Выпуклость и вогнутость графика, точки перегиба

График функции y=f(x) называется выпуклым в промежутке (a, b), если все точки графика лежат ниже любой ее касательной на этом промежутке.

График функции называется вогнутым, если его точки лежат выше касательной.

Достаточный признак выпуклости и вогнутости графика функции. Если во всех точках промежутка (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, т.е. f¢ ¢ (x)< 0, то график y=f(x) на этом интервале выпуклый; если f¢ ¢ (x)> 0, то график функции на этом интервале вогнутый.

Точки, в которых график функции переходит с одной стороны своей касательной в этой точке на другую ее сторону (т.е. пересекает свою касательную), называются точками перегиба. Точка перегиба отделяет выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой.

Необходимый признак точки перегиба: в точке перегиба вторая производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Достаточный признак того, что данная точка кривой является точкой перегиба. Пусть кривая определяется уравнением y=f(х). Если f¢ ¢ (х₀)=0 или f¢ ¢ (х₀) не существует и при переходе через значение х=х₀ производная f¢ ¢ (х) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х=х₀ есть точка перегиба.

7. Общий план исследования функции

Наиболее наглядное представление о ходе изменения функции дает ее график. Поэтому построение графика должно быть заключительным этапом исследования функции, в котором должны быть использованы все результаты ее исследования. Исследование функции рекомендуется вести в определенной последовательности:

1) найти область определения функции;

2) определить симметрию графика функции (четность, нечетность функции), определить точки пересечения графика функции с осями координат;

3) определить точки разрыва и их характер, вертикальные асимптоты графика;

4) проверить наличие горизонтальной или наклонной асимптоты;

5) найти точки максимума и минимума, максимальные и минимальные значения функции, интервалы возрастания и убывания функции;

6) определить интервалы выпуклости и вогнутости графика, точки перегиба.

7) Схематично построить график функции, найти область значений функции.

ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

НеопределеннЫЙ интеграл

Функция называется первообразной функции , если выполняется условие: .

Теорема. Если и две первообразные одной и той же функции , то они отличаются не более, чем на константу, то есть .

Следствие. Если - одна из первообразных функции , то любая другая первообразная имеет вид .

Совокупность всех первообразных функции называется неопределенным интегралом от и обозначается , здесь называется подынтегральной функцией, а - подынтегральным выражением.

Таким образом, окончательно = .

Свойства неопределенного интеграла.

I. Свойство о связи интегрирования и дифференцирования:

1. ; 2. ; 3. .

Таким образом, интегрирование и дифференцирование взаимнообратные операции. Встречаясь последовательно в некотором математическом выражении они взаимно уничтожаются.

II. Свойство линейности: .

III. Свойство инвариантности: формула интегрирования не изменится при замене переменной на некоторую дифференцируемую функцию этой переменной. Следствие: .

Таблица ОСНОВНЫХ неопределенных интегралов

; ; , при ; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ; .

Методы интегрирования

Непосредственное интегрирование

Непосредственным называется интегрирование, осуществляемое использованием таблицы и свойств неопределенного интеграла, а также путем тождественных преобразований.

Интегрирование по частям

Пусть и - две функции. Тогда имеет место формула

.

Замена переменных

Если подынтегральная функция представляет собой произведение функции сложного аргумента на производную этого аргумента, вычисленную с точностью до постоянной, то тогда выполнив замену сложного аргумента на новую переменную можно упростить интегрирование и свести его к непосредственному:

.

Определенный интеграл

Определенным называется интеграл вида . Если подынтегральная функции неотрицательна, то определенный интеграл равен по величине площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком подынтегральной функции, прямыми , и осью абсцисс. Ниже перечислены основные свойства определенного интеграла.

1. ;

2. если , то ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. если , то .

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. БОЛЕВЫЕ ТОЧКИ И ПРИЕМЫ ПОРАЖЕНИЯ ПРОТИВНИКА В РУКОПАШНОЙ СХВАТКЕ
2. Буквальное толкование предполагает истолкование смысла закона в точном соответствии с его буквой. Именно оно и является, по нашему мнению, единственно верным и приемлемым с точки зрения принципов
3. Виды устройств по получению энергии нулевой точки и сверхединичные устройства
4. Глава 2. BTL с точки зрения маркетинговых коммуникаций
5. Глава 6. Сексуальная жизнь с точки зрения Йога-терапии
6. Зарисовка макета архитектурного сооружения с использованием высокой точки зрения
7. ЗАХОД НА ПРИЗЕМЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ КОНТРОЛЬНЫЕ ТОЧКИ
8. Кровь с точки зрения физической и коллоидной химии
9. Масло из виноградной косточки
10. Методика «Запомни и расставь точки»
11. Направления выпуклости, точки перегиба.