Дифференцирование сложной функции

Производная сложной функции у =№х)) вычисляется по формуле

Ух=/и(^иУх-

То есть чтобы найти производную сложной функции, нужно сначала продифференцировать " внешнюю" функцию по промежуточном) аргументу и так, как если бы аргумент и был независимой переменной. после чего умножить полученный результат на производную от функции и

по переменной х.

Это правило распространяется на сложную функцию, состоящую из

любого конечного числа дифференцируемых функции.

Пример 24. Найти производную функции у = ln(l + 2cosx) Решение: Данная функция - сложная, промежуточный аргумент

и = (1 + cos2x). Согласно приведенному правилу имеем

y^ln«)U=i(l + 2cosx)'=_IT^(-2smx>

Пример 25. Найти производную функции у = л/8 + sin x.

Решение: Данная сложная функция составлена из трех функций У = /Щх))\ ^гД^е /(" ) ⁼ ^' " W = 8 + v², v = sin х. Применяем правиле дифференцирования сложной функции (начиная дифференцировать с " внешней" функции/):

_r > _{= f}> _u> _v> ₌-J_(8 + sin²x) = ■ 2w; =

 

2sinx, . J 2sinxcosx —j===^sinxj = 2V8 + sin2x

sin2x

2V8 + sin² x 2л/8 + sin² x

4.2.8. Геометрический смысл производной и дифференциала функции

Пусть в декартовой прямоугольной системе координат задана кривая,

являющаяся графиком функции у = f(x) и на ней точка М₀(х₀, у₀). Производная /'(х₀) функции

У - /(*) геометрически

представляет собой угловой

x0 + Ax

коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀, т.е. f'{x₀)=k = tg< p (см. рис.12). Тогда уравнение касательной к кривой у = f(x) в точке М₀ (х₀, у₀) имеет вид:

Рис.12

У-Уо = /'(*оХ*-*о) Дифференциал функции fix) в точке х₀ находится по формуле df(x₀) = /'(х₀ %х - х₀), т.е. равен произведению

производной функции в заданной точке на дифференциал(приращение) независимой переменной. Геометрически дифференциал функции у - f(x) в точке х₀ представляет собой приращение ординаты касательной к графику

функции в точке х₀ и при Ах -> 0 Ау и dy являются эквивалентными

бесконечно малыми. Поэтому справедливо приближенное равенство Ay ~

dy, позволяющее приближенно заменять приращение функции

дифференциалом.

Пример 26. Найти координаты точки пересечения с осью Оу

(х-1)² касательной к кривой у = f(x), где Дх) = i—-! —_t проведенной к ней в

х

точке М₀(-1; 4).

Решение: Уравнение касательной к кривой у - /(х) в точке

^мо (^хо' У о )• имеет вид у - у₀ = f'(x₀ \x~x₀). Найдем сначала производную f'(x):

 

! > *

,, , _2{x-l)x²-2x(x-\f _2{x-l)x-2(x-\f _2x-2 2(x-l)

J \^x) ■ ■ ■ - ~₄ - ■ -- - -—— _------ _..

* * x⁵ x^j

Вычислим /'(-l) = — -——1 = 4, тогда уравнение касательной к заданной-кривой в точке М? (-1, 4) запишется в виде:

у - 4 = 4(х + 1) или >; = 4х + 8.

Теперь находим координаты точки пересечения полученной прямой с оськ

Оу.

Для всех точек, лсжшцих на оси Оу, х = 0. Подставим в уравнение

касательной х = 0, получим y-S. Значит, касательная у = 4х + >

пересекает ось Оу в точке (0, 8).

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Производная функции у = у(х), заданной в параметрической форме y = y(t), x = x(t), находится по формуле

4у у\

клЛ Л/ *

•, 2

Пример 27. Найти производные — и —^ функции у - у(х),

dx dx²

х =

sin 2/ y = \ntgt

заданной в параметрической форме Решение: Вычислим х\ и у\:

(г; „пЛ~Л (■ оЛ-2/ • пл' cos2t(2t) -2cos2?
(sm2t) J = -(sin2/J (sm2t)----------- ^—'— =--------.

sin2 2t

sin² 2t

'dy

1 /.л' 2

= (-tg2i) ₌ -._L_(₂, )'=-

¹^Л ^V ° ' cos²2t^K" '^; cos² It Следовательно, используя формулу (3), получаем

^dll_ ₌ (______ 2_). ( 2 cos It^ч| ₌ 2 sin² It _ tg²2t

dx² { cos²2jJ V sin²2*j cos² It- 2 cos It cos 2/'

4.3. Методические указания по выполнению контрольной работы N 3

Применение правила Лопиталя к нахождению предела функции

[5], гл.1, 16; [3], т.1, гл.4, §§4-5; [8], гл.7, §2; [9], гл.11, §9, [10]

При отыскании предела lim < р(х) подстановка предельного значения х = а

х-*а

в ряде случаев приводит к неопределенным выражениям типа:

О оо

О' оо' ° ^С°' ⁰⁰~^со' ° ' °° ^°■ Тогда вычисление заданного предела

называют раскрытием неопределенности соответствующего типа. Обычно

при этом используют- правило Лопиталя.

4.3.1. Раскрытие неопределенностей типа - и —

О ОС

Непосредственно применять правило Лопиталя можно только для

О 00

раскрытия неопределенностей типа -- или —. Согласно этому правилу,

предел отношения двух бесконечно малых (или двух бесконечно больших) существует и равен пределу отношения их производных:

 

hm^-^ = hm^-S

jr-> a g(x) x-> a g\x)

если выполнены условия:

1) функции f(x), g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки х = а и g'(x) Ф О в этой окрестности (кроме, может быть самой точки а);

2) lim f(x) = lim g(x) = 0 (или lim f(x) = lim g(x) = да);

лг-> а х-+а x-> a x-> a

fix)

3) существует lim -—- (конечный или бесконечный), при этом с

х-> а g'(x)

может быть как числом, так и одним из символов: да, +оо, -да.

1 — 2 cos х Пример 28. Найти lim —

x-> % sin(7r - Зх)

 

Решение: Поскольку lim (l-2cosx) = l-2cos—=

х^/_ъ 3

1 ( яЛ

= 1-2—= 0 и lim sin(; r-3x) = sinЬг-3-— = sinO = 0, то имеем

2 х^/₃ { 3J
неопределенность типа -. Функции (l-2cosx) и sin(; r-3x)

дифференцируемы па всей числовой оси. Найдем предел отношения их производных:

(l-2cosx),. 0-2(-sinx) 2sinx

lim -^----- '-у = lim----------------- —г = lim.—---- -, ---- —r =

~U(sin(*-3*)) ^eos(; r-3x)(, r-3x) *-^-3cos(; r-3x)

_2sin^_²^/_ Л

' -3cos0 -3-1 3 '

Так как этот предел существует, то согласно правилу Лопиталя:

l-2cosx,. (l-2cosx) V3

lim —-, ------------------- _s-= lim ^s '—-

x-> -

%sin(; r-3x) *-^(sin(^-3x))' ³

Замечание. Ьсли предел отношения производных hm вновь

*-*» g (х)

О да

представляет собой неопределенность типа - или —, то правило

Ода

Лопиталя применяется еще раз.

 

4.3.2. Раскрытие неопределенностей типа 0-да и да-да

Неопределенность типа 0-да или да-да следует вначале путем

тождественных преобразований привести к неопределенностям типа °

О или --, для раскрытия которых можно непосредственно применить правило Лопиталя.

Пример 29. Найти lim cosх 1п(тг - 2х).

х-> —о

Решение: При *-+^__о аргумент логарифмической функции (тг-2х)-+0 _{+ о}. Так как lim cosx = 0 и lim 1щ> - 2х) =-да

ТО

х^~о х-*--с

возникает неопределенность типа 0-да. Обычно в таких случаях один из
сомножителей записывают в знаменатель данного выражения-
lim ^£ 1п(^2х)₌ Ц^х)

л л: —> —о

1.. * 1

JC—> --------------------------------- О

2 ^Л 2 /COSX

Получена неопределенность типа ™, к которой применимо правило

да Лопиталя:

 

un, Jsfc^). _Iim M^l_{= Iim} ^Л±^1]

-„(cosx)-¹ ^|-₀^^ ^оЦ^хУЦ^х)

= -2 lim -^c™" -* lim -JL ₌ _2 _lim ^lf (поскольку lim sin x = 1). Здесь имеет место неопределенность типа

х-> —о

О

_о> для раскрытия которой снова применяем правило Лопиталя:

 

 

„,. cos² x.,. (cos²x) 2cosx(-sinx)
- 2 lim------------- = -2 lim ^л----- V = -2 hm-------------- - =

х-> ^п-о^л-^1х х-> ^п-о{тг-2х) xJL-o -2

2 2 ^v 2

-2

 

'1 1

Пример 30. Найти lim

шение: Выражение в скобках, представляющее собой неопределенность типа да-со, приводим к общему знаменателю:

 

^ „*

е*-1-х

lim

= lim—у------------------------------------ г.

x-> 0l х ех -1

*-> 0 x[e*-lj

Полученную неопределенность типа - раскроем по правилу Лопиталя

(в ходе вычислений это правило применено дважды):

,. е^х-\-х ,. (е^х-1-х),. е^х-0-\

lim —f--------- _г = hm V------- -f- = lim -t----- г----- =

*-o _x(e^x -1) *-o y_gX _ j J x-, 0 i(_e* _ i)_{+ xe}*

= hm —-^v --¹—-, - = hm------ = hm---------- = hm------ = -.

x-> o(_jX _, _x) x^o_e^x -0 + e^x +xe^x ^-> o_e^x(2 + x) *-> o2 + x 2

4.3.3. Раскрытие неопределенностей типа 1, 0, °о

При раскрытии указанных неопределенностей используются:

а)основное логарифмическое тождество a ^ogo = Ь (в частности, е ^п = Ь); б) непрерывность показательной функции, в силу чего:

hme^{M ;} =e^v< "

х—> а

(

\c(g3x 2-е*/

X-+U+0

Решение: Поскольку lim [2-е^х)= 2-1 = 1, lim c? g3x = +oo,

х-^0+о х-> 0+о

x-»0+o V ) x-»0+o

имеем неопределенность типа 1^е0. Найдем вначале предел логарифма
заданной функции: lim In (2-е* Г = lim ctg3xln(2-e^x). Здесь

возникла неопределенность типа 0 • оо. Если учесть, что ctgix =, то

tg3x'

О переидем к неопределенности типа -, которую можно раскрыть по

правилу Лопиталя:

lim cfe3*ln(2-_e*)=- lim ^^ = lim ^Л.₌

x-> 0+o

x-> 0+o fg3x x-^0+o (tg3x)'

-(-«•)

_ , ■ 2-e*_J_ ' 1.. e*cos²3x 1 Ы² 1

= hm------------- = -- lim ----------- =---------- = —

x-> 0+_o 1 ₃ 3x-*0+_o 2-е* 3- 2-1 3

cos 3x Теперь используем основное логарифмическое тождество и свойство непрерывности показательной функции:

lim 12-e Г = hm e\ ) =e" ^0+o =_e^/3=-~

*-> 0+o x-^O+o 3fe'

Таким образом, для вычисления lim i/(x)^v(x) в случае

х—> а

неопределенностей 1°°, 0°, °о°, применяем правило: limw^v=e^? , где

х-*а q = lim vlnw. jc—> a

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. B. Функции языка как театральной коммуникативной системы
2. I. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О СТРОЕНИИ И ФУНКЦИИ МИОКАРДА
3. III Организация рабочего места по приготовлению и приготовление сложной холодной кулинарной продукции.
4. III. Вегетативные функции НС.
5. Xlabel('Значения x'); ylabel('Значения функции'), grid
6. Анализ структуры и выполняемые функции информационной подсистемы «Кадры» ОГУ
7. Асимптоты графика функции и их отыскание
8. Билет 5 Основные черты, функции и Юридические свойства Конституции
9. Биологические функции пептидов и белков
10. Блок 20. Функции администратора зала и администратора кассы
11. Бухгалтерский учет: его задачи, функции и
12. В том, что любой живой организм состоит из клеток, но клетки выполняют разные функции.