Применение производной к исследованию функции. Построение графиков функций

; +оо[ - это промежутки возрастания функции

Соответственно, у' < О при х е ]0; l[U f', V4[ - промежутки убывания

данной функции.

В критических точках х_х - 0; hx₂=V4 проверим выполнение

достаточного условия существования экстремума с использованием первой производной. При переходе через точку х = 0 первая производная у' меняет знак с (+) на (-), значит, х = 0 - точка

максимума. Аналогично, точка х₂ = v4 - точка минимума, потом} что при переходе через нее первая производная у' меняет знак с (-) на

(+)•

Найдем экстремальные значения функции:

max y(x) = y(0) = 0; min у(х) = у^Я) = - Ш « 2, 1

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

Промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, а также точки перегиба определяются с помощью второй производной у". На

промежутках выпуклости у" < О, на промежутках вогнутости у" > 0. Чтобы найти точки перегиба, исследуют точки, в которых либо у" = О, либо у" '- со, либо у" нс существует (причем в последних двух случаях у' в соответствующих точках определена). Точками перегиба являются те из найденных точек, при переходе через которые/' изменяет свой знак.

Пример 33. Найти промежутки выпуклости и вогнутости, а также

точки перегиба функции у =

_ (бх⁵ -12х²)(х³ -if -(х⁶ -4*³)2(*³ -1)3*² _ 6х²(х³ +2)

Поскольку первая производная в точке х₀ = 1 не определена, то исследуем только точки, в которых у" = 0. Точка х₃ = 0 не является точкой перегиба, так как при прохождении через нее вторая производная сохраняет свой знак (-). Точка х₄ = -А/2 - это точка перегиба, поскольку при переходе через нее/' меняет свой знак с (+) на (-). Промежутки вогнутости графика данной функции: j-oo; -^ и ]l; +oo[, на промежутке ]-3/2; l[ график функции выпуклый. Значение функции в точке перегиба: Л-*/2)=-! */2*-0, 83.

4.3.6. Асимптоты графика функции

а)Прямая х а является вертикальной асимптотой графика функции у(х), если хотя бы один из односторонних пределов: _х^-₀^У^^{тт lim y}№ ^обР^аЩ^ается в бесконечность. Поэтому для

отыскания вертикальных асимптот графика функции надо найти точки бесконечного разрыва данной функции, которые относятся к точкам разрыва 2-го рода.

4 Пример 34.11айти вертикальные асимптоты графика функции у = ^Х

IciueiiHc: Как отмечалось, данная функция не определена в точке

х₀ = 1. При этом

X %

lim ~---- = -oo; lim — = +00.

x^\-o_x³-\ x-> l+o_x -1

Поэтому прямая х -- 1 является вертикальной асимптотой графика заданной функции.

б) График функции у(х) имеет наклонную асимптоту у = kx + Ь при х -» +оо(х -> -со), если существуют конечные пределы:

к = lim -■ ■ -; 6 = lim \y(x) -кх\ Если хотя бы один из этих

х-И-оо X х-> +ю

(х-> -оо) (Х-> -оо)

пределов не существует или бесконечен, то график функции не имеет наклонной асимптоты при х -» +со(х -> -со).(Если асимптота задана

уравнением у = Ь, то ее называют горизонтальной).

Пример 35. Найти наклонные асимптоты графика функции у = —.

х -1

Решение: Иайдсм значения киЬ для данной функции при х -> +оо. у(х)

k= lim ^-^; -= lim -f—= lim -------- - = l.

'I-

X l

= lim --— = lim------- — = 0.

x-*+co x — l x-> +co - l^

x² Аналогично находим, что при х -> -со по-прежнему А: = I; 6 = 0.

Таким образом, график функции У = —_ъ имеет одну и ту же

х -I наклонную асимптоту при х -» +со и х -> -со; это прямая у = х.

4.3.7. Общий план исследования функции

Чтобы составить достаточно полное представление о характере поведения функции и построить ее график, удобно проводить ее исследование по следующему плану:

I. Установшъ множество определения функции; при наличии точек разрыва найти в них односторонние пределы данной функции;

2.а) Найти точки пересечения графика функции с осями координат б) О шстить особенности графика заданной функции, не связанные с производными, например, симметрию, периодичность.

3. Установить промежутки возрастания и убывания функции, найти ее экстремумы.

4. Установить промежутки выпуклости и вогнутости график функции, найти точки перегиба.

5 Найти асимптоты графика функции.

х⁴ Пример 36. Исследовать функцию у = --— и сделать схематический

х³-1

чертеж ее графика.

Решение: Как отмечалось в примере 32, множество определения данной функции - вся числовая ось Ох, исключая точку х = 1: X = (-oo; 1)(J(1; +oo)l График функции пересекается с осями

координат в единственной точке 0(0, 0). Функция не является ни четной, ни нечетной,

поскольку у(-х)=

-х³-1

у(-х)*-у(х), поэтому график функции не обладает свойствами симметрии. Дальнейшее исследование этой функции фактически уже проведено в примерах 32 -35. По данным, полученным в этих примерах, сделан схематический чертеж графика заданной

функции, который представлен на рис.13

Пример 37. Исследовать функцию схематический чертеж ее графика.

Решение: 1. Множество определения данной функции - вся числовая ось Ох, кроме точки х = 0: X = (-оо; 0) U (0; +оо). Найдем

односторонние пределы функции при х-> 0. Предел слева
У 1/

lim хе^/х = 0, так как lim х = 0 и lim e^/x = lim e^y = 0 При

х> 0< > х-> 0-о *-> 0-о у-> -< я

вычислении предела справа возникает неопределенность вида 0-оо;

приводим ее к неопределенности вида —, к которой применяем правило

Лопиталя:

у = хе^/

2. а) Точки пересечения графика функции с осью Ох определяютс

из условия у = 0. В данном случае уравнение хе'^х =0 не имее решений, так как х = 0 не входит в множество определения функциЕ Точки пересечения графика функции с осью Оу можно найти, положи-х = 0. Для заданной функции это значение не входит в множество е: определения. Следовательно, график исследуемой функции не имее-точск пересечения с осями координат.

б) Поскольку у(-х) = -хе~^х *у(х)иу(-х)*-у(х), то функция н является ни четной, ни нечетной.

3. Находим

-(х-1).

v х;

Производная у' существует и конечна на всем множеств: определения заданной функции X = (-оо; 0) U (0; +оо). Поскольку точк^ разрыва первой производной х = 0 не принадлежит множеств) определения функции, то все критические точки функции у{х

1/

Функция у{х) возрастает, если у'(х)> 0, то есть при -оо< х< 0 и 1 < х < +оо.

Функция у(х) убывает, если у'< 0, в данном случае при 0< х< 1. Таким образом, при переходе через точку х=1 первая производная меняет знак с (-) на (+), то есть х = \ - точка минимума; y(l) = min у(х) = е.

1/

1 Y. П V 1

1-------------------------------------------- \ + е^/

Вторая производная существует и конечна во всех точках множества определения данной функции. Тогда все точки перегиба находим из

V

р/ X

условия: у" - О, то есть ----- = 0. Поскольку это уравнение не имеет

х
решения, то точек перегиба нет. График функции - выпуклый, если у"
< 0; в данном случае при х < 0. График функции вогнутый при х> 0- > 0
где.у" > 0. j v, ,

5. Как было установлено в пункте 1, в точке х = 0 функция

у = хе^/х имеет бесконечный разрыв, поэтому прямая х = 0 является вертикальной асимптотой ее графика. Для определения наклонных асимптот найдем:

к= lim & = lim _еУ* = е° = 1

X—> ±оо X

b= lim (y(x)-kx)= lim xe^-xj = lim x

X—> ±0О

- lim —-

Х-> ±оо 1

^: -1 I е'^х I -

- = lim

(X) — -л»

Значит, прямая у - х+\ является наклонной асимптотой графика функции при х -> +оо и х -> -оо. Схематический чертеж графика функции приведен на рис. 14.

Пример 38. Исследовать функцию у = Ц\х²-\f _и сделать схематический чертеж графика.

Решение: 1). Данная функция определена на всей числовой оси Ох: X = (-оо; +оо).

2). Точки пересечения графика функции с осью Ох определяются из условия у = О, откуда х = ±1, а с осью Оу - из условия х = 0, при этом у(0) = 1. Данная функция - четная,

поскольку ■ Рис.14

3). у'- [х -I/³ = ~[х -\]^/32х = —_; Первая производная

V; ³ Зл/х²-1

обращается в бесконечность в точках х = 1, х = -1, в то время, как

сама функция у = дДх -\J в этих точках определена. Значит, эти точки - критические для данной функции. Еще одна критическая точка определяется из условия у' = 0; это х = 0. Функция убывает, если у' < 0, то есть при -со< х< -1 и 0< х< 1. Функция возрастает при у' > 0, то есть при -1 < х < 0 и при.г > 1. Таким образом, х - 0 -точка максимума, д: = —1 и х = 1- точки минимума данной функции; v(0) = max y(x) = 1; y(-l) =.v(l) = тту(х) = 0. В точках дс = -1 их=1 данная функция имеет так называемый " острый" экстремум: касательная к графику функции в каждой из этих точек параллельна оси Оу.

• ⁴( ( 2 Л)Л' 4 х²-3
4). у -- \ х(х -1 =- -_г=---------- . Вторая производная

' А^у ' ) 9р_у

обращается в бесконечность при х = ±1, но эти точки не принадлежат множеству определения у'(х) и, следовательно, не являются критическими точками для первой производной. Значит. критические точки для нее определяем из условия у" = 0, откуда х = ±л/з, у" > 0 при -со < х < -л/з и 7з < х < +оо, то график у(х) в этих

интервалах вогнутый, а в интервалах -V3< x< -1; — 1 < л: < 1: 1 < х < 4b - график выпуклый, так как там у" < 0.

у(-^з)=уУз)=Ш.

5). Поскольку функция определена на всей числовой оси Ох, то
вертикальных асимптот у ее графика нет. Проверим
•У наличие наклонных асимптот;

з

к = lim —^---------------------- < —= lim? P--- г-^-=±оо.

_х Х-> ±оо X Х-> ±оо у _х^

-*■

_J4-i 1 /3 Таким образом, наклонные асимптоты также отсутствуют. На рис.15 схематически изображен Рис.15

график функции у = -y(x -\J.

Комплексные числа

[6], гл.1, §6; [3], ГЛ.7, §§1, 2, 3

Выражение z = a + bi называется алгебраической формой комплексного числа z, если а и Ь - вещественные числа, а /²=-1. Комплексное число / называется мнимой единицей, число а вещественной частью комплексного числа z, число Ъ - мнимой частью этого числа. Обозначается: а = Rez, Ъ = Imz. Число Ы называют чисто мнимым числом.

Операции сложения и умножения комплексных чисел в алгебраической форме можно выполнять по обычным правилам алгебры многочленов, если учесть, что i² =-1, P=~i, р ₌ 1 _и вообще

i =i^p. Число z=a-bi называется сопряженным комплексному

числу. Очевидно, z-z = (a + Ы)(а-Ы) = а² +Ь².

Пример 39. Найти вещественную и мнимую части комплексного

числа

8V2 + 5/⁷ 2/³

z =

9i⁴ 4-V2/⁵'

Решение: Чтобы упростить запись данного комплексного числа,

учтем, что Р = /⁴⁺³ = р = -/, р = 1, /⁵ = /.

8V2-5/ -2i

_z =----------------------------------- ₊.

9 4-V2i

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на число, сопряженное
знаменателю, и выполним очевидные преобразования:
_г_8л/2-51 _| -2/(4 + V2/) ₌ti2-5i -%i-l4lP
9 (i-V2/][4 + V2" i) 9 ⁺ 16 + 2

₌ 8V2 - 5/ - 8/_+ 2_V2" _ 8V2 - 5/ - 4/ + V2 _ 9V2 - 9», -

9 " " ⁺ " " у₈-- g ----- 9----- ^V2_/'

Значит, Rez = J2; Imz = - 1.

Пример 40. Представить в тригонометрической форме и изобразить на комплексной плоскости число z = 1 - г.

Решение: Изобразим комплексное число z = 1-/ точкой М на комплексной плоскости, откладывая по оси Ох его вещественную часть Rez =1, а по оси Оу мнимую часть Imz = -1. Радиус-вектор ОМ составляет с осью Ох угол < р, называемый аргументом комплексного числа (р = argz, -ж < < р < л и находится с помощью формул

В нашем пример г = Ы = л/ГТТ = л/2. Тригонометрической формой комплексного числа z =

a t Ы называется выражение

z = r(cos(р + isin < р), где г = \z\, < р = argz.

Итак, z = l-i = V2" (cos(- %)+ isin(- ^)] (см. рис. 16)