Действия над событиями и вероятностями

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 7

Суммой событий А и В называется событие С состоящее в том, что хотя бы одно из этих событий в результате испытания произойдет.

Произведением событий А и В называется событие С состоящее в совместном наступлении этих событий в результате испытания.

Теорема 1. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: .

Следствия:

1) сумма вероятностей событий образующих полную группу равна единице;

2) сумма вероятностей противоположных событий равна единице, а значит .

Теорема 2. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: . События называются независимыми, если появления одного из них в результате испытания не меняет вероятность появления другого.

Формула Бернулли

Пусть производится независимых однородных испытаний, в каждом из которых событие А может наступить а может не наступить, причем вероятность наступления события в каждом из испытаний одна и та же . Обозначим вероятность наступления противоположного события . Вероятность того, что интересующее нас событие наступит в испытания ровно раз обозначается и вычисляется по формуле Бернулли:

Случайные величины

Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин. Дискретнойназывается такая случайная величина, значения которой есть счетное множество фиксированных величин. Непрерывной называют такую случайную величину, которая принимает любое значение из некоторого интервала. Случайные величины обозначаются прописными буквами Х, У, Z, а их возможные значения соответствующими малыми буквами.

Для описания поведения дискретной случайной величины Х задают все значения , которые она может принять, и вероятности появления этих значений ( ).

Законом распределения вероятностей (рядом распределения) дискретной случайной величины называется последовательность возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей, представленная в виде таблицы:

Х			…
р			…

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма вида . Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины.

Рассеяние случайной величины около среднего значения характеризует дисперсия. Дисперсией дискретной случайной величины Х является:

Непрерывные случайные величины характеризуются тем, что их значения могут сколь угодно мало отличаться друг от друга.

Вероятность события (где Х – значение непрерывной случайной величины, а x – произвольно задаваемое значение), рассматриваемая как функция от x, называется функцией распределения вероятностей: .

Производная от функции распределения вероятностей называется функцией плотности распределения вероятностей или плотностью вероятности: .

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется значение интеграла . Дисперсией непрерывной случайной величины называется значение интеграла .

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Распределение частот

Совокупность всех возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения, или совокупность всех возможных наблюдений, проводимых в одинаковых условиях над некоторой случайной величиной, называется генеральной совокупностью. Генеральная совокупность может содержать конечное или бесконечное число элементов. Отобранные из генеральной совокупности объекты (результаты наблюдений над конечным числом объектов из генеральной совокупности) называются выборочной совокупностьюили выборкой. Число N элементов генеральной совокупности и число п элементов выборочной совокупности будем называть объемамигенеральной и выборочной совокупности соответственно.

Расположение выборочных наблюденных значений случайной величины в порядке неубывания называется ранжированием.

Значение случайной величины, соответствующее отдельной группе сгруппированного ряда наблюдаемых данных, называется вариантой, а изменение этого значения – варьированием.

Численность отдельной группы сгруппированного ряда наблюдаемых данных называется частотойварианты. Если – индекс варианты, то – число измеренных значений i-й варианты, отношение к общей сумме частот всех вариант называется относительной частотойварианты и обозначается .

Дискретным вариационным рядомраспределения (распределением частот) называется ранжированная совокупность вариант с соответствующими им частотами или относительными частотами.

Если наблюдаемая случайная величина непрерывна или дискретная величина такова, что число ее возможных значений велико, то для построения вариационного ряда используют интервальный ряд распределения. В этом случае весь возможный интервал варьирования разбивают на конечное число частичных интервалов и подсчитывают частоту попадания значений величины в каждый частичный интервал.

Интервальным вариационным рядом называется упорядоченная последовательность интервалов варьирования случайной величины с соответствующими частотами или относительными частотами попаданий в каждый из них значений случайной величины.

Полигон и гистограмма

Наблюдаемые данные, представленные в виде вариационного ряда, можно изобразить графически. Если вариационный ряд дискретной случайной величины представить в виде ломанной линии, связывающей на плоскости точки с координатами , то такой график называют полигоном.

Интервальный вариационный ряд графически изображают с помощью гистограммы. Для ее построения в прямоугольной системе координат на оси абсцисс откладывают отрезки частичных интервалов варьирования и на этих отрезках как на основаниях строят прямоугольники с высотами, равными частотам или относительным частотам соответствующих интервалов.

Графическое представление вариационных рядов в виде полигона и гистограммы позволяет получить первоначальное представление о закономерностях, имеющих место в совокупности наблюдений.

Точечные оценки

Оценки параметров генеральной совокупности, полученные на основании выборки, называются статистическими. Если статистическая оценка характеризуется одним числом, она называется точечной. К числу таких оценок относятся выборочная средняя и выборочная дисперсия.

Выборочная средняяопределяется как среднее арифметическое полученных по выборке значений:

где – варианта выборки; – частота варианты; – объем выборки.

Выборочная дисперсияпредставляет собой среднюю арифметическую квадратов отклонений вариант от их выборочной средней: .

Статистическая оценка является случайной величиной и меняется в зависимости от выборки. Если математическое ожидание статистической оценки равно оцениваемому параметру генеральной совокупности, то такая оценка называется несмещенной, если не равно – то смещенной.

Выборочная средняя является оценкой математического ожидания случайной величины и представляет собой несмещенную оценку. Выборочная дисперсия оценивает дисперсию генеральной совокупности и является смещенной оценкой.

Для устранения смещенности выборочной дисперсии ее умножают на величину и получают . Величину называют несмещеннойили «исправленной» выборочной дисперсией.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 67