Лекция № 8 Методы получения рекурсивных оценок случайных процессов

Стр 1 из 4Следующая ⇒

Лекция № 8 Методы получения рекурсивных оценок случайных процессов

Вопросы

8.1. Сопоставление результатов выборочных и рекурсивных оценок.

8.2. Особенности рекурсивных вычислений оценки.

8.3. Формализованная процедура оценки случайного процесса (фильтр

Калмана-Бьюси - ФКБ).

8.4. Цифровые алгоритмы ФКБ.

8.5. Оценки состояния многомерных систем.

8.6. Особенность оценки дискретных случайных величин.

Литература

1. Математичні основи теорії телекомунікаційних систем / За ред. В.В. Поповського –Х.: СМІТ, 2006. – розд.9

2. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского – М.: Наука, 1987-712с. Глава 2, 3

Дополнительная литература

1. Л.Люис. Идентификация систем. –М: Наука, 1991-435с.

2. Анфилатов В.С., Емельянов А.А., Кукушкин А.А. Системный анализ в управлении. – М.: РиС, 2002.-368с.

Сопоставление результатов выборочных и рекурсивных оценок

Процедура оценки – центральная процедура математической статистики. Оценка – наиболее вероятное значение случайной величины полученное в результате обработки выборки. Оценка – детерминированная величина (число). Выборочные значения (числа) – случайные события, в совокупности представляющие случайную величину. Как выборочные оценки (ВО), так и рекурсивные (РО) имеют общую цель: получение наиболее вероятного значения по выборке

(8.1)

Различия ВО и РО

1) При ВО – получаем одно число

При РО – получаем последовательность чисел (алгоритм рассмотрим ниже)

2) Для ВО выборка состоит из независимых величин

Для РО выборка состоит из максимально зависимых величин

3) ВО получаем после набора статистики и ее обработки, т.е. со значительной задержкой.

РО получаем в реальном масштабе времени, поэтому значение оценок сразу же могут быть использованы для реакции системы.

4) ВО – ориентирована на оценку СВ.

РО – ориентирована на оценку СП.

Как выборочная, так и рекурсивная оценка широко используются в практике связи. Укажем примеры применений:

· В задачах управления, при использовании результатов теоремы о разделении. Рекурсивные алгоритмы оценки преимущественно применяются при автоматическом управлении, поскольку они позволяют получать текущее значение оцениваемого состояния, которое сразу же используется для управления системой. При этом задержки в контуре управления – минимальны. Однако, если значение задержек не критично, то могут быть использованы и выборочные оценки. Так в задачах эргатического (ситуационного) управления, где само управление выполняет ЛПР, преимущественно используются выборочные методы оценки.

· Оценки могут использоваться не только в задачах автоматического или эргатического управления. Они часто применяются для других задач:

- в задачах управления системы как реакция на воздействие,

- при формировании архива,

- при отображении ситуации, при мониторинге,

- при статистических испытаниях,

- для обработки результатов научных исследований.

Рассмотрим более подробно рекурсивные процедуры оценки состояния

Аналоговые алгоритмы ФКБ

Триада уравнений для алгоритма оценки случайного процесса :

1. Уравнение наблюдения:

. (8.7)

2. Уравнение состояния:

. (8.8)

3. Уравнение оценки, удовлетворяющей критерию МСКО:

, (8.9)

где - (8.10)

дифференциальное уравнение Риккати для апостериорной дисперсии ошибки оценки.

- спектральные плотности мощности соответственно шума генерации в модели состояния и шума наблюдения в уравнении наблюдения. Если первый шум - носит виртуальный характер, он определяет уровень процесса , то - отображает реальный шум в канале наблюдения.

Все уравнения (8.7) - (8.10) представлены в виде многомерных функций с коэффициентами матричного вида, содержащих транспонирование, обозначаемое (Т) и обратные матрицы со степенями (-1).

Из сопоставления уравнений состояния (8.8) и оценки (8.9) видно, что левые части и первые слагаемые правых частей уравнений совпадают. Второе слагаемое правой части в квадратных скобках носит название невязки: . Очевидно, если оценка и оцениваемый случайный процесс совпадают , то невязка близка к нулю (это бывает при малых значениях шума наблюдения ), при этом корректировать оценку - не надо. Если же имеет место отклонение от оцениваемого значения того или иного знака , то, соответственно, невязка возрастает, и является корректирующим сигналом для получения новой оценки.

Из уравнения оценки (8.9) видно, что невязка умножается на величину, обратную спектральной плотности мощности шума наблюдения . Очевидно, при больших уровнях этого шума величина (его спектральная плотность мощности) будет пропорциональна не только отклонению оценки от истинного значения, но и значению шума наблюдения. Поэтому умножение на обратную величину (при большом уровне шума наблюдения) как бы снижает доверие к невязке, и таким образом доля вклада второго слагаемого в (8.9) уменьшается. При этом можно утверждать, что при качественных измерениях, когда шум , основной вклад в формирование оценки дает 2-е слагаемое, при некачественных – первое.

Важную роль также играет умножение невязки на функцию , определяющую изменение апостериорной дисперсии ошибки оценки. Анализ показывает, что сразу после включения ФКБ значения вначале относительно велики, затем постепенно уменьшаются до определенного уровня . Значение можно вычислить из уравнения (8.10), приравняв к нулю , то есть определить апостериорную дисперсию в установившемся состоянии фильтра, или, что тоже самое: определить точность оценки в этом установившемся состоянии.

При из (8.10) получаем обыкновенное квадратное уравнение, одно из решений которого позволяет определить искомую дисперсию. Так, полагая, что , - мощность шума, - спектральная плотность мощности чисто случайного полезного оцениваемого сигнала, из (6.9) получаем:

, (8.11)

где - отношение мощности полезного сигнала к мощности шума в полосе приема этого сигнала . График функции (8.11) представлен на рис.8.1. Отношение апостериорной дисперсии к априорной всегда < 1, если процедура ФКБ – устойчива.

Рис.8.1. График изменения абсолютного и относительного значения апостериорной дисперсии от -уровня сигнал/шум

Из рис.8.1. следует, что значение относительной апостериорной дисперсии монотонно уменьшается (соответственно относительная точность оценки возрастает) по мере увеличения отношения сигнал/шум. В тоже время из (8.11) также следует, что абсолютное значение апостериорной дисперсии растет пропорционально оцениваемому сигналу (см. рис.8.1). Поэтому утверждение о том, что при увеличении уровня оцениваемого сигнала точность его оценки возрастает, не верна. Верно то, что увеличивается относительная точность, но не абсолютная.

Функция в ФКБ, показывающая точность оценки, играет также другую важную роль, обеспечивая устойчивость процедуры оценки. Кроме того, из уравнения (8.11) следует, что не зависит от текущих значений оцениваемого сигнала . Таким образом, точность оценки теоретически можно вычислить априори. Однако на практике точность оценки зависит также и от того, насколько точно заданы параметры в уравнениях состояния, наблюдения и насколько удачно выбран шаг квантования в дискретных процедурах. Об этом информация – ниже.

Структурная схема модели наблюдения и ФКБ представлена на рис.8.2.

Рис.8.2. Структурная схема ФКБ. Точка над означает производную

Невязка формируется на выходе . На выходе имеем производную оценки . После интегратора получаем искомую оценку .

Аналоговые ФКБ легко реализуются на сосредоточенных элементах аналоговой электронной техники и по-сути представляют собой фильтр нижних частот или полосовой фильтр. Однако из-за разброса параметров они не нашли применения на практике.

Цифровые алгоритмы ФКБ

Поскольку в сетях NGN и всех будущих сетях обработка трафика осуществляется в цифровом виде, то рекурсивные алгоритмы нашли практическое применение именно в цифровой форме. Представим триаду уравнений цифрового алгоритма ФКБ.

Уравнение наблюдения:

Уравнение состояния:

. (8.15)

Уравнение оценки, удовлетворяющее критерию МСКО:

, (8.16)

где ; (8.17)

; (8.18)

. (8.19)

В представленных уравнениях сохранены традиционные для ФКБ обозначения, совпадающие по смыслу с аналоговым алгоритмом, кроме значений , , где - шаг дискретизации.

Структурная схема ФКБ представлена на рис.8.4.

Рис.8.4. Структурная схема ФКБ в цифровом формате

Из уравнения оценки (8.9) видно, что невязка умножается на величину, обратную спектральной плотности мощности шума наблюдения . Очевидно, при больших уровнях этого шума величина невязки будет показывать не только отклонение оценки от истинного значения, но и содержать погрешности за счет значения шума наблюдения. Поэтому умножением на обратную величину регулируется доля вклада второго слагаемого в (8.9). При этом можно утверждать, что при качественных измерениях, когда , основной вклад в формирование оценки вносит 2-е слагаемое, при некачественном – первое. Все как в аналоговом алгоритме.

Режимы ФКБ

Начиная с 1-го шага функционирования, независимо от начальных условий, ФКБ находится в переходном состоянии, затем, обычно спустя несколько шагов, наступает устойчивый режим.

Переходное состояние может продолжаться от нескольких шагов до сотен шагов (рис.8.6 а, б) или вообще не заканчиваться, образуя хаотический процесс (рис.8.6 в). Таким образом, основным показателем этого режима является скорость сходимости к установившемуся состоянию.

На поведение ФКБ в переходном режиме влияют различные параметры, однако наибольшее влияние оказывают выбор шага дискретизации и соотношение сигнал/шум . При выборе шага дискретизации целесообразно стремится к его уменьшению, выбирая . Можно добиться приемлемого устойчивого режима и при больших шагах 10^-1 и больше. Однако часто, на практике, выбор величины шага определяется не исходя из воли исследователя, а исходя из особенностей той или иной телекоммуникационной технологии. К числу таких особенностей следует отнести наличие значительных задержек в поступлении сигнальной или управляющей информации, большие периоды времени между соседними донесениями агентов, установленных на сетевых устройствах и др. Так, отсчетные значения в протоколах RTP имеют темп поступления: один отсчет в несколько секунд. Учитывая, что интервал корреляции изменений трафика составляет десятки секунд, то приходится иметь дело со случаем, когда . При этом для того, чтобы добиться устойчивого режима приходится занижать отношение сигнал/шум и др. Другой фактор, влияющий на продолжительность переходного режима – это упомянутое отношение сигнал/шум. При больших значениях этих соотношений ФКБ плохо сходится или переходит в хаотический режим (см. рис.8.6). Причиной этому является то, что с уменьшением уровня шума наблюдения возникает эффект деления на маленькое число (8.17), результатом чего появляются большие числа, что влияет на процесс вычислений. Для предотвращения этого эффекта приходится искусственно «зашумлять» фильтр. Можно так же в самом алгоритме (8.4), (8.17) выбирать заведомо заниженное значение или завышенное на величину до одного порядка. На практике целесообразно эти параметры выбирать методом поочередного подбора.

Установившийся режим – основной рабочий режим ФКБ. Качество фильтра в этом режиме определяется точностью оценивания, значением апостериорной дисперсии . Центральной задачей при программировании ФКБ является выбор параметров , , , - шаг дискретизации.

Проанализируем влияние ошибок в выборе параметров фильтра на точность оценок.

1. Ошибки в выборе соотношения . Анализ показывает, что ФКБ весьма чувствителен к отклонениям выбранных параметров от параметров модели или реальных параметров оцениваемого процесса. Уже было указано, что даже при точном задании , но при больших его значениях, более 20…30 дБ, ошибки оценки могут возрастать, а режим фильтра может стать неустойчивым. Поэтому ошибки в выборе в сторону уменьшения оказываются незначительными, в то время как ошибки в сторону возрастания – весьма критичны.

2. Точность оценок при различном выборе . Данные ошибки также имеют практически односторонний характер: чем меньше отношение , то есть чем больше отсчетных значений оцениваемого процесса окажется на интервале корреляции, тем выше точность оценки, функционирование – более устойчиво.

Из данного анализа можно сделать практически важный вывод: если ФКБ неустойчив, плохо сходится или наблюдаются большие ошибки оценки то следует попытаться скорректировать программу, выбрать меньшее отношение или же уменьшить шаг дискретизации .