Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в ограниченной области

[6], гл.4; [7], гл.4, §§1, 2; [3], т.1, гл.8, §17; [8], гл.8, §4; [9], гл.6, §§13, 14

Если функция нескольких переменных определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она может принимать наибольшее и наименьшее значения либо внутри области в точках экстремума, либо на границе области.

Решение задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных z(x, y) в замкнутой ограниченной области D рекомендуется проводить по следующему плану:

-найти точки внутри области, в которых выполняются необходимые условия экстремума z'_x = 0 и z'_y = 0, вычислить значения функции в этих точках;

-найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области (обычно этот этап решения сводится к поиску наибольших и наименьших значений функции одной переменной на отрезках);

-сравнить полученные значения функции, выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Пример 62.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = 2x + у -6у + \ в замкнутой ограниченной области D, заданной неравенствами у< 4-х²; у> 0.

Решение: Исследуемая область D изображена на рис.21.

1. На первом этапе найдем стационарные точки функции z внутри области D и значения функции в этих точках. Для этого частные производные z'_x = 4х и z'_y = 2у - 6 приравняем нулю и решим

Г 4х = 0
полученную систему уравнении: < . Эта

\2у -6 = 0

система имеет единственное решение х = 0, у = 3.

Стационарная точка М, (0, 3) расположена внутри области и

z(M, ) = -8.

2. Исследуем функцию на границе области:

а) В гочках параболы у(х) - 4 - х, (-2 < х < 2) функция z после
подстановки у = у{х) становится функцией одной переменной.
Исследуем эту функцию z = 2х²+\4-х² j -б(4-х²)+1 = х⁴-7 на
замкнутом промежутке -2< х < 2: z_x =4x =0=^> х = 0; хе(-2; 2). При

этом у = (4-х I =4. Значит, заданная функция имеет на участке

параболы единственную стационарную точку М₂(0, 4). Вычислим

z(M₂) = -7.

б) На отрезке прямой у = 0, (-2 < х < 2) функция z принимает вид:

z = 2x² + l. Найдем ее стационарные точки:

z_x = 4х = 0 => х = 0; х е (-2, 2). При этом у = 0. Значит, заданная

функция имеет па отрезке прямой единственную стационарную точку Л/₃(0, 0). Вычислим z(M₃) = 1.

в) Вычислим значения функции z в точках А{-2, 0) и С(2, 0): г(Л) = 9,
z(C) = 9.

3. Сравнивая найденные значения функции z(x, y) :

z(M, ) = -8; z(M₂) = -7; z(M₃) = l; z(^) = 9; z(C) = 9, делаем вывод, что данная функция достигает в заданной области наименьшего значения в точке M_h а наибольшего в точках Атл С : z(0, 3) = -8; z(-2, 0) = z(2, 0) - 9.

4.5. Задания на контрольные работыNN 1-4

В контрольных работах студент должен решить задачи, выбрав их номера из таблицы по двум последним цифрам своего шифра и первой букве фамилии.

Например, студент Захаров, шифр 17-0025, выполняет в контрольной работе М задачи 5, 12, 25, 35, 45; в контрольной N2 - 55, 62, 75, 85, 92; в контрольной 7V3 - 102, 115, 125, 135, 142; в контрольной Л" 4 - 152, 165, 175, 182, 195.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Последня цифра ши< IS о х — Он л Л £ r- £ s о, 2 ° °" ^ * £ о. о	я )ра _2_ 3							7 j
			4 44	5 45	6 46	7 47	8 48	9 49	50!
	52.								60 \
121 131	122 132	123 133	124 134	125 135	126 136	127 137	128 138	129 139	130! 140 j
Прсднослса цифра ши( : S о X -О- л Л « Я н К Ц в. о	пня > ра
61 91	62 92	63 93	64 94	65 95	66 96	67 97	68 98	69 99	70 100
	101 141	102 142	103 143	104 144	105 145	106 146	107 147	108 148	109 149	110 150
	151 181	152 182	153 183	154 184	155 185	156 186	157 187	158 188	159 189	160 190
Первая буква фамилии	Л, И т	Б, 0 Ц	в, н X	Г, Ф Я	Д, 3 Л	Е, М Р	Ж, С ч	К Э	П Щ	У, ш ю
Номер контрольной работы		21 31	22 32	23 33	24 34	25 35	26 36	27 37	28 38	29 39	30 40
	71 81	72 82	73 83	74 84	75 85	76 86	77 87	78 88	79 89	80 90
3 4	~\7\" 191	172" ' 192
173 193	174 194	175 195	176 196	177 197	178 198	179 199	180 200

Задание на контрольную работу № 1

х + z = 7 2x + _y — z = 2, x + 2.y + 2z = ll x + z = 3 2x + 2y- z = — 2, x + 3_y + z = 0

В задачах 1-5 решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.

х + z = 3

1.

3x + _y + z = 4x +.y = 3 3y + 5z = l

2A2x + 3y-z = 4,

x-5y+z=0

2х + у + z = 3

3.

4.ix + z = 0

x + 4> > + 2z = 2

x-2y+z= 0 3.y + 2z = 8 2x-3_y-z = — 1 x + z = 4 8.< {x-2.y + 2z = 3, 3x - у — z = — 2

й задачах 6-10 решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

%x-ly-z = -5

6.<

Гх + 3_у = 5 10.< -3x +.y + 2z = 10. -x + y + z = 6

1X 2х - Ъу + 4z = ■

.y-2z = 4

x + 3y = -\ 9.< 2y + z = -2 ,

3x + _y + z = 5

Задачи 11-20 решить средствами векторной алгебры.

11. Найти площадь треугольника с вершинами в точках
/1(4, 3, 8), Д(6Д1), С(2, -1, 5).

12. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами в точках
Л(3, 1, 1), 5(1, 4, 3), С(1, 1, 7) и £ (3, 4, -1).

13. Найти единичный вектор с, перпендикулярный к векторам а(2, 3, 1) и 6(1, 2, 2).

14. При каком значение Я векторы т(2, Л, -1), й(1, 1, 2), #(1, -2, 1) будут компланарными?

15. Найти проекцию вектора т(3, 1, -1) на направление вектора с,
перпендикулярного к векторам а(2, 1, -1) и Ъ =(1, 0, 2).

16. Найти острый угол между диагоналями параллелограмма,
построенного на векторах а(1, 2, 1) и & (-1, 0, 1).

17. В треугольнике с вершинами в точке Д1, 3, -1), 5(1, 1, 0) и С(2, 0, 1)

проведена медиана AM. Найти вектор т, параллельный медиане, длина которого равна л/35.

18. Найти угол между векторами а и Ь, если а = т-п, Ь=2т, где \m\-2, \n\-\ и угол между векторами тип равен 60°.

19. Векторы а(1, -2, 2), 6(1, -1, 1), с(т, п, 1)- компланарны. Найти «т» и

«п» вектора с, если а перпендикулярен с.

20. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а = т-п
и Ъ =т + п, если \т\=2, \ п |= 3, и угол между векторами тип равен

45". Задачи 21-30 решить методами аналитической геометрии.

21. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки Л(-1; 2; -3) и

5(1; 4; -5) перпендикулярно плоскости Зх + 5у - 6z +1 = 0.

22. Найти точку пересечения с осью Oz плоскости, проходящей через три

точки Л(-1; 2; -3), Я(1; 4; -5) и С(2; -1; 1).

23. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку Л(2; 1; 3) перпендикулярно плоскостям 2x-3_v + z-5 = 0 и x + 4_y-2z + 3 = 0.

24. Найти уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точку Л(-2; 11; -5) параллельно прямой, проходящей через точки Б(3; 5; 3) и С(0; 6; 4).

25. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую
х-3 v + 2 z-1 [x-4y + 5z + \ = 0

__ = > _ = _ паршпшльно прямой |_2х „ ^ _{+ 3}z + 2 = 0.

26. Найти канонические уравнения прямой, проходящей через точку

х-2 у-1 z-\
/1(2; 1; -5) и точку пересечения прямой —-—= ~~Т~ ^С

плоскосчъю 4х - у + 5z + 7 = 0.

27. Найти проекцию начала координат на плоскость, проходящую через точки Л(1; 1; 3), Я(2; -2; 1) и С(6; 2; 1).

28. Найти параметрические уравнения прямой, проходящей через точку

Д4; -3; 1) параллельно прямой <

х-\ у+7 z-9 29.1 [айти проекцию точки Д3; 5; 3) на прямую -— = —— - —~■

30. Дай треугольник с вершинами Л(3; 4; -2), В(1; 2; -3), С(-1; 5; 1). Написать

уравнение плоскости, проходящей через сторону АВ перпендикулярно плоскости заданного треугольника. В задачах 31-40 найти координаты точек пересечения кривых.

Указать вид кривых. Сделать чертеж.

31. {x-\f=y и 4-у = (х-3)²,

32. х²-у² =9 и у = х + 3,

33. х² +у² =25 и х-у = \,

34. у² = 4х и у + 4 = 2х,

35. х²+(у-3)²=\6 и 4у = х²-4,

и у -2х = 0,

36. у²-х = 2

37. (х-2)²+/=4 и (x-4)²+(j; + 2)²=4,

38. 0-1)²=х + 4 и х +.у = 3,

39. (х-3)2-^ = 1 40. 4х2+у2 = 25

и (х-2)²+.у = 4, и _у = 2х +1.

В задачах 41-50 сделать схематический рисунок тела, заданного системой неравенств. Указать вид поверхностей, ограничивающих это тело. Определить, по каким линиям и в каких плоскостях пересекаются эти поверхности.

46.

41.

|x" +y²+(z-2)²< 4

47.

42.

lx²+/> 4(3-z)

48.

43.

[x²+/-z²> -l

\х²+у²< >

49.

44.

fx²+/< 8z

[x²+y²+z²< 20

50.

45.

fx²+y²+z²< 25 \x²+y²< 9

Задание на контрольную работу № 2

В задачах 51-60 найти пределы функций, используя эквивалентные бесконечно малые величины и тождественные преобразования.

•cos4x

51. a) lim

*-> o#(4x)ln(l-2x)' 52. a) i_im^(¹⁴*)^arcsin2< 7x)

lx

53. a) lim x -> 0 54. a) lim

(3' -l)sin5x

х-'-** arctg(x² ln3)' sin³ x(l-cos8x)

+ x3

i-Vf

_r. ,. 4x²+4x-80
o) lim----

15x

ox

.2

6) lim

•=■ > 10-5x³ + 6x '

лч г 25-x²
6) lim =---,

*^⁵ Vx +11 - 4 6) lim (Vx + 3-Vx-2),

 

*-*° arctg3(4x) В задачах 61-70 а) найти точки разрыва функций, если они существуют; б) найти односторонние пределы в точках разрыва и установить тин точек разрыва; в) сделать схематический чертеж графика функции в окрестности точек разрыва. — 1 61. Дх) = 5-2, 62. /(*) = —! —, х -27

fg(3x)(Vl + 10x-l)

55. a) lim- i------. L_t

x > 0

arcsin' x

56. a) lim

sin Vx • arctgyjx *^o ln(l + 2x²)

arcsin(x³ln4)

57. a) lim.,

*■ -> < > (4^x-l)tg²x

(Vl-6x-l)sin(4x)

58. a) lim^-------- ——I.

*-> ° ln²(l + 2x)

(& )

arcsin

59. a) lim

*° ctgvx • 11 - cos vx I ln(l-x²)(e⁴*-l)

60. a) lim

 

6) lim

3x²+6x-9

*^46x + 4x²-20'

..... 5 + 8x⁴+6x²
o) lim —---- ——,

*— x²-l + 2x⁴

6) lim

»iU-l x-1

6) lim

2-VxTT

.... V4x⁴+1
6) hm—-- —,

j^⁰⁰ 2-х

_ЛЛ.. 3x²-75
6) lim —-------.

*^-5x² + 7x + 10

fcosx, x< 0 flnx, x< \

63. /(*) = ', 64. /(x) =

[2x-5, x> 0 [1-х, x> l

|x-3| J-

65. /(*) = J--- -1, 66. /(*) = 4*⁺²,

x-3

f-3x, x< 0 fx + l, x< 0

67- /00= ' n' ⁶⁸- ^^xHo* _n •

[sinx, x> 0 [2, x> 0

1 J-

69. /(x) =--------------- 70. /(x) = e⁴-*.

(x-3)²

/i задачах 71-80 найти первую производную функции

71..у = 4х arcsin(4x) + л/l -16х² +10,

72. у = 2arccfg(x³)+ ^ ⁺¹^ -8,

х

73. у = \j\~~x -\Jx arccosVx +15,

sin^J(3x) *, „. „

74. > > = ₅; ^; -fg⁵(3x)-7,

cos (3x)

75. j/ = e^{; c}arcsin(e^)r) + > /r^e⁵⁷ + ll,

76. _y = ln(5x + 5) - 2\Jxarctg\jx - 25,

77. y = ^-—-~21n(3*+l)-12,

3*+l

78. у = xarccos² x- 2 VI -x² arccosx + 5,

2x

79. 7= .--- =-arcsin(2x)-16,

VI -4x²

80. у = (1 + x² )arclg²x - 2xarctgx + ln(l + x²),

В задачах 81-85 найти координаты точки пересечения с осью Ох касательной, проведенной к графику функции у = /(х) в заданной точке. Сделать чертеж.

81. у = ]п(ех), Д1, 1), 82. y = lg\x + ^\ Д0, 1),

V

л" 1., „ V3,

( яЛ83. у = -Ъх- -«-12, /1(1, 9), 84. j-cos х + -, ДО, —),

85. ^ = л/ю0-х², Л(8, 6).

В задачах 86-90 найти координаты точки пересечения с осью Оу касательной, проведенной к графику функции у = f(x) в заданной точке. Сделать чертеж.

п

86. у = е\ А\\, -е

87. ^ = sin(3x), А\-, Ъ\,

 

88. у = Ъ-х\ А(\, 2), 89. y = ctg(2x), A\^, o), 90. у = х2+Ъх + 2, Л(-1, 0). г, 2 В задачах 91-100 найти — и —— функции, заданной

параметрически 91.

93.

х = -

cos t

\x = arctg(2t) !; к = 1п(1 + 4/²)'

dx

92.

94.

dx¹ x = arcsin yj\-t

\У:

-ft

x = ctg(2')

1 = [^sin^')

 

95.

\x = arccos(3/)

[У

= JTtf '

97.

^r< x = ln(sin? ) [y = cos²1

99. < ^ cos?,

.У = & ²'

96.

98.

100.

x — arcctgt

t¹ .

x = arcsin V?

.У

= V^

I x = arctg(e') t.y = ln(l + _e²')'

Задание на контрольную работу № 3

В задачах 101-110 найти пределы, пользуясь правилом Лопиталя.

5-е¹

101. lira

*--> «> х + 2х-6

103. lim*²" ¹-²¹" *,

*-> > е^х - х ■ е

(л 1 Л

105. lim -

> \х tgx

107. lim

*-> > ^ х -1 е^х - е

109. Пт(л--2х)'

, _Л„,. 2х-1п(1 + 2х)

102. lim---- \ '-

*-* 5х²

104. Hmln(l-xWg; rx 106. lim(l-cosx)-c/g³x,

108. lim(cosx)*²,

х-> 0

1

ПО. lim(rfgx)^inx.

jc—> 0

В задачах 111-120 исследовать функцию, построить ее график.

111. у =

112. у.

2 ' X +Х

2х2

2х 3-2х'

113 ^^хТГ^, 114. у =

115. ^ =

i

х2+3

х-2 116. у = е²,

117. > > = 1 +

118. j/ = (x + 2)ln(jc + 2),

119. у-

(х-\У

В задачах 121-130 найти неопределенные интегралы. Результат проверить дифференцированием.

Л

? gx .7 -2cosln(2 + x) 2 4-Х

, _, _rvsinx +3ctgx , , __, 4sinx-Vcosx2
121. j------------ ax, 122. J----- . —

cos x

_r2Vcosx + 5

ax, 124. J------------------------- dx,

clgx

-fgx

-dx,

1 + X~

125. f^-^-l; ^ ₁₂₆ jVx-^cos, ^

sirrx

, 27. _f^^_A,

cos²x

128. j3sin(21nx)-< /^

_fVarcsinx-5+4x, 5x + sin3xVx~+1,
129. j------------ =====---- dx, 130. J-- =====---- dx.

VI-x Vx-+1

/i задачах 131-140 найти неопределенные интегралы, используя для

вычислений формулу интегрирования по частям.

131. j(x + 3)sin2xdx, 132. Jarccos2xctc,
133. Jln(x²+4)ax, 134. j xtg²xdx,

135. \xarcctgxdx, 136. j(x - 3)e~^3xdx,

137. J—%—A, 138. j(x + l)ln(x + l)flx

cos" 2x

139. J^lnxax, 140. jxV'dx

В задачах 141-150 вычислить определенные интегралы, используя подстановки, указанные в скобках:

141. i-^^L—dx (x = ts) V7-4& 7 l j

81 О S/Z In 2, , , ч

Л

it 143. {

142. \je^x-\dx Ve^x-1=?

Vx + 2(^/x + 2 + l) ax

rfx

(x + 2 = r⁴), 144. |х²л/8-х²йх (x = 2V2sin/),

145. J

о (4 - x)V3 - x ax

(f, gx = f),

(3-x = f²), 146. J

о cos² x + 3sin² x

148. J^Ve " ^le & (e*-l = r²),
o^J e^x +3 ^ ''

" f rfx

147. J — о 1 + sinx + cosx

sin3 x

' X ^

149. J

о 1 + sin 2x

тг / COS X - COS X /•1

rfx (cosx = /), 150. }---- _; ---- (t = tgx).

Задание на контрольную работу № 4

В задачах 151-156 вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

л

_1Г., ^+< ? xdx , ,.„ " г dx \

^{, 51}-/? гт- ^|5\Ьт^ ^1Я-.'«**■

.54./-^., .55.1^f-. 156." ^*

о, 5 VI -х² \х -Зх + 2, х

5 задачах 157-160 доказать, используя признак сравнения, сходится или расходится несобственный интеграл.

157. J-^, 158.⁺f²TV

О л/х^б+1 т X

+оо

159. 'Г-^Ц< 4с, 160. [, ^& .

.(*-< 0³ з^х⁷^

161. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями у = -х и
> > = 2х-х". Сделать рисунок.

162. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
у = е^х, у = е" ^х, х = 1. Сделать рисунок.

163. Вычислить площадь, заключенную внутри лемнискаты Бернулли р - a cos 2#>, а = 2. Построить эту кривую.

164. Определить длину дуги кривой: х = In cos у, 0< у< —. Сделать

рисунок.

165. Вычислить длину дуги астроиды x = cos³/, _y = sin³?. Сделать
рисунок.

fx = acos/,

166. Вычислить площадь эллипса < Сделать рисунок.

[y-bs'mt.

167. Вычислить объем тела, образованный вращением вокруг оси Ох синусоиды у = sin х, 0 < х < 2л.

168. Вычислить площадь поверхности шарового пояса, получаемого при вращении вокруг оси Ох дуги окружности х² + у² - 4, х = 1, х = -1,

у > 0. Сделать рисунок.

169. Вычислить обьсм тела, образованный вращением вокруг оси Оу

. /г „

кривой у = arctgx, v < у < —. Сделать рисунок.

170. Найти длину дуги кривой; /= Vx³, от начала координат до точки
В(4, 8). Сделать рисунок.

В заданиях 171-174 для функции z(x, y) убедиться, что

-^2 -л2

С Z О Z

дхду дудх

171. z = ln(x²+/), 173. z = tg(x²+y²),

172. z = cos(xy), 174. г = е*^2у.

Я²

В задачах 175-177 найти значение в точке А.

дхду

175. и = arctg(x² + у), Л(1, 0),

176. и = у²е^ху, А{\, \),

177. w = ln(xy + z²), A(l, \, l).

г)²

В задачах 178-180 найти значение в точке А.

dydz

178. u = z\n(y²+z²), A(l, \, 2), 179. и = zctg(x³y), A

180. u = sin(xy + z²), A 1, 0, J—.

В заданиях 181-185 найти в точке А полный дифференциал функции у{х), заданной неявно.

181. \nxy = ycos²x, л(-, -1 182. e^xI-^yl =cos(x-y), A(l, \),

183. tg-

У

--у

\л

, А(п, \), 184. ar_C? g(x²+y) = ^(x²+^)², ^(l, 0), 185. 2у = \ + у^х, Л(0, 1).

В заданиях 186-190 найти в точке А полный дифференциал функции

z(x, y), заданной неявно.

X

186. z² =уе^у, А(2, \, е),

187. cosxy = ytgz, А\0, \,

л

188. sinxz = \x\xy, Л(1, 1, я" ),

189. х^у~^г-

(_л\²

U

: ctgxy - z, А

Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки.

'4'4

п

190. y^z = zsinxy, A\ —, 1, 1

В заданиях 191-200 найти наибольшее и наименьшее значения функции z(x, y) в указанной замкнутой области D. Сделать рисунок.

D: у²< 1-х², у> 0,

191. z = x² -у²,

D:

D:

192. z = sinjy+ sin(x +> > )> D :

193. z = x²+xy-2, D:

194. z = x³+y*-3xy, D:

195. z = x²-2y²+4xy-6x-\, D:

196. z = cosy + cos(x + > 0,

197. z = 4x² +2y² -x + 5,

 

я-

0< x< *, 2

0< > ^<

\y> 4x²-4,

[y*o. '

[ 0 < x < 2,

l-l< ^< 2.'

jx> 0, y> 0,

\x + y< 3. '

0< x< ^, 2

2 ^> x²-l, U< 2.

198. z = x²+2y²-y,

199. z = x² +2y²+6x + 5,

200. z = x² +2y²+x,

D:

D:

D:

-1< х< 1, 0< y< 2.'

fx> /-4, \x< \. ' 0 < x < 2, -2< y< 0.'

4.6. Текущий контроль Тестовые задания

-1 3 -2 5

1. Вычислите определитель а)-1; 6)11;

	-1
	-2	-1
	-3

*в)1; г)-11.

2. Алгебраическое дополнение А₂₃ элемента а₂₃ матрицы А равно

а) 2; 6)1; в)-3; * г)-2.

5x + 4y-z = 2,

3. Какое из утверждений верно для системы

х-y + 2z = -1, ?

3x + 2_y + z = 3.

а) система имеет единственное решение, б) система несовместна, в) система имеет бесконечное множество решений.

2х - у + mz = 5,

4. При каком значении т система а) т-\; 5. Найти матрицу С = В-2А, если В =

2х + 3y + 2z = -l, несовместна?
2y + 5z = 0
б) т = -1; в) т = 3; г) т - 0.

0 -2 1 -1

2 -1 1 0

2 3 -1 2

2 3 3 2

2 3

; г)С =

а) С =

; *б)С:

с) С =

1 -2

2 -3|

3 -2

6. Бхли Я-3/f, где Л - матрица третьего порядка, то ее определитель D(B):

a) D(B) = D(A); 6) D(B) = 3D(D); в) D(B) = 9D(A); r) D(B) = 27D{A).

7. Вычислите длину вектора а -b + Ъс, если b =i +2j, с = i + j -к.

1)6 2)25 3)3 *4)5V2

8. Укажите, какому из предложенных векторов коллинеарен вектор

а = i - 2/ + Ък:

l)2i-3] + k 2)-2l + 4]-6k 3)i-2j 4)-l-j+-k

9. Записать уравнение сферы х²+/+г²=4в сферической системе

координат.

1)г=4 2) г = -4 3)r = 4cos<? 4) г = 2

10. Записать уравнение конуса х² + у² = (z-2)² в цилиндрической
системе координат.

\)z = r + 2 2)z = r-2 3)z = 2r + 2 4)z = r²+2

11. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку М(2, 0, 4) и
перпендикулярной плоскости Зх-у + z + 5 = 0.

1) lzl ₌ 2L = ^Z± ₂)3(x-2)-y + 5(z-4) = 0 3) ^Х~²=-Л = 1^1 4)2x + 4z = 5

^; з -l i

12. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М(3, -1, 4) и
параллельной плоскости 2х + 5у - 3z -1 = 0.

l)2x + 5.y-3z-ll = 0 3) 3x-^ + 4z-l = 0

_п „, ч *-2 v + 5 z-3 2)-2x-5^ + 3z + 8 = 0 V -Y-^z=£ ZГ = ^-l 3. Уравнение х² - 5.у² - Зх + 2> - - 2 = 0 определяет на плоскости. 1) параболу 2) гиперболу 3) эллипс 4) прямую

14. Определить вид поверхности х² - у +z = 5:

1) эллиптический параболоид 2) гиперболический цилиндр 3) однополостный гиперболоид 4) гиперболический параболоид

15. Указать вид кривой, полученной в пересечении гиперболического
параболоида у² - х² - z с плоскостью z = 7:

1) парабола 2)эллипс 3)прямая 4)гипербола

16.---------------------------------------------- Найдите область определения функции у= , -■

V х — 2

а)(2; +оо); б) (-co; 2)u(2; +oo);

в)[2; +со); г) (-со; +со).

17. Закончите фразу: последовательность [х_п] - < 2 + —

I "

а) ограничена сверху, но не ограничена снизу,

б) ограничена снизу, но не ограничена сверху,

в) ограничена, г) не ограничена ни снизу, ни сверху.

х-3

18.------------------- Вычислите hm —₅

*-* х² -4х + 3

а)-1, 6)0, *в)1, г)~.

,. 2-Vx-2

19.------------------- Вычислите hm—_;

*-> б х²-36

а)~, 6)0, в) со, •! ■ )-!.

20. Определите, будет ли точка х = 2 точкой разрыва функции

х-2 , и если будет, то установите тип точки разрыва 4, если х - 2 а) точка непрерывности, б) точка конечного разрыва, в) точка бесконечного разрыва, г) точка устранимого разрыва. л 21. Дифференциал df(x) функции /(х) = sinx в точке х0 = — равен: /з л/2 1 а)—их; б)---- dx; в) dx; r)~dx- 2, 2 £ 22. Дифференциал df{x) функции f(x) = -х3 +-х2 в точке х0 = - равен: 3 1 13 a)-dx; 6)-dx; ъ)--dx; r)-dx. 4 2 4 2 23. Найти произведение 2(2 + 3/)(3-2/) а) 6-4/, 6)12-6/, в) 24 + 10/, г) 12 + 12/. 24.---------------------------------------- Записать комплексное число z =---------------------------------------- в алгебраической форме (1 + 0(1 - 20 а)---/, 6)- + -/, в) 1 + 2/, г) 6-/. 5 5 5 5

т

-, если хф 2

if * i ⁴ L

25. Вычислить тт= ^{+ _}Т~~г \

\< jx х ~4х)

⁷ 2 2х^{2 2 zx}

3)2^—^ + 8^ + 0.

⁷ 2 2х²

_r(arcsinx)

26.-------------- Вычислить J—. -~dx.

Yl — X

_1ч (arcsinx)². (^^i + C- 3) агс₅тх> Я^х^Т + С.

1) 1 4

rcosyx,

27. Найти г— a*.

^J t/x³

4 28. Вычислить \xj2-xdx =...

l)IsinVx~ + C; 2)4sin^ + C; 3)-4sinVx~ + C.

14 -4 ¹⁵ ^ ^

" & ²⁾й^{; 3)}з-

29. Вычислить J-p==-ox - •••

oJ4-x²

1} 3 ..г.. 2

16 + 9V3. 2)^^; 3)³~^9лЯ.

30. Значение функции „ = ^f^- - ^ в точке Д-1, 2, 1) равно

*$ •«> -? -> 4 ^

31. Частная производная zj, функции z = ln(x³+2xy) в точке М_о(1; 0)

равна,

а)1; 6)3; в) 2; г)-.

32. Дифференциал функции г = х² (х - у³) в точке М₀(-1; 1) равен

а) 5dx - 3rfv; б) 5dx + ЗЛу; в) ЗЛ + 5^; г) -ЗА + dy.

Содержание

1 Информация о дисциплине................................................... 3

1.1. Предисловие.................................................................. 3

1.2. Содержание дисциплины и виды учебной работы 4

2............................................................................................ Рабочие учебные материалы 4

2.1. Рабочая программа........................................................ 4

2.2. Тематический план дисциплины математики (1 курс) 9

2.3. Структурно-логическая схема дисциплины «Математика»... 14

2.4. Практический блок..................................................... 15

3............................................................................................. Информационные ресурсы дисциплины 15

Библиографический список................................................. 15

4............................................................................................. Блок контроля освоения дисциплины 16

4.1. Методические указания по выполнению контрольной

работы № 1.............................................................................. 1"

4.2. Методические указания по выполнению контрольной

работы №2............................................................................ 28

4.3. Методические указания по выполнению контрольной работы №3 42

4.4. Методические указания по выполнению контрольной работы №4 60

4.5. Задания на контрольные работы №№ 1-4.................. 73

4.6. Текущий контроль. Тестовые задания....................... 85

Редактор И.Н.Садчикова

Сводный темплан 2008 г.

Лицензия ЛР № 020308 от 14.02.97

Санитарно-эпидемиологическое заключение № 78.01.07.953.П.005641.11.03

от 21.11.2003 г. _________

Подписано в печать 18.11.08г. Формат 60x84 1/16
Б кн.-журн. П.л.5, 6 Б.л. 2, 8 Изд-во СЗТУ
Тираж 300 экз.______________________________ Заказ2083_

Северо - Западный государственный заочный технический университет

Издательство СЗТУ, член Издательско-полиграфической ассоциации

университетов России

191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, д. 5

 

⇐ Предыдущая123456

Поделиться:

Популярное:

1. B. Функции языка как театральной коммуникативной системы
2. I. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О СТРОЕНИИ И ФУНКЦИИ МИОКАРДА
3. III. Вегетативные функции НС.
4. Xlabel('Значения x'); ylabel('Значения функции'), grid
5. Анализ структуры и выполняемые функции информационной подсистемы «Кадры» ОГУ
6. Асимптоты графика функции и их отыскание
7. Билет 5 Основные черты, функции и Юридические свойства Конституции
8. Биологические функции пептидов и белков
9. Блок 20. Функции администратора зала и администратора кассы
10. Бухгалтерский учет: его задачи, функции и
11. В том, что любой живой организм состоит из клеток, но клетки выполняют разные функции.
12. Виды, функции и стадии правотворчества