СРЕДНИЕ АБСОЛЮТНОЕ И КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЯ

Степень разнообразия признака более точно выражается рядом других показателей.

При проверке вычисления средней арифметической скорости роста оврагов, были найдены центральные отклонения (х_i - ) (табл. 1), которые представляли следующий ряд чисел: -2, -1, 0, 1, 2. Среднюю арифметическую из абсолютных значений этих чисел называют средним абсолютным отклонением и обозначают буквой q (тета). Формула среднего абсолютного отклонения будет иметь следующий вид:

В математической статистике отдают предпочтение другому показателю степени колеблемости - среднему квадратическому отклонению, который вычисляется следующим образом. Каждое центральное отклонение возводится в квадрат. Затем находят среднюю арифметическую из этих квадратов и извлекают из нее квадратный корень. Формула среднего квадратического отклонения:

где d (сигма) - знак среднего квадратического отклонения. Схема вычисления дана в таблице 6.

Более правильно в знаменателе подкоренного выражения ставить не n, a n - 1. Однако при достаточно большом числе наблюдений уменьшение знаменателя на 1 практически не скажется на значении δ.

Таблица 6. Схема, облегчающая вычисление среднего квадратического отклонения

x	х_i -	(х_i - )²
	-2
	-1
		о


15 Итого

Результаты вычислений могут быть записаны в следующем виде:

= 3 d = 1, 6 м/год. Эта запись сжато передает основные свойства скоростей роста совокупности изучаемых оврагов: среднюю скорость их роста и границы средней колеблемости. Назовем = 3 простейшей математико-статистической моделью изучаемого показателя.

Средние квадратические отклонения обычно несколько больше средних абсолютных отклонений (примерно на 1/4).

Вычисление взвешенного среднего квадратического отклонения при сгруппированных данных производится по формуле

Таблица 7. Схема вычисления среднего арифметического и среднего квадратического отклонения

Интервалы длин оврагов	Центры интервалов х	Число оврагов M	х • m	X; -X	(х, -х)²	( -)•)
10-20				-22
20-30				-12
30-40				-2
40-50
50-60
Итого:	25 925 2600

Следовательно, длины 25 рассмотренных оврагов можно охарактеризовать двумя числами: 37 ± 10, 2 м.

В теоретических формулах d часто выступает возведенной в квадрат. Эта величина называется дисперсией. Она также является мерой колеблемости признака.

Средние квадратические отклонения климатических, почвенных, экономических показателей строго закономерны в пределах изучаемых территорий и отрезков времени. К сожалению, до сих пор при изучении колеблемости признаков географы весьма редко прибегают к вычислению d и даже q, а ограничиваются рассмотрением более простого, но менее корректного показателя колеблемости - размаха. Пример: основной показатель вертикального расчленения рельефа обычно представляет собой разность максимальной и минимальной высот. По матеатико-статистической терминологии это «размах» высот. Правильнее было бы вычислить d или хотя бы q.

КОЭФФИЦИЕНТ ВАРИАЦИИ

Среднее квадратическое отклонение является размерным показателем колеблемости признака. Оно выражается в тех же единицах, что и варианты признака. Поэтому сигма может служить непосредственным показателем колеблемости только тогда, когда сравниваются однородные количественные признаки. Пример сравнения колеблемости неоднородных признаков: имеются данные о значениях средних квадратических отклонений следующих показателей природных условий в одном и том же районе (табл. 8):

Таблица 8. Сравнение неоднородных признаков

Признаки	5
1. Длины оврагов	100 м
2. Распаханность площадей водосборов	20%
3. Углы наклона площадей водосборов	0, 5

По этим числам невозможно установить, какой из приведенных признаков варьирует больше, а какой меньше. Действительно, метры нельзя сравнить с процентами и градусами, так как единицы измерения оказываются разными. Поэтому для сравнения разнородных признаков введен особый показатель - коэффициент вариации (V), представляющий собой отношение d к . Обычно коэффициент вариации выражается в процентах, тогда его формула будет иметь следующий вид:

Зная средние арифметические и средние квадратические отклонения признаков, указанные в нашем примере, по формуле (6) можно вычислить коэффициенты вариации (см. табл. 9).

Таблица 9. Схема вычисления коэффициента вариации

Признаки		d	V
1. Длины оврагов	200м	100м	50%
2. Распаханность площадей водосборов	80%	20%	25%
3. Углы наклона площадей		0, 5	10%

Оказалось, что на исследуемой территории наиболее изменчивым количественным признаком является длина оврагов (V₁ = 50%), а наименее изменчивы углы наклона (V₃ = 10%).

Обратим внимание на то, что коэффициент вариации применим для сравнения колеблемостей только тех количественных показателей, которые не могут принимать отрицательных значений. Этому условию полностью отвечают признаки, рассмотренные в таблице 9. Действительно, длины оврагов, распаханность и углы наклонов площадей водосборов немыслимы со знаком минус. То же можно сказать и о вещественных разновидностях продукции промышленного и сельскохозяйственного производств, о вещественных природных ресурсах (биологических, водных, минеральных). Не удовлетворяют отмеченному условию высоты земной поверхности, температуры, предельно-допустимые нормы концентраций (ПДК). В зависимости от выбора точки отсчета этих показателей будут изменяться значения вычисленных средних арифметических и зависимых от них коэффициентов вариации. Например, коэффициент вариации абсолютных высот земной поверхности окажется гораздо меньше коэффициента вариации относительных высот, началом отсчета которых служат самые различные высотные уровни. Аналогично численные значения коэффициента вариации температур будут зависеть от выбора точки их отсчета (точки кипения, замерзания и др.).

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 Следующая ⇒