СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ЕЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ

Средняя арифметическая ( ) вычисляется по формуле

где х_i — отдельные наблюдения; n - число наблюдений.

Проверка правильности вычисления средней арифметической производится путем вычисления центральных отклонений (х_i - ), алгебраическая сумма которых теоретически должна равняться нулю.

Вычислим сумму центральных отклонений в нашем примере (см. табл. 1).

Таблица I

Вычисление средней арифметической

х	х_i -	Х	х_i -
	-2
	-1

	Сумма

Формулу (1) применяют при сравнительно малом числе наблюдений. При большом числе n, когда происходит группировка данных, средний уровень проще вычислять по формуле взвешенной средней арифметической (2), где весами служат частоты.

где х_i — центральные значения интервалов, m_i — частоты.

Вычислим по этой формуле среднюю длину оврагов, сгруппированных в 5 интервалов: 10-20 м, 20-30 м, 30-40 м, 40-50 м и 50-60 м (см. лекцию 2, табл. 2). Середины (центры) этих интервалов будут соответственно равны 15, 25, 35, 45 и 55 м. Против каждого центра интервала проставим частоту. Затем найдем произведенние х_im_i (табл. 2).

Таблица 2. Вычисление взвешенной средней арифметической

Середины интервалов х	Частоты m	Произведения x_im_i

Вычисляем по формуле (2) среднюю арифметическую:

Роль средних исключительно велика. Они позволяют:

1) оценить значение отдельной величины путем сравнения ее со средней;

2) определить наличие связи между явлениями посредством анализа средних двух или нескольких признаков по одним и тем же территориям или временным промежуткам;

3) определить общую тенденцию развития явления.

Приведем примеры на каждый из отмеченных направлений использования средних.

1. Скорости роста четырех оврагов в местах выпаса овец составляют 5, б, 8 и 9 м/год. Насколько овцы могут способствовать увеличению овражной эрозии, можно судить по тому, что средняя скорость роста оврагов в изучаемом районе только 2 м/год.

2. Рассматривая средние значения процента гумуса в почве (х) и урожайности зерновых (у) по отдельным районам изучаемой территории (табл. 3), можно обнаружить следующую закономерность: чем больше процент гумуса, тем больше урожайность. Таким образом, между взятыми признаками установлено наличие прямой зависимости. При рассмотрении всех наблюдений такую связь можно было бы и не заметить, так как во многих случаях при большом проценте гумуса могла быть малая урожайность и наоборот. Причина таких «аномалий» та, что на урожайность кроме природных свойств почв влияет множество других факторов, которые нивелируются в средних.

Таблица 3. Зависимость урожайности зерновых от процента гумуса в почве

NN Районов	% гумуса в почве х	Урожайность зерновых у ц/га

В качестве исходного количественного материала географ нередко использует средние арифметические с тем, чтобы по ним вычислить новые средние. Так, количественные характеристики климата, урожайности и ряда других явлений, изображаемых часто на картах, осреднены за какой-то промежуток времени (обычно за несколько лет). На основании этих данных исследователь может вычислить средний показатель на определенную территорию, например, среднюю урожайность в Алтайском крае, в России и т.д. Таким образом, здесь имеет место двойное осреднение — во времени и в пространстве.

Другой пример такого осреднения. На изучаемой территории имеется определенное число оврагов, скорость роста которых меняется из года в год. Чтобы правильно судить о скорости роста каждого оврага, лучше рассматривать среднюю скорость роста его за те годы, когда велись наблюдения. Интенсивность овражной эрозии на всей территории будет выражаться средней арифметической из вычисленных средних для каждого оврага.

В процессе укрупнения территориальных единиц осреднение может применяться многократно. Например, вычисляют среднюю урожайность зерновых по хозяйствам, полученные данные служат для расчета урожайности по районам, далее по областям, республикам, и, наконец, по России.

Положительную роль пространственного и временного осреднения в географических исследованиях не следует преувеличивать. Более того, нужно иметь в виду, что средние по слишком крупным территориальным единицам или большим временным промежуткам могут не только сгладить, но и исказить реальную картину размещения и функционирования изучаемых явлений.

ЛИМИТЫ И РАЗМАХ

По средней арифметической можно судить лишь о массовом уровне признака. Вторая основная проблема математической статистики заключается в выяснении степени колеблемости отдельных значений вокруг средней величины.

Недостаточность и «однобокость» показателей среднего уровня покажем на следующем примере. В одной статистической совокупности изучаемый признак принимает следующие значения: 1, 3, 5, 7, 9; в другой - 3, 4, 5, 6, 7. В обоих случаях средняя арифметическая равна 5, однако разброс значений величин не одинаков (в первой совокупности он больше - от 1 до 9, во второй меньше - от 3 до 7).

Необходимо ввести особые показатели изменчивости признака внутри статистической совокупности.

Простейшим показателем колеблемости являются лимиты, то есть максимальные и минимальные значения количественных признаков статистической совокупности.

В географических описаниях это наиболее распространенный показатель колеблемости. Примеры таких описаний: «Суточные суммы солнечной радиации в июле в Акмолинской области составляют 550-600 кал/кв.см, что больше, чем на тех же широтах в Поволжье», «Общие запасы перегноя и азота в полуметровой толще соответственно колеблются от 350 до 400 и от 23 до 25 т на гектар».

По лимитам можно судить не только об амплитуде колебания количественных показателей, но и о среднем уровне, который обязательно занимает промежуточное положение между максимумом и минимумом.

Разность между максимальным и минимальным значениями признака называют размахом. Он часто приписывается к лимитам в скобках.

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 Следующая ⇒