ параллельного возбуждения, выведите уравнение механической характеристики.
7. Уравнение движения в интегральной форме
8. Уравнение и передаточная функция системы автоматического регулирования
9. Уравнение и передаточные функции элементов линейных систем автоматического регулирования.
10. Уравнение притока в случае плоскорадиального течения получило название – соотношение Дюпюи.
11. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.