Элементарное исследование функции

Исследовать функцию – значит охарактеризовать ее поведение при изменении независимой переменной. Для элементарного исследования необходимо:

· найти область определения функции;

· определить нули функции, точки пересечения графика с осями координат;

· исследовать на четность/нечетность;

· исследовать на периодичность.

Область определения – это множество всех значений аргументов функции, при которых она имеет смысл.

Нули функции – это те значения ее аргумента, при которых функция равна нулю.

Функция называется четной, если она задана на симметричном относительно начала координат промежутке и если f(-x) = f(x), и нечетной если f(-x) =-f(x). Для того чтобы установить четность или нечетность функции, требуется определить, является ли область определения функции интервалом, симметричным относительно начала координат, и выполняется ли одно из условий: f(-x) = f(x) или f(-x) = -f(x). Если функция не является четной и не является нечетной, то она называется функцией общего вида. График четной функции симметричен относительно оси ординат. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция называется периодической с периодом Т, если f(x) = f(x + Тп), n Z.

ПРДЕЛ ФУНКЦИИ

Число А называется пределом функции в точке , если при сколь угодно близком приближении аргумента к значению соответствующие значения функции сколь угодно близко приближаются к значению А. Обозначается: .

Число А называется правым (левым) пределом функции в точке , если при сколь угодно близком приближении аргумента к значению справа (слева) соответствующие значения функции сколь угодно близко приближаются к значению А. Обозначаются: – правый предел, – левый предел.

Теорема. Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равны между собой односторонние пределы функции. В этом случае значение предела совпадает со значением односторонних пределов.

Число А называется пределом функции на бесконечности, если при неограниченном увеличении аргумента соответствующие значения функции сколь угодно близко приближаются к значению А. Обозначается: .

Справедливы следующие свойства пределов функции:

1. Если предел функции существует, то он единственный.

2. Предел постоянной величины равен самой постоянной.

3. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов функций.

4. Предел произведения функций равен произведению пределов функций.

5. Предел отношения функций равен отношению пределов функций.

При вычислении пределов функции используются замечательные пределы:

 

; .

Непрерывность функции

Функция называется непрерывной в точке если предел функции и ее значение функции в этой точке равны:

.

Функция непрерывна на отрезке если она непрерывна в каждой его точке.

Точки, в которых условие непрерывности нарушается называются точками разрыва функции.

Различают разрывы первого и второго рода.

В точках разрыва первого рода односторонние пределы существуют, принимают конечное значение, но не равны между собой.

В точках разрыва второго рода хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Асимптоты графика функции

Асимптота – это прямая линия к которой график функции бесконечно близко приближается при удалении аргумента функции на бесконечность.

График функции имеет вертикальную асимптоту если – точка разрыва второго рода.

Если существуют конечные пределы и , то и – правая и левая горизонтальные асимптоты соответственно.

Если существуют конечные пределы и , то график функции имеет наклонную асимптоту .

Горизонтальная асимптота – частный случай наклонной асимптоты.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1. Производная и дифференциал функции

Предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, при стремлении последнего к нулю, называется производной функции в точке :

.

Из определения производной следует, что она представляет собой скорость изменения функции. В этом состоит ее механический смысл. В частности, скорость неравномерного прямолинейного движения есть скорость изменения расстояния по отношению ко времени:

Геометрический смысл производной состоит в том, что производная функции представляет собой тангенс угла наклона касательной к графику этой функции в данной точке (х, f(x)), т. е. f ¢ (x) = tg a.

Если функция y=f(x) имеет производную f¢ (х) в точке х, то произведение производной f`(x) на приращение аргумента называется дифференциалом функции:

Дифференциал dx независимой переменной совпадает с ее приращением . Поэтому можно записать: dy=f `(x)dx. Отсюда следует, что т. е. производную f `(x) можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

Производные основных элементарных функций:

1. ;

2. ;

3. , ;

4. , , , ;

5. ; .

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. B. Функции языка как театральной коммуникативной системы
2. I. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О СТРОЕНИИ И ФУНКЦИИ МИОКАРДА
3. II. Исследование дактилокарт
4. II. Сравнительное исследование
5. III. Вегетативные функции НС.
6. Xlabel('Значения x'); ylabel('Значения функции'), grid
7. Анализ структуры и выполняемые функции информационной подсистемы «Кадры» ОГУ
8. Асимптоты графика функции и их отыскание
9. Билет 5 Основные черты, функции и Юридические свойства Конституции
10. Биологические функции пептидов и белков
11. Блок 20. Функции администратора зала и администратора кассы
12. Бухгалтерский учет: его задачи, функции и