Вычисление определенных интегралов

Формула Ньютона-Лейбница

Если существует непрерывнаяфункцияF(x) такая, что , то .

Интегрирование по частям

.

Замена переменных в определенном интеграле

Теорема. Пусть f(x) интегрируема на [a, b], j(t) монотонно возрастает и j(a)=a, b(j)=b, а для любого существует . Тогда .

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1. основные определения

Если любой упорядоченной паре чисел (х, у) из некоторого числового множества D поставлено в соответствие согласно некоторому правилу число z из множества Z, то говорят, что на множестве D заданафункция z = f(x, у). При этом переменные х и у называются независимыми переменными (или аргументами), а переменная z – за­висимой переменной или функцией двух переменных . Множество D называется областью определения функции, а множество Z – множеством значений функции.

Аналогично можно определить функцию любого конечного числа независимых переменных.

Функция двух переменных z = f(x, у) может быть задана таблично, графически и аналитически.

Геометрическим изображением функции z = f(x, у) в прямоугольной системе координат Oxyz (графическое задание функции) является некоторая поверхность. Графически задать функцию трех и большего числа переменных не представляется возможным.

Линией уровня z = с функции z = f(x, у) называется линия плоскости f(x, у)= с. В каждой точке, лежащей на этой линии, функция z = f(x, у) принимает значение, равное с. Поверхностью уровня функции и = f(x, у, z) называется поверхность f(x, у, z) = с, в точках которой функция и = f(x, у, z) сохраняет значение, равное с.

Дифференцирование

Функции двух независимых переменных

Частной производной функции z = f(x, у) по переменой х называется производная, вычисленная по обычным правилам дифференцирования в предположении, что у является постоянной величиной. Обозначается: .

Частной производной функции z = f(x, у) по переменой у называется производная, вычисленная по обычным правилам дифференцирования в предположении, что х является постоянной величиной. Обозначается: .

Дифференциалом функции двух независимых переменных называется выражение

.

Частные производные от частных производных называются частными производными второго порядка. Различают чистые частные производные, когда дифференцирование дважды осуществляется по одной переменной, и смешанные частные производные, когда дифференцирование осуществляется по разным переменным. Обозначаются: ; ; ; .

Если частные производные первого порядка непрерывны, то значение смешанной производной не зависит от порядка дифференцирования.

Экстремум функции двух независимых переменных

Функция z = f(x, у) имеет максимум (минимум) в точке , если значение функции в этой точке является наибольшим (наименьшим) по сравнению с другими значениями функции из окрестности точки .

Максимумы и минимумы функции называются экстремумами, а точка – экстремальной точкой .

Теорема (необходимые условия экстремума). Если z = f(x, у) дифференцируемая функция и достигает в точке М₀(х₀, у₀) экстремума, то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю:

, .

Точки, в которых частные производные первого порядка обращаются в нуль (или не существуют), называются критическими или стационарными . Исследование их на экстремум проводят с помощью достаточных условий существования экстремума функции двух переменных.

Пусть – стационарная точка функции z= f(x, у). Для ее исследования сначала вычисляют частные производные второго порядка в точке :

; ; ,

а затем дискриминант = АС — В². Тогда достаточные условия экстремума функции z = f(x, у) в стационарной точке М₀(х₀, у₀) запишутся в следующем виде:

1) > 0 – экстремум есть, при этом, если А> 0 (или С> 0 при А=0) в точке функция имеет минимум, а если А< 0 (или С< 0 при А = 0) – максимум;

2) < 0 – экстремума нет;

3) = 0 – требуются дополнительные исследования.

Дифференциальные уравнения

1. Основные определения

Дифференциальным называется уравнение вида

,

связывающее между собой независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные вплоть до n-го порядка. Порядок уравнения определяется порядком старшей производной, входящей в уравнение.

Если уравнение можно записать в виде , то оно называется обыкновенным.

Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения имеет вид , где - произвольные постоянные.

Начальными называются условия вида:

.

Подстановка начальных условий в общее решение позволяет найти частное решение дифференциального уравнения, в котором постоянные принимают конкретное числовое значение.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Вычисление ДПФ конечной последовательности.
2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЕДИНИЧНОЙ МАТРИЦЫ
3. Вычисление статистической вероятности
4. ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММЫ (СУММИРОВАНИЕ) ЭЛЕМЕНТОВ ВЕКТОРА
5. Запрос с вычислением значения в каждой записи
6. Метод неопределенных коэффициентов
7. Право общей долевой собственности является правом двух и более лиц сообща (в определенных долях) по своему усмотрению владеть, пользоваться и распоряжаться принадлежащей им единой вещью.
8. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
9. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КРАТНЫХ
10. Субъекты менеджмента - менеджеры-руководители различного уровня, наделенные полномочиями в области принятия решений в определенных сферах деятельности организации.
11. Тема: Вычисление определенных интегралов