Некоторые достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 7Следующая ⇒

1. Признак сравнения. Рассмотрим два числовых ряда с положительными членами и . Если при всех , начиная с некоторого номера, , то из сходимости ряда следует сходимость ряда . Наоборот, из расходимости ряда следует расходимость ряда .

При использовании признака сравнения нужно иметь эталонный ряд, про сходимость которого известно заранее. В качестве таких рядов чаще всего берут обобщенный гармонический ряд , который сходится при и расходится при , или геометрический ряд , который сходится при и расходится при .

2. Признак сходимости Даламбера. Пусть для ряда с положительными членами существует предел . Тогда: если , то ряд сходится; если , то ряд расходится. При признак Даламбера ответа не дает: ряд может, как сходиться, так и расходиться.

3. П ризнаки сходимости знакопеременных рядов

Если члены числового ряда имеют разные знаки, то ряд называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд вида , где .

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из абсолютных величин членов ряда, т.е. ряд вида . Если ряд из абсолютных величин расходится, а сам ряд сходится, то его называют условно сходящимся. Исследование знакопеременного ряда начинают с исследования на сходимость ряда из абсолютных величин методами, которые применяются для рядов с положительными членами. Если такой ряд сходится, то получен ответ: ряд сходится абсолютно.

Если ряд из абсолютных величин расходится, то для знакочередующегося ряда можно применить признак Лейбница: если члены ряда стремятся к нулю, монотонно убывая, то ряд сходится, по крайней мере, условно.

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

1. Основные определения

Выражение

где – некоторые функции, называют функциональным рядом.

Функциональный ряд , где – постоянные, образующие числовой ряд , называется степенным рядом. Степенной ряд сходится на интервале с центром в точке , который называется интервалом сходимости. Число – радиус сходимости степенного ряда может быть вычислено по формуле . Сходимость степенного ряда на границах интервала сходимости необходимо исследовать специально для конкретного ряда.

Ряды Тейлора и Маклорена

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производные всех порядков. Ряд вида: = ,

называется рядом Тейлора для функции в точке . При такой ряд называют также рядом Маклорена. Функция может быть разложена в степенной ряд на интервале , если существует степенной ряд, сходящийся к на этом интервале. Если функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки , то это ряд Тейлора. Приведем разложения в ряд Тейлора для некоторых элементарных функций:

1) ;

2) ;

3) .

ОСНОВЫ ТеориИ вероятностей

Случайные события

В результате многократного повторения одних и тех же условий, которые носят название испытаний или опытов, можно наблюдать появление или непоявление в них некоторого события. Все события подразделяются на три вида:

· достоверные, которые обязательно происходят в результате испытания;

· невозможные, которые никогда не происходят в результате испытания;

· случайные, которые могут произойти, а могут не произойти в результате испытания.

Теория вероятностей занимается изучением закономерностей массовых однородных случайных событий.

Будем обозначать случайные события прописными буквами А, В, С или . Случайные события называются несовместными если появление одного из них в результате испытания исключает появление другого. Два события или называются противоположными, если они несовместны и непоявление одного из них в результате испытания означает появление другого. Если события таковы, что в результате испытания обязательно произойдет одно из них, то они образуют полную группу.

Классическая вероятность

Каждый из равновозможных результатов испытаний (опытов) называется элементарным исходом .

Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление такого события.

Количественной мерой возможности появления некоторого случайного события служит вероятность.

При классическом определении за вероятность события А принимается отношение числа благоприятствующих этому событию элементарных исходов (m) к общему числу возможных исходов (n): .

Классическая вероятность обладает следующими свойствами:

1) вероятность достоверного события равна единице;

2) вероятность невозможного события равна нулю;

3) вероятность случайного события определяется неравенством .

Для вычисления числа благоприятствующих рассматриваемому событию исходов или общего числа элементарных исходов широко используются формулы комбинаторики:

если составляются такие комбинации из n элементов по m, которые отличаются друг то друга только составом элементов, то они называются сочетаниями ;
если комбинации отличаются и составом элементов, и порядком их следования, то они называются размещениями: ;
если комбинации берутся из всех n элементов и отличаются только порядком следования элементов, то они называются перестановками: .

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 Следующая ⇒