Векторы, операции над векторами. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов

Вычислим векторное произведение векторов АВ и АС. Для этого применим распределительное свойство векторного произведения:

АВх АС = (- 5т +11й)х (2т + 6п) = -Юте х т + 22п х т - 3(Ш хп + 66пхп. Векторное произведение вектора самого на себя равно нулевому вектору, следовательно тхт = 0, йхй = б; при перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный, значит -ЗОот х й = ЗОЙ х т. Отсюда,

АВх АС = 22п х т + ЗОЙ х т = 52п х т. Находим модуль полученного вектора

42 = 52|Я х ай| = 52 • V2 ■ 1 - sin 135° = 52 ■ V2 • -^- = 52.

Следовательно, S = - ■ 52 = 26.

2) Найдем сторону ВС треугольника ABC, то есть длину вектора ВС. Согласно правилу треугольника сложения векторов, -> --> -> АВ+ВС-АС, откуда

--> ~> ™>

ДС=у< С-ЛД = (2от + бл)-.(-5от + Ий)«: 2»й + 6й + 5Л-Пй=»7т-5л. Найдем длину полученного вектора по формуле: ВС

* У ВС-ВС.

Под корнем сюит скалярное произведение вектора ВС самого на себя. Найдем его

-> —>

ВСВС = (7т-5п)(7т-5п) = 49тт-35п-т-35тп+25пп. С учетом того, что т ■ т = \т\², п ■ п = \п\², пт = тп, получаем

/iC/iC = 49|m|²-70w« + 25|«|²=49-l²-70-l-V2cosI35°+25-(V2)²

-49-70-V2

+ 25-2 = 49 + 70 + 50 = 169.

Таким образом, ВС =

ВС

169 = 13.

3) Найдем высоту h треугольника ABC, опущенную на сторону ВС.

По формуле площади треугольника имеем S = -h-BC, откуда h = —

² ВС

Площадь треугольника S и сторона ВС найдены ранее:

S = 26, ВС =13. Следовательно, я = —— = — = 4

13 13 "

4.1.4. Приложение векторной алгебры к задачам аналитической геометрии

[2], гл.2, 3; [8], гл.3, §1 Задачи на прямую и плоскость в пространстве рекомендуется решать средствами векторной алгебры. При решении задач необходимо уметь использовать различные формы уравнений прямых и плоскостей, а также умен, переходить от одной формы уравнения к другой.

Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А/] (1, -2, 3), М₂(2, -1, 0) и точку пересечения прямой

х-1 у + 2 z + 2 ■ ■ _

---- =------ = с плоскостью хОу.

3 11

Решение: Найдем координаты точки М₃(х, у z) - точки пересечения

заданной прямой с плоскостью хОу. Для этого от канонических

уравнений прямой перейдем к параметрическим и, добавив уравнение

плоскости хОу z = 0, получим систему для определения координат

искомой точки:

х = 1 + 3/

у = -2 + 2f z = -2 + / z = 0 Из третьего и четвертого уравнений получим t = 2, тогда х = 7; > > = 2; z = 0. Таким образом, М₃(7, 2, 0) - точка пересечения заданной прямой с плоскостью хОу.

Составим уравнение плоскости, проходящей через точки Mj, M₂, M₃ Если точка M(x, y, z) - текущая точка плоскости, то векторы MjM = (x-l, y + 2, z

(6, 4, -3) - компланарны, следовательно, их смешанное

произведение равно нулю: М, М_ъ ■ [М, М₂ х М_{М₃ ) = 0 или в координатной форме

jc-1 y + 2 z-3

1 1 -3 =0.

6 4-3

Раскрыв этот определитель по элементам первой строки, получим уравнение искомой плоскости:

9(x-\)-l5(y + 2)-2{z-3) = 0 или 9x-15.y-2z -33 = 0.

Пример 6. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку

'х- y + 2z + \ = 0

Зх - у - z +1

Решение: Приведем общие уравнения прямой к каноническому

х-х₀ У - Уо z - Zq -, ч

виду----------------- =- ■ ■ ■ --=, где S = {т; п; р) - направляющий вектор

м, м₃

прямой, a M₀(x₀, y₀, z₀) - точка, лежащая на этой прямой. Так как прямая лежит в обеих данных плоскостях, в плоскости х - у + 2z + 1 = 0 и в плоскости Зх - у - z + 1 = 0, то ее направляющий вектор S перпендикулярен нормальным векторам этих плоскостей N; = (1; -1; 2) и N₂ - (3; -1; -1), поэтому можно выбрать

/ j к 5=1-1 2

3 -1 -1 ординаты точки M₀(x₀, y₀, z₀) найдем из системы уравнений,

[*о - У о + ^2zo +1 = О [3x₀-^₀-z₀+l = 0' одну из координат произвольно, например,

положим z₀ = 0, получим < , откуда

Рис.1 [Зх₀-.у₀+1 = 0

х₀ - 0, _у₀ = 1. Значит, Af₀(0; l; 0), S =(3; 7; 2) и канонические уравнения

прямой имеют вид:

—. Теперь найдем уравнение плоскости,

проходящей через прямую и точку А. Выберем произвольную точку искомой плоскости M(x, y, z), тогда три вектора М₀М = (x; y-l; z\ М₀А = (2; -2; l), 5 = (3; 7; 2) компланарны, (см.рис.1), значит

m₀m-(m~_gaxs)=o.

х у — \

м_ом-(м~₀лх5) =

-2 1

7 2

Т.о. уравнение искомой плоскости 11х + у - 20z -1=0.