![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Выпуклость и вогнутость графика, точки перегиба
График функции y=f(x) называется выпуклым в промежутке (a, b), если все точки графика лежат ниже любой ее касательной на этом промежутке. График функции называется вогнутым, если его точки лежат выше касательной. Достаточный признак выпуклости и вогнутости графика функции. Если во всех точках промежутка (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, т.е. f¢ ¢ (x)< 0, то график y=f(x) на этом интервале выпуклый; если f¢ ¢ (x)> 0, то график функции на этом интервале вогнутый. Точки, в которых график функции переходит с одной стороны своей касательной в этой точке на другую ее сторону (т.е. пересекает свою касательную), называются точками перегиба. Точка перегиба отделяет выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой. Необходимый признак точки перегиба: в точке перегиба вторая производная функции либо равна нулю, либо не существует. Достаточный признак того, что данная точка кривой является точкой перегиба. Пусть кривая определяется уравнением y=f(х). Если f¢ ¢ (х0)=0 или f¢ ¢ (х0) не существует и при переходе через значение х=х0 производная f¢ ¢ (х) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х=х0 есть точка перегиба. 7. Общий план исследования функции Наиболее наглядное представление о ходе изменения функции дает ее график. Поэтому построение графика должно быть заключительным этапом исследования функции, в котором должны быть использованы все результаты ее исследования. Исследование функции рекомендуется вести в определенной последовательности: 1) найти область определения функции; 2) определить симметрию графика функции (четность, нечетность функции), определить точки пересечения графика функции с осями координат; 3) определить точки разрыва и их характер, вертикальные асимптоты графика; 4) проверить наличие горизонтальной или наклонной асимптоты; 5) найти точки максимума и минимума, максимальные и минимальные значения функции, интервалы возрастания и убывания функции; 6) определить интервалы выпуклости и вогнутости графика, точки перегиба. 7) Схематично построить график функции, найти область значений функции. ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ НеопределеннЫЙ интеграл Функция Теорема. Если Следствие. Если Совокупность всех первообразных функции Таким образом, окончательно Свойства неопределенного интеграла. I. Свойство о связи интегрирования и дифференцирования: 1. Таким образом, интегрирование и дифференцирование взаимнообратные операции. Встречаясь последовательно в некотором математическом выражении они взаимно уничтожаются. II. Свойство линейности: III. Свойство инвариантности: формула интегрирования не изменится при замене переменной на некоторую дифференцируемую функцию этой переменной. Следствие: Таблица ОСНОВНЫХ неопределенных интегралов
Методы интегрирования Непосредственное интегрирование Непосредственным называется интегрирование, осуществляемое использованием таблицы и свойств неопределенного интеграла, а также путем тождественных преобразований. Интегрирование по частям Пусть
Замена переменных Если подынтегральная функция представляет собой произведение функции сложного аргумента на производную этого аргумента, вычисленную с точностью до постоянной, то тогда выполнив замену сложного аргумента на новую переменную можно упростить интегрирование и свести его к непосредственному:
Определенный интеграл Определенным называется интеграл вида 1. 2. если 3. 4. 5. 6. если Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-11; Просмотров: 796; Нарушение авторского права страницы