ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Тезисы лекций

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

МАТРИЦЫ

Прямоугольная таблица чисел, содержащая т строк и п столбцов, называется матрицей размера тх п: .

Каждый элемент матрицы снабжается двумя индексами: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца, в которых расположен этот элемент.

Две матрицы называются равными, если числа их строк и столбцов совпадают и если равны элементы, расположенные на соответствующих местах этих матриц.

Если число столбцов матрицы п равно числу ее строк, то матрицу называют квадратной матрицей порядка п. Элементы квадратной матрицы порядка п образуют ее главную диагональ.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Диагональная мат­ица называется единичной, если все ее элементы, расположенные на главной диагонали, равны единице.

Матрица называется транспонированной для матрицы А если она получена из матрицы А путем перестановки местами строк и столбцов.

Действие над матрицами:

1) Умножение матрицы на число. Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число.

2) Сложение матриц. Суммой матриц А и В одинаковых размеров называется матрица, элементы которой равны суммам элементов матриц А и В, расположенных на соответствующих местах.

3) Умножение матриц. Матрицу А можно умножить на матрицу В только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В результате умножения получится матрица С, у которой столько же строк, сколько их матрице А, и столько же столбцов, сколько их в матрице В, а элементы матрицы С вычисляются по формуле:

,

т.е. для получения элемента , расположенного в i-строке и j-омстолбце матрицы С, надо элементы i-ой строки матрицы А умножить на соответ­ствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Любой квадратной матрице порядка п ставится в соответствие число, называемое определителем этой матрицы. Определитель записывается в виде квадратной таблицы и вычисляется по определенному правилу.

Матрица называется невырожденной если ее определитель неравен нулю.

Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (п – 1)-го порядка, который получается в результате вычеркивания в определителе n -го порядка строки и столбца, содержащих эле­мент .

Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, умноженный на : = .

Теорема Лапласа: каждый определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Матрица называется обратной для квадратной невырожденной матрицы , если выполняется равенство:

.

Для обращения матрицы необходимо:

1. Вычислить определитель матрицы А: .

2. Составить присоединенную матрицу , элементами которой являются алгебраические дополнения элементов матрицы А.

3. Транспонировать присоединенную матрицу: .

4. Вычислить обратную матрицу по формуле: .

5. Выполнить проверку.

СИТСЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Общий вид системы линейных уравнений с неизвестными:

,

где

, .

Здесь А – матрица системы, Х – матрица-столбец неизвестных, В – матрица-столбец свободных членов.

Если матрица системы невырожденная, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено:

а) методом обратной матрицы по формуле: ;

б) по формулам Крамера: , где – определитель, полученный из определителя матрицы системы заменой -го столбца столбцом свободных членов.

ВЕКТОРЫ

Вектором называется направленный отрезок плоскости или пространства. Обозначается: или , где – точка начала вектора, – точка конца. Вектор может быть задан проекциями в виде: .

Модулем вектора называется его длина, которая вычисляется по формуле:

.

Пусть даны векторы и . Можно выполнить следующие линейные операции над ними:

1. Сумма (разность) векторов: .

2. Умножение на число:

Скалярным произведением векторов и называется число, получаемое по формуле: , где – угол между векторами, или в координатной форме .

Векторным произведением векторов и называется вектор, модуль которого равен площади параллелограмма, построенного на векторах, а координатная форма имеет вид:

Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное по величине объему параллелепипеда, построенного на векторах, и вычисляемое по формуле:

ПЛОСКОСТЬ

Плоскость однозначно проходит через три заданные точки , и . В этом случае уравнение плоскости имеет вид:

Плоскость однозначно проходит через точку перпендикулярно вектору , который называется нормальным. В этом случае уравнение плоскости имеет вид: .

Общим уравнением плоскости называется уравнение вида:

.

Числовая последовательность

Если каждому числу п из множества натуральных чисел поставлено в соответствие некоторое действительное число , то множество действительных чисел называется числовой последовательностью. Обозначается: Х={ }.

Число а называется пределом числовой последовательности { } если для любого положительного числа найдется номер N , начиная с которого выполняется условие . Обозначается: .

Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она сходится. Если предел бесконечен или не существует, то последовательность расходится.

Последовательность называется бесконечно малой если ее предел равен нулю. Последовательность называется бесконечно большой если ее предел равен бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности являются взаимообратными.

Свойства бесконечно малых:

1. Сумма бесконечно малых является бесконечно малой.

2. Произведение бесконечно малых является бесконечно малой.

3. Произведение бесконечно малой на величину ограниченную является бесконечно малой.

Алгебрическими композициями последовательностей { } и { } называются последовательности {z_n} вида {х_п + у_п}, {х_п – у_п}, { х_п }, { х_п / у_п}. Если последовательности {х_п}и {у_п}имеют конечные пределы a и b то последовательность {z_n}имеет пределы а + b, а – b, а , a / b соответственно.

В случае когда последовательности {х_п}, {у_п}являются бесконечно большими или бесконечно малыми, могут возникать неопределенности вида (разность бесконечно больших), (произведение бесконечно малой и бесконечно большой), (отношения бесконечно малых и бесконечно больших), .

Функции одной переменной

Если некоторому числу х из множества X поставлено в соответствие согласно некоторому правилу f единственное число у = f(x), то говорят, а множестве X задана функциональная зависимость или функц2ия. При этом величину у называют зависимой переменной, значением функции а величину х – независимой переменной или аргументом функции. Множество X называют областью определения функции и обозначают D(f) = X, а множество чисел у=f(x) объединяют в множество У и называют множеством значений функции. Это множество обозначают также E(f) = У. Наиболее распространены табличный, графический и аналитический способы задания функции.

Основные элементарные функции:

· степенные;

· показательные;

· логарифмические;

· тригонометрические;

· обратные тригонометрические.

Все функции, полученные в результате выполнения конечного числа арифметических действий и суперпозиций над основными элементарными функциями, называются элементарными функциями.

Элементарные функции подразделяются на: рациональные, иррациональные и трансцендентные. Рациональные функции представляются в виде алгебраических многочленов или в виде отношения алгебраических многочленов (т.е. являются дробно-рациональными). Иррациональные функции получены в результате выполнения действий над степенными функциями как с целыми, так и дробными показателями. Трансцендентные – это все остальные функции.

Если на множестве D определена функция с множеством значений Е, а на множестве Е определена функция , то функция называется сложной функцией аргумента х, а переменная z называется промежуточным аргументом сложной функции.

ПРДЕЛ ФУНКЦИИ

Число А называется пределом функции в точке , если при сколь угодно близком приближении аргумента к значению соответствующие значения функции сколь угодно близко приближаются к значению А. Обозначается: .

Число А называется правым (левым) пределом функции в точке , если при сколь угодно близком приближении аргумента к значению справа (слева) соответствующие значения функции сколь угодно близко приближаются к значению А. Обозначаются: – правый предел, – левый предел.

Теорема. Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равны между собой односторонние пределы функции. В этом случае значение предела совпадает со значением односторонних пределов.

Число А называется пределом функции на бесконечности, если при неограниченном увеличении аргумента соответствующие значения функции сколь угодно близко приближаются к значению А. Обозначается: .

Справедливы следующие свойства пределов функции:

1. Если предел функции существует, то он единственный.

2. Предел постоянной величины равен самой постоянной.

3. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов функций.

4. Предел произведения функций равен произведению пределов функций.

5. Предел отношения функций равен отношению пределов функций.

При вычислении пределов функции используются замечательные пределы:

; .

Непрерывность функции

Функция называется непрерывной в точке если предел функции и ее значение функции в этой точке равны:

.

Функция непрерывна на отрезке если она непрерывна в каждой его точке.

Точки, в которых условие непрерывности нарушается называются точками разрыва функции.

Различают разрывы первого и второго рода.

В точках разрыва первого рода односторонние пределы существуют, принимают конечное значение, но не равны между собой.

В точках разрыва второго рода хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Асимптоты графика функции

Асимптота – это прямая линия к которой график функции бесконечно близко приближается при удалении аргумента функции на бесконечность.

График функции имеет вертикальную асимптоту если – точка разрыва второго рода.

Если существуют конечные пределы и , то и – правая и левая горизонтальные асимптоты соответственно.

Если существуют конечные пределы и , то график функции имеет наклонную асимптоту .

Горизонтальная асимптота – частный случай наклонной асимптоты.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1. Производная и дифференциал функции

Предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, при стремлении последнего к нулю, называется производной функции в точке :

.

Из определения производной следует, что она представляет собой скорость изменения функции. В этом состоит ее механический смысл. В частности, скорость неравномерного прямолинейного движения есть скорость изменения расстояния по отношению ко времени:

Геометрический смысл производной состоит в том, что производная функции представляет собой тангенс угла наклона касательной к графику этой функции в данной точке (х, f(x)), т. е. f ¢ (x) = tg a.

Если функция y=f(x) имеет производную f¢ (х) в точке х, то произведение производной f`(x) на приращение аргумента называется дифференциалом функции:

Дифференциал dx независимой переменной совпадает с ее приращением . Поэтому можно записать: dy=f `(x)dx. Отсюда следует, что т. е. производную f `(x) можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

Производные основных элементарных функций:

1. ;

2. ;

3. , ;

4. , , , ;

5. ; .

ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Производной второго порядка называется производная от производной первого порядка функции: . Аналогично производной третьего порядка называется производная от производной второго порядка функции и т.д. В общем случае производной п – го порядка называется производная от производной (п–1) – го порядка функции: .

МОНОТОННОСТЬ ФУНКЦИИ

Функция y=f(x) на интервале (a, b) называется:

· возрастающей, если для любых точек этого интервала < выполняется условие ;

· убывающей, если для любых точек этого интервала < выполняется условие ;

· постоянной, если для любых точек этого интервала < выполняется условие .

Перечисленные функции называются монотонными.

Достаточный признак монотонности. Если в каждой точке интервала (a, b):

· , то функция на этом интервале возрастает;

· , то функция на этом интервале убывает;

· , то функция на этом интервале постоянна.

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ

Значение f(x₀) называется локальным максимумом (локальным минимумом) функции у = f(x), если в некоторой окрестности точки x₀ для любого x выполняется условие f(x₀) > f(x) (f(x₀)< f(x)). Точка x₀ называется точкой максимума (минимума) функции. Локальные максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции, а точки максимума или минимума – точками экстремуме

Теорема(необходимое условие локального экстремума). Если функция у = f(x) имеет в точке х₀ локальный экстремум, то производная f'(x) в этой точке обращается в нуль или не существует.

Точки, в которых f'(x) = 0 или f'(x) не существует, называются критическими. Экстремум в таких точках может быть, а может и не быть.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть х₀ – критическая точка функции у = f(x); если при переходе через точку х₀ слева направо производная f'(x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функция f(x) в точке х₀ имеет локальный мак (локальный минимум); если же производная f'(x) не меняет знак в окрестности точки х₀, то данная функция не имеет в точке х₀ локального экстремума.

НеопределеннЫЙ интеграл

Функция называется первообразной функции , если выполняется условие: .

Теорема. Если и две первообразные одной и той же функции , то они отличаются не более, чем на константу, то есть .

Следствие. Если - одна из первообразных функции , то любая другая первообразная имеет вид .

Совокупность всех первообразных функции называется неопределенным интегралом от и обозначается , здесь называется подынтегральной функцией, а - подынтегральным выражением.

Таким образом, окончательно = .

Таблица ОСНОВНЫХ неопределенных интегралов

; ; , при ; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ; .

Методы интегрирования

Интегрирование по частям

Пусть и - две функции. Тогда имеет место формула

.

Замена переменных

Если подынтегральная функция представляет собой произведение функции сложного аргумента на производную этого аргумента, вычисленную с точностью до постоянной, то тогда выполнив замену сложного аргумента на новую переменную можно упростить интегрирование и свести его к непосредственному:

.

Определенный интеграл

Определенным называется интеграл вида . Если подынтегральная функции неотрицательна, то определенный интеграл равен по величине площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком подынтегральной функции, прямыми , и осью абсцисс. Ниже перечислены основные свойства определенного интеграла.

1. ;

2. если , то ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. если , то .

Формула Ньютона-Лейбница

Если существует непрерывнаяфункцияF(x) такая, что , то .

Интегрирование по частям

.

Дифференцирование

Дифференциальные уравнения

1. Основные определения

Дифференциальным называется уравнение вида

,

связывающее между собой независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные вплоть до n-го порядка. Порядок уравнения определяется порядком старшей производной, входящей в уравнение.

Если уравнение можно записать в виде , то оно называется обыкновенным.

Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения имеет вид , где - произвольные постоянные.

Начальными называются условия вида:

.

Подстановка начальных условий в общее решение позволяет найти частное решение дифференциального уравнения, в котором постоянные принимают конкретное числовое значение.

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

1. Основные определения

Выражение ,

где – некоторые числа, называют числовым рядом, или просто рядом. Числа называют членами ряда, а – общим членом ряда. Ряд считается заданным, если существует правило, позволяющее находить по любому номеру соответствующий член ряда. Чаще всего это правило задается в виде формулы общего члена.

Сумма первых членов ряда вида называется n-ой частичной суммой.

Ряд называют сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда. Сам предел при этом называют суммой ряда и обозначают . Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд расходится. Сумму сходящегося ряда можно вычислить с любой точностью, заменяя ее частичной суммой соответствующего порядка. Для расходящегося ряда это не так. Поэтому сходимость или расходимость конкретного ряда является основным вопросом для исследования.

Если ряд сходится, то – необходимое условие сходимости ряда. Обратное, вообще говоря, неверно. Члены ряда могут стремиться к нулю, но ряд при этом может расходиться.

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

1. Основные определения

Выражение

,

где – некоторые функции, называют функциональным рядом.

Ряды Тейлора и Маклорена

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производные всех порядков. Ряд вида: = ,

называется рядом Тейлора для функции в точке . При такой ряд называют также рядом Маклорена. Функция может быть разложена в степенной ряд на интервале , если существует степенной ряд, сходящийся к на этом интервале. Если функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки , то это ряд Тейлора. Приведем разложения в ряд Тейлора для некоторых элементарных функций:

1) ;

2) ;

3) .

ОСНОВЫ ТеориИ вероятностей

Случайные события

В результате многократного повторения одних и тех же условий, которые носят название испытаний или опытов, можно наблюдать появление или непоявление в них некоторого события. Все события подразделяются на три вида:

· достоверные, которые обязательно происходят в результате испытания;

· невозможные, которые никогда не происходят в результате испытания;

· случайные, которые могут произойти, а могут не произойти в результате испытания.

Теория вероятностей занимается изучением закономерностей массовых однородных случайных событий.

Будем обозначать случайные события прописными буквами А, В, С или . Случайные события называются несовместными если появление одного из них в результате испытания исключает появление другого. Два события или называются противоположными, если они несовместны и непоявление одного из них в результате испытания означает появление другого. Если события таковы, что в результате испытания обязательно произойдет одно из них, то они образуют полную группу.

Классическая вероятность

Каждый из равновозможных результатов испытаний (опытов) называется элементарным исходом .

Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление такого события.

Количественной мерой возможности появления некоторого случайного события служит вероятность.

При классическом определении за вероятность события А принимается отношение числа благоприятствующих этому событию элементарных исходов (m) к общему числу возможных исходов (n): .

Классическая вероятность обладает следующими свойствами:

1) вероятность достоверного события равна единице;

2) вероятность невозможного события равна нулю;

3) вероятность случайного события определяется неравенством .

Для вычисления числа благоприятствующих рассматриваемому событию исходов или общего числа элементарных исходов широко используются формулы комбинаторики: